2020版高中数学北师大版选修1-1第三章变化率与导数1变化的快慢与变化率学案（含解析）

§1　变化的快慢与变化率
学习目标　1.了解函数的平均变化率和瞬时变化率的概念.2.会求物体运动的平均速度并估计瞬时速度．
知识点一　函数的平均变化率
1．定义：对一般的函数y＝f(x)来说，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f(x1)变为f(x2)，它的平均变化率为.
其中自变量的变化x2－x1称作自变量的改变量，记作Δx，函数值的变化f(x2)－f(x1)称作函数值的改变量，记作Δy.这样，函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即＝.
2．作用：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢．
知识点二　瞬时变化率
1．定义：对于一般的函数y＝f(x)，在自变量x从x0变到x1的过程中，若设Δx＝x1－x0，Δy＝f(x1)－f(x0)，则函数的平均变化率是＝＝.而当Δx趋于0时，平均变化率就趋于函数在x0点的瞬时变化率．
2．作用：刻画函数在一点处变化的快慢．
对于函数y＝f(x)，当x从x1变为x2时，函数值从f(x1)变为f(x2)，若记Δx＝x2－x1，Δy＝f(x2)－f(x1)，则
1．Δx可正，可负，可为零．(　×　)
2．函数y＝f(x)的平均变化率为＝＝.(　√　)
3．函数y＝f(x)的平均变化率为＝＝.(　√　)
4．当Δx趋于0时，就趋于函数在x1处的瞬时变化率．(　√　)
题型一　函数的平均变化率
例1　求函数y＝f(x)＝x2在x分别从1到1＋Δx,2到2＋Δx,3到3＋Δx的平均变化率，当Δx都为时，哪一点附近的平均变化率最大？
考点　平均变化率的概念
题点　求平均变化率
解　在x＝1附近的平均变化率为
k1＝＝
＝2＋Δx；
在x＝2附近的平均变化率为
k2＝＝
＝4＋Δx；
在x＝3附近的平均变化率为
k3＝＝
＝6＋Δx.
当Δx＝时，k1＝2＋＝，
k2＝4＋＝，k3＝6＋＝.
由于k1反思感悟　求平均变化率的主要步骤
(1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1)．
(2)再计算自变量的改变量Δx＝x2－x1.
(3)得平均变化率＝.
跟踪训练1　(1)已知函数f(x)＝x2＋2x－5的图像上的一点A(－1，－6)及邻近一点B(－1＋Δx，－6＋Δy)，则＝________.
答案　Δx
解析　＝
＝
＝Δx.
(2)求函数y＝f(x)＝x3在x0到x0＋Δx之间的平均变化率，并计算当x0＝1，Δx＝时平均变化率的值．
解　Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)
＝(x0＋Δx)3－x
＝3xΔx＋3x0(Δx)2＋(Δx)3，
∴函数y＝f(x)＝x3在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为
＝3x＋3x0Δx＋(Δx)2.
当x0＝1，Δx＝时，
平均变化率的值为3×12＋3×1×＋2＝.
题型二　求函数的瞬时变化率
例2　以初速度v0(v0>0)竖直上抛的物体，t秒时的高度s与t的函数关系为s＝v0t－gt2，求物体在t0时刻处的瞬时速度．
考点　瞬时变化率的概念
题点　瞬时速度
解　因为Δs＝v0(t0＋Δt)－g(t0＋Δt)2－
＝(v0－gt0)Δt－g(Δt)2，
所以＝v0－gt0－gΔt.
当Δt趋于0时，趋于v0－gt0，
故物体在t0时刻处的瞬时速度为v0－gt0.
反思感悟　1.求瞬时速度的步骤
(1)求位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)．
(2)求平均速度v＝.
(3)当Δt趋于0时，平均速度趋于瞬时速度．
2．求当Δx无限趋近于0时，的值
(1)在表达式中，可把Δx作为一个数来参加运算．
(2)求出的表达式后，Δx无限趋近于0，就是令Δx＝0，求出结果即可．
跟踪训练2　一质点M按运动方程s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若质点M在t＝2s时的瞬时速度为8m/s，求常数a的值．
考点　瞬时变化率的概念
题点　瞬时速度
解　质点M在t＝2时的瞬时速度即为函数s(t)在t＝2处的瞬时变化率．
∵质点M在t＝2附近的平均变化率
＝＝＝4a＋aΔt，
当Δt趋于0时，趋于4a，
∴4a＝8，得a＝2.
