2020版高中数学第一章常用逻辑用语阶段训练一（含解析）北师大版选修1_1

阶段训练一
(范围：§1～§4)
一、选择题
1．某食品的广告词为“幸福的人们都拥有”，这句话的等价命题是(　　)
A．不拥有的人们会幸福 B．幸福的人们不都拥有
C．拥有的人们不幸福 D．不拥有的人们不幸福
答案　D
2．“△ABC中，若∠C＝90°，则∠A，∠B全是锐角”的否命题为(　　)
A．△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B全不是锐角
B．△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B不全是锐角
C．△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B中必有一钝角
D．以上都不对
考点　四种命题
题点　四种命题概念的理解
答案　B
解析　若∠C≠90°，则∠A，∠B不全是锐角，此处“全”的否定是“不全”．
3．已知命题p：2＋2＝5，命题q：3>2，则下列判断正确的是(　　)
A．“p或q”为假，“綈q”为假
B．“p或q”为真，“綈q”为假
C．“p且q”为假，“綈p”为假
D．“p且q”为真，“p或q”为假
答案　B
解析　显然p假q真，故“p或q”为真，“p且q”为假，“綈p”为真，“綈q”为假，故选B.
4．已知条件p：x>1或x<－3，条件q：5x－6>x2，则綈p是綈q的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
答案　A
解析　由5x－6>x2，得2即q：2所以q?p，p?q，所以綈p?綈q，綈q?綈p，
所以綈p是綈q的充分不必要条件，故选A.
5．如果不等式|x－a|<1成立的充分不必要条件是A.C．a>或a< D．a≥或a≤
答案　B
解析　|x－a|<1?a－1由题意可得
即a∈.
6．下列命题中为真命题的是(　　)
A．若x≠0，则x＋≥2
B．命题“若x2＝1，则x＝1或x＝－1”的逆否命题为“若x≠1且x≠－1，则x2≠1”
C．“a＝1”是“直线x－ay＝0与直线x＋ay＝0互相垂直”的充要条件
D．若命题p：存在x∈R，x2－x＋1<0，则綈p：对于任意x∈R，x2－x＋1>0
考点　四种命题的真假判断
题点　利用四种命题的关系判断真假
答案　B
解析　选项A中，当x为负数时，不等式不成立，错误；选项B中，根据逆否命题的关系知其是正确的；选项C中，由两直线垂直可得1－a2＝0，即a＝±1，则“a＝1”是两直线垂直的充分不必要条件，错误；选项D中，求含有一个量词的命题的否定时，特别注意不等号的方向，错误．
7．已知条件p：x<－3或x>1，条件q：x>a，且綈p是綈q的充分不必要条件，则a的取值范围是(　　)
A．a≥－1 B．a≤1
C．a≥1 D．a≤－3
考点　充分条件、必要条件和充要条件的综合应用
题点　由充分不必要条件求参数范围
答案　C
解析　∵綈p是綈q的充分不必要条件，
∴q是p的充分不必要条件，∴a≥1，故选C.
8．已知命题p：若a＝(1,2)与b＝(－2，λ)共线，则λ＝－4；命题q：任意k∈R，直线y＝kx＋1与圆x2＋y2－2y＝0相交．则下面结论正确的是(　　)
A．(綈p)或q是真命题 B．p且(綈q)是真命题
C．p且q是假命题 D．p或q是假命题
答案　A
解析　命题p为真，命题q：圆心(0,1)到直线kx－y＋1＝0的距离为d＝<1，命题q是真命题．故(綈p)或q是真命题．
9．给定命题p：函数y＝ln[(1－x)(x＋1)]为偶函数；命题q：函数y＝为偶函数，则下列说法正确的是(　　)
A．p或q是假命题 B．(綈p)且q是假命题
C．p且q是真命题 D．(綈p)或q是真命题
答案　B
解析　p中，f(－x)＝ln[(1＋x)(1－x)]＝f(x)，
又定义域关于原点对称，故函数为偶函数，故p为真；
q中，f(－x)＝＝＝－f(x)，定义域为R，故函数为奇函数，故q为假，故(綈p)且q为假．
二、填空题
10．若“x∈[2,5]或x∈{x|x<1或x>4}”是假命题，则x的取值范围是________．
考点　“p或q”形式的命题
题点　由“p或q”形式命题的真假，求参数的范围
答案　[1,2)
解析　由x∈[2,5]或x∈{x|x<1或x>4}，
得x<1或x≥2.
