3.1.1 方程的根与函数的零点 同步学案

必修1学案 §3.1.1 方程的根与函数的零点
班级 姓名
学习目标
1. 结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系；2. 掌握零点存在的判定定理.
学习过程
一、课前准备
复习：一元二次方程+bx+c=0 (a0)的解法.
判别式= .当 0，方程有两根，为 ；
当 0，方程有一根，为 ；
当 0，方程无实根.
二、新课导学
探究任务一：函数零点与方程的根的关系（预习教材P86~ P88，找出疑惑之处）
1、填写下表：
方程
函数
函数的图象



方程的实数根
函数的图象与x轴的交点
根据以上结论，可以得到：
一元二次方程的根就是相应二次函数的图象与x轴交点的 .
练习1：利用函数的图像判断下列方程有没有根，有几个根
（1） （2） （3） （4）
（2）：方程+bx+c=0 (a0)的根与二次函数y=ax+bx+c (a0)的图象之间有什么关系？
判别式
一元二次方程的根的个数
二次函数图象与x轴交点个数
二次函数的零点个数
你能将结论进一步推广到吗？
2、新知：对于函数，我们把使的实数x叫做函数的零点（zero point）.
思考：（1）零点是点还是数呢？
（2）函数的零点、方程的实数根、函数的图象与x轴交点的横坐标，三者有什么关系？
3、一般结论：
方程有实数根 函数的图象与x轴有交点函数有零点。
探究任务二：零点存在性定理
1、问题：
① 作出的图象，求的值，观察和的符号
② 观察下面函数的图象，
在区间上 零点； 0；
在区间上 零点； 0；
在区间上 零点； 0.
5、新知：零点存在性定理：
如果函数在区间上的图像是 ，并且有
那么，函数在区间内有 ，即存在，使得，这个也就是方程的根。
思考：1、满足上述条件下的零点是否就只有一个？ 什么情况下只有一个零点？
2、函数在区间上有零点，是否一定有？试结合图形来分析.
例1、若函数在区间上的图象为一条连续不断的曲线，则下列说法正确的是(　　)
A．若，不存在实数使得
B．若，存在且只存在一个实数使得
C．若，有可能存在实数使得
D．若，有可能不存在实数使得
※ 典型例题
例2、求函数的零点的个数.
变式、求函数的零点所在区间
三、总结提升
（1）零点概念；②零点、与x轴交点、方程的根的关系 ④零点存在性定理
小结：函数零点的求法.
① 代数法：求方程的实数根；
② 几何法：不能用求根公式的方程，可以将应用函数的图象和性质找出零点．
知识拓展
图象连续的函数的零点的性质：
①函数的图象是连续的，当它通过零点时（非偶次零点），函数值变号.
②推论：函数在区间上的图象是连续的，且，那么函数在区间上至少有一个零点.
③相邻两个零点之间的函数值保持同号.
课后作业
基础训练题
1．若函数f(x)的图象在R上连续不断，且满足f(0)＜0，f(1)＞0，f(2)＞0，则下列说法正确的是(　　)21cnjy.com
A．f(x)在区间(0,1)上一定有零点，在区间(1,2)上一定没有零点
B．f(x)在区间(0,1)上一定没有零点，在区间(1,2)上一定有零点
C．f(x)在区间(0,1)上一定有零点，在区间(1,2)上可能有零点
D．f(x)在区间(0,1)上可能有零点，在区间(1,2)上一定有零点
2．下列图象表示的函数中没有零点的是(　　)

