3.1.2 用二分法求方程的近似解 同步学案

必修一学案 §3.1.2 用二分法求方程的近似解
学习目标
1. 根据具体函数图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解；
2. 通过用二分法求方程的近似解，使学生体会函数零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识.
学习过程
一、课前准备
复习1：什么叫零点？零点的等价性？零点存在性定理？
对于函数，我们把使 的实数x叫做函数的零点.
方程有实数根函数的图象与x轴 函数 .
如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 ，那么，函数在区间内有零点.
复习2：一元二次方程求根公式？ 三次方程？ 四次方程？
二、新课导学
※ 学习探究
探究任务：二分法的思想及步骤
问题：有12个小球，质量均匀，只有一个是比别的球重的，你用天平称几次可以找出这个球的，要求次数越少越好.
解法：
第一次，两端各放 个球，低的那一端一定有重球；
第二次，两端各放 个球，低的那一端一定有重球；
第三次，两端各放 个球，如果平衡，剩下的就是重球，否则，低的就是重球.
思考：以上的方法其实这就是一种二分法的思想，采用类似的方法，如何求的零点所在区间？如何找出这个零点？
新知：对于在区间上连续不断且<0的函数，通过不断的把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法(bisection).
反思：
给定精度ε，用二分法求函数的零点近似值的步骤如何呢？
①确定区间，验证，给定精度ε；
②求区间的中点；
③计算： 若，则就是函数的零点； 若，则令（此时零点）； 若，则令（此时零点）；
④判断是否达到精度ε；即若，则得到零点零点值a（或b）；否则重复步骤②~④．
※ 典型例题
例1、借助计算器或计算机，利用二分法求方程的近似解.
变式、求方程的根大致所在区间.
※ 动手试试
练1. 求方程的解的个数及其大致所在区间.
练2.求函数的一个正数零点（精确到）
零点所在区间
中点函数值符号
区间长度
三、总结提升
※ 学习小结
① 二分法的概念；②二分法步骤；③二分法思想.
※ 当堂检测
1. 若函数在区间上为减函数，则在上（ ）.
A. 至少有一个零点 B. 只有一个零点 C. 没有零点 D. 至多有一个零点
2. 下列函数图象与轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点近似值的是（　　）.

3. 函数的零点所在区间为（ ）.
A. B. C. D.
4. 用二分法求方程在区间[2，3]内的实根，由计算器可算得，，，那么下一个有根区间为 .
5. 函数的零点个数为 ，大致所在区间为 .
课后作业
基础训练题
1．下列图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是(　　)

