2020版高中数学第三章变化率与导数阶段训练四（含解析）北师大版选修1_1

阶段训练四
(范围：§1～§4)
一、选择题
1．某物体的运动方程为s＝3＋t2，则在t∈[2,2.1]内，该物体的平均速度为(　　)
A．4.11B．4.01C．4.0D．4.1
考点　
题点　
答案　D
解析　根据题意可得平均速度
＝＝＝4.1.
2．已知函数y＝x2＋1的图像上一点(1,2)及邻近一点(1＋Δx,2＋Δy)，则等于(　　)
A．2 B．2＋Δx
C．2＋(Δx)2 D．2x
考点　平均变化率的概念
题点　求平均变化率
答案　B
解析　＝＝2＋Δx.
3．已知f(x)＝，则f′(x)等于(　　)
A. B.－1
C．1－lnx D.
考点　导数的运算法则
题点　导数除法法则及运算
答案　D
解析　f′(x)＝＝＝，故选D.
4．已知函数f(x)在R上可导，其部分图像如图所示，设＝a，则下列不等式正确的是(　　)
A．f′(1)C．f′(2)考点　导数的几何意义
题点　导数几何意义的理解
答案　B
解析　由图像可知，函数的增长越来越快，故函数在该点的斜率越来越大．∵＝a，
∴f′(1)5．已知f(x)＝xa，若f′(－1)＝－4，则a的值等于(　　)
A．4B．－4C．5D．－5
答案　A
解析　∵f′(x)＝axa－1，f′(－1)＝a(－1)a－1＝－4，
∴a＝4.
6．设曲线y＝xn＋1(n∈N＋)在点(1,1)处的切线与x轴交点的横坐标为xn，则x1·x2·…·xn等于(　　)
A. B.
C. D．1
考点　基本初等函数的导数公式
题点　常数、幂函数的导数
答案　B
解析　由y＝xn＋1得y′＝(n＋1)xn，
∴在x＝1处，函数y＝xn＋1的导数是n＋1.
∴曲线在点(1,1)处的切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)．
令y＝0，有x＝，
∴x1·x2·…·xn＝×××…×＝.
7．过点(1，－1)且与曲线y＝x3－2x相切的直线方程为(　　)
A．x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0
B．x－y－2＝0
C．x－y＋2＝0
D．x－y－2＝0或4x＋5y＋1＝0
考点　切线方程的求解及应用
题点　求曲线的切线方程
答案　A
解析　设切点坐标为(x0，y0)，则y0＝x－2x0，曲线在(x0，y0)处的切线斜率为k＝3x－2.当x0＝1时，斜率为1，切线方程为x－y－2＝0；当x0≠1时，过(1，－1)点的切线的斜率为＝x＋x0－1＝3x－2，解得x0＝－，斜率为－，切线方程为5x＋4y－1＝0.故选A.
8．点P0(x0，y0)是曲线y＝3lnx＋x＋k(k∈R)上一个定点，且曲线在点P0处的切线方程为4x－y－1＝0，则实数k的值为(　　)
A．2B．－2C．－1D．－4
考点　切线方程的求解及应用
题点　根据切点或切线斜率求值
答案　A
解析　y′＝＋1，令＋1＝4，得x0＝1，代入切线方程得y0＝3，代入y＝3lnx＋x＋k，得k＝2.
二、填空题
9．函数y＝在x＝2处的导数是________．
考点　导数的运算法则
题点　导数除法法则及运算
答案　
解析　y′＝′
＝
＝，
所以在x＝2处，函数y＝的导数为.
10．已知函数y＝f(x)的图像在点M(1，f(1))处的切线方程为y＝x＋2，则f(1)＋f′(1)＝________.
考点　导数的几何意义
题点　导数几何意义的理解
答案　3
解析　f(1)＝×1＋2＝，f′(1)＝，
故f(1)＋f′(1)＝3.
11.如图，函数g(x)＝f(x)＋x2的图像在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝________.
考点　
题点　
答案　－5
解析　因为g(5)＝f(5)＋5＝3，所以f(5)＝－2.
因为g′(x)＝f′(x)＋x，
所以g′(5)＝f′(5)＋×5＝－1，f′(5)＝－3，
所以f(5)＋f′(5)＝－5.
三、解答题
12．设函数f(x)＝ax2lnx＋b(x－1)，曲线y＝f(x)过点(e，e2－e＋1)，且在点(1,0)处的切线方程为y＝0，求a，b的值．
考点　
题点　
解　由题意可知，f(x)＝ax2lnx＋b(x－1)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2axlnx＋ax＋b(x>0)，
∵f′(1)＝a＋b＝0，
f(e)＝ae2＋b(e－1)＝a(e2－e＋1)
＝e2－e＋1，
∴a＝1，b＝－1.
13．已知函数f(x)＝x3＋x－16.
(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；
(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标．
解　(1)由题意知f′(x)＝3x2＋1，
∴f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13.
∴切线的方程为13x－y－32＝0.
(2)方法一　设切点为(x0，y0)，则直线l的斜率为f′(x0)＝3x＋1，
∴直线l的方程为y＝(3x＋1)(x－x0)＋x＋x0－16，
又∵直线l过原点(0,0)，
∴0＝(3x＋1)(－x0)＋x＋x0－16，
整理得，x＝－8，∴x0＝－2，∴y0＝－26，k＝13.
∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．
方法二　根据题意可设直线l的方程为y＝kx，切点为(x0，y0)，则k＝＝，
由题意知k＝f′(x0)＝3x＋1，∴＝3x＋1，
解得x0＝－2，∴y0＝－26，k＝13.
∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．
14．若函数f(x)＝2sinx(x∈[0，π])的图像在点P处的切线平行于函数g(x)＝2的图像在点Q处的切线，则直线PQ的斜率为(　　)
A. B．2
C. D.
答案　A
解析　f′(x)＝2cosx∈[－2,2]，
g′(x)＝＋≥2(当且仅当x＝1时取等号)．
当两函数的切线平行时，xp＝0，xQ＝1.
即P(0,0)，Q，∴直线PQ的斜率为.
15．若存在过点O(0,0)的直线l与曲线y＝f(x)＝x3－3x2＋2x和y＝g(x)＝x2＋a都相切，求a的值．
考点　导数的应用
题点　导数的应用
解　易知点O(0,0)在曲线f(x)＝x3－3x2＋2x上．
(1)当O(0,0)是切点时，
由f′(x)＝3x2－6x＋2，得f′(0)＝2，
即直线l的斜率为2，故直线l的方程为y＝2x.
由得x2－2x＋a＝0，
依题意知，Δ＝4－4a＝0，得a＝1.
(2)当O(0,0)不是切点时，设直线l与曲线f(x)＝x3－3x2＋2x相切于点P(x0，y0)，则f(x0)＝x－3x＋2x0，且k＝f′(x0)＝3x－6x0＋2，①
又k＝＝x－3x0＋2，②
联立①②，得x0＝(x0＝0舍去)，所以k＝－，
故直线l的方程为y＝－x.
由得x2＋x＋a＝0，
依题意知，Δ＝－4a＝0，得a＝.
综上，a＝1或a＝.