1．已知函数f(x)，当自变量由x0变化到x1时，函数值的增量与相应的自变量的增量之比是函数(　　)
A．在x0处的变化率
B．在区间[x0，x1]上的平均变化率
C．在x1处的变化率
D．以上结论都不对
考点　平均变化率的概念
题点　平均变化率概念的理解
答案　B
解析　＝，由平均变化率的定义可知，故选B.
2．一物体的运动方程是s(t)＝3＋2t，则在[2,2.1]这段时间内的平均速度是(　　)
A．0.4 B．2
C．0.3 D．0.2
考点　平均变化率的概念
题点　求平均速度
答案　B
解析　＝＝2.
3．物体运动时位移s与时间t的函数关系是s(t)＝－4t2＋16t，此物体在某一时刻的瞬时速度为零，则相应的时刻为(　　)
A．t＝1 B．t＝2
C．t＝3 D．t＝4
考点　瞬时变化率的概念
题点　瞬时速度
答案　B
解析　设此物体在t0时刻的瞬时速度为0，
＝＝－8t0＋16－4Δt，
当Δt趋于0时，趋于－8t0＋16，
令－8t0＋16＝0，解得t0＝2.
4．球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率为________．
考点　平均变化率的概念
题点　平均变化率的应用
答案　
解析　∵Δy＝π×23－π×13＝，
∴球的体积平均膨胀率为＝.
5．设函数f(x)＝3x2＋2在x0＝1,2,3附近Δx取时的平均变化率分别为k1，k2，k3，比较k1，k2，k3的大小．
考点　平均变化率的概念
题点　求平均变化率
解　函数在[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为6x0＋3Δx.
当x0＝1，Δx＝时，函数在[1,1.5]上的平均变化率为
k1＝6×1＋3×0.5＝7.5；
当x0＝2，Δx＝时，函数在[2,2.5]上的平均变化率为
k2＝6×2＋3×0.5＝13.5；
当x0＝3，Δx＝时，函数在[3,3.5]上的平均变化率为
k3＝6×3＋3×0.5＝19.5，所以k11．平均变化率反映函数在某个范围内变化的快慢；瞬时变化率反映函数在某点处变化的快慢．
2．可以使用逼近的思想理解瞬时变化率，同时结合变化率的实际意义．
一、选择题
1．函数f(x)＝在1到4的平均变化率为(　　)
A.B.C．1D．3
考点　
题点　
答案　A
解析　Δy＝－＝1，Δx＝4－1＝3，则平均变化率为＝.
2．已知函数f(x)＝2x2－4的图像上一点(1，－2)及邻近一点(1＋Δx，－2＋Δy)，则等于(　　 )
A．4B．4xC．4＋2ΔxD．4＋2(Δx)2
答案　C
解析　＝＝
＝4＋2Δx.
3．一质点运动的方程为s＝5－3t2，若该质点在时间段[1，1＋Δt]内相应的平均速度为－3Δt－6，则该质点在t＝1时的瞬时速度是(　　)
A．－3 B．3
C．6 D．－6
考点　瞬时速度与平均速度的关系
题点　瞬时速度
答案　D
解析　由平均速度和瞬时速度的关系可知，当Δt趋于0时，－3Δt－6趋于－6，故该质点在t＝1时的瞬时速度为－6.
4.如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是(　　)
A．1 B．－1
C．2 D．－2
考点　平均变化率的概念
题点　求平均变化率
答案　B
解析　依题意可知Δy＝yB－yA＝1－3＝－2，
Δx＝xB－xA＝3－1＝2，
所以函数y＝f(x)在xA到xB之间的平均变化率为
＝＝－1.
5．一木块沿一光滑斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s与时间t之间的函数关系为s(t)＝t2，当t＝2时，此木块在水平方向的瞬时速度为(　　)
A．2B．1C.D.
答案　C
解析　Δs＝(2＋Δt)2－×22＝[4＋4Δt＋(Δt)2－4]＝[(Δt)2＋4Δt]，∴＝Δt＋.
∴当Δt趋于0时，趋于.