2．已知函数y＝f(x)的图象如上右图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为(　　)
A．4,4 　B．3,4 C．5,4 D．4,3
3．设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1,2)内近似解的过程中得f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的根落在区间(　　)2·1·c·n·j·y
A．(1,1.25) B．(1.25,1.5)w wC．(1.5,2) D．不能确定
4．已知函数y＝f(x)的图象是连续不间断的，x，f(x)对应值表如下：
x
1
2
3
4
5
6
f(x)
12.04
13.89
－7.67
10.89
－34.76
－44.67
则函数y＝f(x)存在零点的区间有(　　)
A．区间[1,2]和[2,3] B．区间[2,3]和[3,4]
C．区间[2,3]和[3,4]和[4,5] D．区间[3,4]和[4,5]和[5,6]
5．某方程在区间(2,4)内有一实根，若用二分法求此根的近似值，将此区间分(　　)次后，所得近似值的精确度可达到0.1(　　)21·世纪*教育网
A．2 B．3
C．4 D．5
6．若函数f(x)的图象是连续不间断的，根据下面的表格，可以断定f(x)的零点所在的区间为________．(只填序号)m
①(－∞，1]　②[1,2]　③[2,3]　④[3,4]
⑤[4,5]　⑥[5,6]　⑦[6，＋∞)
x
1
2
3
4
5
6
f(x)
136.123
15.542
－3.930
10.678
－50.667
－305.678
7．用“二分法”求方程x3－2x－5＝0在区间[2,3]内的实根，取区间中点为x0＝2.5，那么下一个有根的区间是________．21cnjy.com
8．在用二分法求方程f(x)＝0在[0,1]上的近似解时，经计算，f(0.625)<0，f(0.75)>0，f(0.687 5)<0，即可得出方程的一个近似解为____________(精确度为0.1)．
9．利用二分法求的一个近似值(精确度0.1)．
10．已知函数f(x)＝x|x－4|.
(1)画出函数f(x)＝x|x－4|的图象；(2)求函数f(x)在区间[1,5]上的最大值和最小值；
(3)当实数a为何值时，方程f(x)＝a有三个解？
能力提高题
11．已知x0是函数f(x)＝2x＋的一个零点．若x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，则(　　)
A．f(x1)<0，f(x2)<0 B．f(x1)<0，f(x2)>021 教育C．f(x1)>0，f(x2)<0 D．f(x1)>0，f(x2)>021·世纪*教育网
12．某同学在借助计算器求“方程lgx＝2－x的近似解(精确度为0.1)”时，设f(x)＝lgx＋x－2，算得f(1)＜0，f(2)＞0；在后边过程中，他又用“二分法”取了四个x的值，计算了其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解是x≈1.8.那么他再取的x的四个值依次是________．www-2-1-cnjy-com
13．利用计算器，列出自变量和函数值的对应值如下表：
x
－1.6
－1.4
－1.2
－1
－0.8
－0.6
－0.4
－0.2
0
…
y＝2x
0.3298
0.3789
0.4352
0.5
0.5743
0.6597
0.7578
0.8705
1
…
y＝x2
2.56
1.96
1.44
1
0.64
0.36
0.16
0.04
0
…
若方程2x＝x2有一个根位于区间(a，a＋0.4)(a在表格中第一栏里的数据中取值)，则a的值为________．21世纪教育网版权所有
14．当a取何值时，方程ax2－2x＋1＝0的一个根在(0,1)上，另一个根在(1,2)上．
必修一学案 §3.1.2 用二分法求方程的近似解参考答案
1、[答案]　A　
[解析]　由选项A中的图象可知，不存在一个区间(a，b)，使f(a)·f(b)<0，即A选项中的零点不是变号零点，不符合二分法的定义．
2、[答案]　D
[解析]　题中图象与x轴有4个交点，所以解的个数为4；左、右函数值异号的有3个零点，所以可以用二分法求解的个数为3，故选D.2
3、[答案]　B　
[解析]　∵f(1)·f(1.5)<0，x1＝＝1.25.又∵f(1.25)<0，∴f(1.25)·f(1.5)<0，
则方程的根落在区间(1.25,1.5)内．
4、[答案]　C
5、[答案]　D
[解析]　等分1次，区间长度为1，等分2次，区间长度变为0.5，…，等分4次，
区间长度变为0.125，等分5次，区间长度为0.0625<0.1，符合题意，故选D.
6．[答案]　③④⑤
7、[答案]　[2,2.5)
[解析]　令f(x)＝x3－2x－5，则f(2)＝－1<0，f(3)＝16>0，
f(2.5)＝15.625－10＝5.625>0.
∵f(2)·f(2.5)<0，∴下一个有根的区间为[2,2.5)．
8、[答案]　0.75或0.687 5
[解析]　因为|0.75－0.687 5|＝0.062 5<0.1，
所以0.75或0.687 5都可作为方程的近似解．
9、解　令f(x)＝x2－3，因为f(1)＝－2＜0，f(2)＝1＞0，所以函数在区间(1,2)内存在零点x0，即为，取区间(1,2)为二分法计算的初始区间，列表如下：
(a，b)
(a，b)的中点
f(a)
f(b)
f()
(1,2)
1.5
f(1)＜0
f(2)＞0
f(1.5)＜0
(1.5,2)
1.75
f(1.5)＜0
f(2)＞0
f(1.75)＞0
(1.5,1.75)
1.625
f(1.5)＜0
f(1.75)＞0
f(1.65)＜0
(1.625，1.75)
1.6875
f(1.625)＜0
f(1.75)＞0
f(1.6875)＜0
(1.6875，1.75)
1.71875
f(1.6875)＜0
f(1.75)＞0
f(1.71875)＜0
*y因为1.75－1.6875＜0.1，所以可取1.75为的一个近似值．
10、解　(1)f(x)＝x|x－4|＝
图象如右图所示．
(2)当x∈[1,5]时，f(x)≥0且当x＝4时f(x)＝0，故f(x)min＝0；
又f(2)＝4，f(5)＝5，故f(x)max＝5.
(3)由图象可知，当0方程f(x)＝a有三个解．
11、[答案]　B　
[解析]　∵f(x)＝2x－，f(x)由两部分组成，2x在(1，＋∞)上单调递增，
－在(1，＋∞)上单调递增，∴f(x)在(1，＋∞)上单调递增．
∵x1又∵x2>x0，∴f(x2)>f(x0)＝0.]
12、[答案]　1.5,1.75,1.875,1.8125
[解析]　第一次用二分法计算得区间(1.5,2)，第二次得区间(1.75,2)，第三次得区间(17.5,1.875)，第四次得区间(1.75,1.8125)．
13、[答案]　－1或－0.8
[解析]　令f(x)＝2x－x2，由表中的数据可得f(－1)＜0，f(－0.6)＞0；f(－0.8)＜0，f(－0.4)＞0，com
∴根在区间(－1，－0.6)与(－0.8，－0.4)内，
∴a＝－1或a＝－0.8.
14、解　①当a＝0时，方程即为－2x＋1＝0，只有一根，不符合题意．
②当a>0时，设f(x)＝ax2－2x＋1，
∵方程的根分别在区间(0,1)，(1,2)上，
∴，即，解得③当a<0时，设方程的两根为x1，x2，
则x1x2＝<0，x1，x2一正一负不符合题意．
综上，a的取值范围为1cnjy.com