∵此命题是假命题，∴1≤x<2.
11．若存在正数x，使2x(x－a)<1成立，则a的取值范围是________．
答案　(－1，＋∞)
解析　存在正数x，使得2x(x－a)<1成立，即存在正数x，使得x－a<2－x，也就是存在正数x，使得a>x－2－x成立．令f(x)＝x－2－x，因为函数y＝x与y＝－2－x都是定义域上的增函数，所以函数f(x)在(0，＋∞)上是增加的，则f(x)>f(0)＝－1，所以a>－1.
12．已知命题p：存在c>0，y＝(3－c)x在R上为减函数，命题q：对于任意x∈R，x2＋2c－3>0.若p且q为真命题，则实数c的取值范围为________．
考点　“p且q”形式的命题
题点　已知p且q命题的真假求参数范围
答案　(2,3)
解析　由于p且q为真命题，
所以p，q都是真命题，所以
解得2故实数c的取值范围为(2,3)．
三、解答题
13．命题p：已知“a－1a恒成立，如果“p或q”为真，“p且q”为假，求实数a的取值范围．
考点　“p或q”形式的命题
题点　由命题p或q，p且q的真假，求参数范围
解　由不等式x2－6x<0，得0∵命题p为真，
即“a－1∴(等号不同时取得)，即1≤a≤5.
若命题q为真，∵x>－1，∴x＋1>0，
∴x＋＝(x＋1)＋－1≥2－1＝3，
任意x∈(－1，＋∞)，x＋>a恒成立?3>a，
∵“p或q”为真，“p且q”为假，∴p，q一真一假，
当p真q假时得3≤a≤5，
当p假q真时得a<1，
∴实数a的取值范围是(－∞，1)∪[3,5]．
14．已知a＞0，a≠1，设p：函数y＝loga(x＋1)在x∈(0，＋∞)上是减少的；q：曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于不同的两点，如果p和q有且只有一个正确，求实数a的取值范围．
考点　“p且q”形式的命题
题点　由命题p且q的真假，求参数范围
解　方法一　p真：0＜a＜1.
q真：Δ＝(2a－3)2－4＞0，∴a＞或0＜a＜.
①∵p和q有且只有一个正确，当p正确，q不正确时，a∈(0,1)∩，即a∈.
②当p不正确，q正确时a∈(1，＋∞)∩，即a∈.
综上，实数a的取值范围为∪.
方法二　∵A＝{a|p(a)}＝{a|0＜a＜1}，B＝{a|q(a)}＝，
∴p和q有且只有一个正确，即a∈且a?，故实数a的取值范围为∪.
15．已知命题p：方程a2x2＋ax－2＝0在[－1,1]上有解；命题q：只有一个实数x满足不等式x2＋2ax＋2a≤0，若命题“p或q”是假命题，求实数a的取值范围．
解　由a2x2＋ax－2＝0，得(ax＋2)(ax－1)＝0.
显然a≠0，∴x＝－或x＝.
若命题p为真，
∵x∈[－1,1]，故≤1或≤1，
∴|a|≥1.
若命题q为真，
即只有一个实数x满足x2＋2ax＋2a≤0，
即函数y＝x2＋2ax＋2a的图像与x轴只有一个交点．
∴Δ＝4a2－8a＝0，
∴a＝0或a＝2.
∵命题“p或q”为假命题，
∴a的取值范围是{a|－1