6．函数f(x)＝x2在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为k1，在x0－Δx到x0之间的平均变化率为k2，则k1，k2的大小关系是(　　)
A．k1k2
C．k1＝k2 D．无法确定
考点　平均变化率的概念
题点　平均变化率概念的理解
答案　D
解析　k1＝＝2x0＋Δx，k2＝＝2x0－Δx，而Δx可正可负，故k1，k2大小关系不确定．
7．如果函数y＝f(x)＝ax＋b在区间[1,2]上的平均变化率为3，则(　　)
A．a＝－3 B．a＝3
C．a＝2 D．a的值不能确定
考点　平均变化率的概念
题点　平均变化率的应用
答案　B
解析　＝＝a＝3.
8．一个物体的运动方程是s＝2t2＋at＋1，该物体在t＝1时的瞬时速度为3，则a等于(　　)
A．－1 B．0
C．1 D．7
考点　瞬时变化率的概念
题点　瞬时速度
答案　A
解析　＝
＝
＝a＋4＋2Δt，
当Δt趋于0时，a＋4＋2Δt趋于a＋4，
由题意知a＋4＝3，得a＝－1.
二、填空题
9．汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图像如图所示，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为1，2，3，则三者的大小关系为________________．
考点　平均变化率的概念
题点　平均变化率的应用
答案　1<2<3
解析　1＝kOA，2＝kAB，3＝kBC，
由图像知，kOA10．函数f(x)＝＋2在x＝1处的瞬时变化率为________．
考点　瞬时变化率的概念
题点　瞬时速率
答案　－2
解析　∵Δy＝＋2－(＋2)
＝－1＝，
∴＝，当Δx趋于0时，趋于－2.
11．若一物体的运动方程为s＝7t2＋8，则其在t＝________时的瞬时速度为1.
答案　
解析　＝＝7Δt＋14t，
Δt趋于0时，趋于14t，即14t＝1，t＝.
12．函数f(x)＝x2－x在区间[－2，t]上的平均变化率为2，则t＝________.
考点　平均变化率的概念
题点　平均变化率的应用
答案　5
解析　函数f(x)＝x2－x在区间[－2，t]上的平均变化率是＝＝＝2，
即t2－t－6＝2t＋4，t2－3t－10＝0，
解得t＝5或t＝－2(舍去)．
所以当函数f(x)＝x2－x在区间[－2，t]上的平均变化率是2时，t的值是5.
三、解答题
13．若一物体运动方程如下：(位移单位：m，时间单位：s)
s＝
求：(1)物体在t∈[3,5]内的平均速度；
(2)物体的初速度v0；
(3)物体在t＝1时的瞬时速度．
考点　变化率的概念
题点　瞬时速度
解　(1)∵物体在t∈[3,5]内的时间变化量为
Δt＝5－3＝2，
物体在t∈[3,5]内的位移变化量为
Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，
∴物体在t∈[3,5]内的平均速度为
＝＝24m/s.
(2)求物体的初速度v0即求物体在t＝0时的瞬时速度．
∵物体在t＝0附近的平均变化率为
＝
＝
＝3Δt－18，
∴当Δt趋于0时，趋于－18，
∴物体在t＝0处的瞬时变化率为－18，
即物体的初速度为－18m/s.
(3)物体在t＝1时的瞬时速度即为函数在t＝1处的瞬时变化率．
∵物体在t＝1附近的平均变化率为
＝
＝＝3Δt－12.
∴当Δt趋于0时，趋于－12，
∴物体在t＝1处的瞬时变化率为－12.
即物体在t＝1时的瞬时速度为－12m/s.
14．若函数f(x)＝－x2＋x在[2,2＋Δx](Δx>0)上的平均变化率不大于－1，求Δx的取值范围．
考点　平均变化率的概念
题点　平均变化率的应用
解　∵函数f(x)在[2,2＋Δx]上的平均变化率为
＝
＝
＝－3－Δx，
∴由－3－Δx≤－1，得Δx≥－2.
又∵Δx>0，∴Δx的取值范围是(0，＋∞)．
15．物体的运动方程是s＝(位移单位：m，时间单位：s)，求物体在t＝1s时的瞬时速度．
解　∵Δs＝－＝－，
＝＝
＝，
当Δt趋于0时，趋于.
∴物体在t＝1s时的瞬时速度为m/s.