3．若函数f(x)＝ax＋b(a≠0)有一个零点为2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是(　　)
A．0，－ B．0， C．0,2 D．2，－
4．函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是(　　)
A．(－2，－1) B．(－1,0) C．(0,1) D．(1,2)
5．若函数f(x)＝x2－ax＋b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是(　　)
A．－1和 B．1和－ C.和 D．－和－
6．方程|x＋1|＝2x根的个数为(　　)
A．0 个 B．1个 C．2 个 D．3个
7．下列函数中，在[1,2]上有零点的是(　　)
A．f(x)＝3x2－4x＋5 B．f(x)＝x3－5x－5
C．f(x)＝lnx－3x＋6 D．f(x)＝ex＋3x－6
8．已知函数f(x)＝x2－1，则函数f(x－1)的零点是________．
9．函数f(x)＝ln x－x＋2的零点个数为________．
10．函数f(x)＝的零点的个数为________．
11．已知函数f(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)(0＜a＜1)．
(1)求函数f(x)的定义域为；
(2)求函数f(x)的零点．
能力提高题
12．若a＜b＜c,则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)·(x－a)的两个零点分别位于区间( )2
A．(b，c)和(c，＋∞)内 B．(－∞，a)和(a，b)内
C．(a，b)和(b，c)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内
13．根据表格中的数据，可以判定方程ex－x－2＝0的一个实根所在的区间为(k，k＋1)(k∈N)，则k的值为________．www-2-1-cnjy-com
x
－1
0
1
2
3
ex
0.37
1
2.72
7.39
20.09
x＋2
1
2
3
4
5
14．关于x的方程mx2＋2(m＋3)x＋2m＋14＝0有两实根，且一个大于4，一个小于4，求m的取值范围．1-cn-jy.com
15．若方程x2＋(k－2)x＋2k－1＝0的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求k的取值范围．
必修1学案 §3.1.1 方程的根与函数的零点参考答案
1、[答案]　C
2、[答案]　A
[解析]　没有零点就是函数图象与x轴没有交点，故选A.
3、[答案]　A　
[解析]　∵a≠0,2a＋b＝0， ∴b≠0，＝－.
令bx2－ax＝0，得x＝0或x＝＝－.
4、[答案]　C　
[解析]　∵f(x)＝ex＋x－2，f(0)＝e0－2＝－1<0，f(1)＝e1＋1－2＝e－1>0，
∴f(0)·f(1)<0，∴f(x)在区间(0,1)上存在零点．
5、[答案]　B
[解析]　由于f(x)＝x2－ax＋b有两个零点2和3，
∴a＝5，b＝6.∴g(x)＝6x2－5x－1有两个零点1和－.
6、[答案]　D
[解析]　∵|x＋1|＝2x根的个数就是函数y＝|x＋1|与函数y＝2x的图象交点的个数．故有3个交点．
7、[答案]　D
[解析]　A：3x2－4x＋5＝0的判别式Δ<0，
∴此方程无实数根，∴f(x)＝3x2－4x＋5在[1,2]上无零点．
B：由f(x)＝x3－5x－5＝0得x3＝5x＋5.
在同一坐标系中画出y＝x3，x∈[1,2]与y＝5x＋5，x∈[1,2]的图象，如图1，两个图象没有交点．21教育网
　　
∴f(x)＝0在[1,2]上无零点．
C：由f(x)＝0得lnx＝3x－6，在同一坐标系中画出y＝lnx与y＝3x－6的图象，如图2所示，由图象知两个函数图象在[1,2]内没有交点，因而方程f(x)＝0在[1,2]内没有零点．
D：∵f(1)＝e＋3×1－6＝e－3<0，f(2)＝e2>0，
∴f(1)·f(2)<0.
∴f(x)在[1,2]内有零点．
8、[答案]　0和2
[解析]　由f(x)＝x2－1，得y＝f(x－1)＝(x－1)2－1＝x2－2x，∴由x2－2x＝0.
解得x1＝0，x2＝2，因此，函数f (x－1)的零点是0和2.
9、[答案]　2
[解析]　该函数零点的个数就是函数y＝ln x与y＝x－2图象的交点个数．
在同一坐标系中作出y＝ln x与y＝x－2的图象如下图： com
由图象可知，两个函数图象有2个交点，
即函数f(x)＝ln x－x＋2有2个零点．
10、[答案]　2
[解析]　当x≤0时，令2x2－x－1＝0，解得x＝－(x＝1舍去)；
当x＞0时，令3x－4＝0，解得x＝log34，
所以函数f(x)＝有2个零点．
11、解 (1)要使函数有意义，则有解得－3＜x＜1，所以函数的定义域为(－3,1)．
(2)函数可化为f(x)＝loga[(1－x)(x＋3)]＝loga(－x2－2x＋3)，
由f(x)＝0，得－x2－2x＋3＝1，即x2＋2x－2＝0，
x＝－1±.
∵－1±∈(－3,1)，∴f(x)的零点是－1±.
12、[答案]　C
[解析]　由于a＜b＜c，所以f(a)＝(a－b)(a－c)＞0，f(b)＝(b－a)(b－c)＜0，f(c)＝(c－b)(c－a)＞0，
根据零点的存在性定理可知，函数的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内，故选C.
13、[答案]　1
[解析]　设f(x)＝e2－(x＋2)，由题意知f(－1)<0，f(0)<0，f(1)<0，f(2)>0，
所以方程的一个实根在区间(1,2)内，即k＝1.
14、解　令f(x)＝mx2＋2(m＋3)x＋2m＋14.
依题意得或，
即或，解得－15、解　设f(x)＝x2＋(k－2)x＋2k－1.
∵方程f(x)＝0的两根中，一根在(0,1)内，一根在(1,2)内，
∴，即
∴