2020版高中数学北师大版选修1-1第三章变化率与导数2导数的概念及其几何意义学案（含解析）

§2　导数的概念及其几何意义
学习目标　1.理解导数的概念以及导数和变化率的关系.2.会计算函数在某点处的导数.3.理解导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．
知识点一　导数的概念
函数y＝f(x)在x0点的瞬时变化率是函数y＝f(x)在x0点的导数．用符号f′(x0)表示，记作：
f′(x0)＝＝.
知识点二　导数的几何意义
(1)切线的概念：如图，对于割线PPn，当点Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点P处的切线．
(2)导数的几何意义：函数f(x)在x＝x0处的导数就是切线PT的斜率k，即k＝＝f′(x0)．
(3)切线方程：
曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
特别提醒：曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点，可能有多个，甚至可以无穷多．与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线．
1．函数在某一点的导数与Δx值的正、负无关．(　√　)
2．函数f(x)在x＝x0处的导数值是Δx＝0时的平均变化率．(　×　)
3．若函数y＝f(x)在x＝x0处有导数，则函数y＝f(x)在x＝x0处有唯一的一条切线．(　√　)
4．函数y＝f(x)在x＝x0处的切线与函数y＝f(x)的公共点不一定是一个．(　√　)
题型一　利用定义求导数
例1　建造一栋面积为x平方米的房屋需要成本y万元，y是x的函数，y＝f(x)＝＋＋0.3，求f′(100)，并解释它的实际意义．
解　∵当x从100变为100＋Δx时，函数值y关于x的平均变化率为

＝，
＝＋，
∴f′(100)＝，
＝＝0.105，
f′(100)＝0.105表示当建筑面积为100平方米时，成本增加的速度为1050元/平方米，也就是说当建筑面积为100平方米时，每增加1平方米的建筑面积，成本就要增加1050元．
反思感悟　求一个函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的步骤
(1)求函数值的变化量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)．
(2)求平均变化率＝.
(3)取极限，得导数f′(x0)＝.
跟踪训练1　利用导数的定义求函数f(x)＝－x2＋3x在x＝2处的导数．
考点　函数在一点处的导数
题点　根据定义求函数在某点处的导数
解　由导数的定义知，函数在x＝2处的导数
f′(2)＝，
而f(2＋Δx)－f(2)＝－(2＋Δx)2＋3(2＋Δx)－(－22＋3×2)＝－(Δx)2－Δx，
于是f′(2)＝＝ (－Δx－1)＝－1.
题型二　求切线方程
例2　已知曲线y＝2x2上一点A(1,2)，求：
(1)点A处的切线的斜率；
(2)点A处的切线方程．
考点　切线方程的求解及应用
题点　求在某点的切线方程
解　(1)＝
＝＝ (4＋2Δx)＝4，
∴点A处的切线的斜率为4.
(2)点A处的切线方程是y－2＝4(x－1)，
即4x－y－2＝0.
反思感悟　求曲线在某点处的切线方程的步骤
跟踪训练2　曲线y＝x2＋1在点P(2,5)处的切线与y轴交点的纵坐标是________．
考点　切线方程的求解及应用
题点　求在某点处的切线方程
答案　－3
解析　＝
＝ (4＋Δx)＝4，
曲线y＝x2＋1在点(2,5)处的切线方程为
y－5＝4(x－2)，
即y＝4x－3.
∴切线与y轴交点的纵坐标是－3.
题型三　求切点坐标
例3　已知抛物线y＝2x2＋1分别满足下列条件，请求出切点的坐标．
(1)切线的倾斜角为45°；
(2)切线平行于直线4x－y－2＝0；
(3)切线垂直于直线x＋8y－3＝0.
考点　切线方程的求解及应用
题点　求切点坐标
解　设切点坐标为(x0，y0)，则Δy＝2(x0＋Δx)2＋1－2x－1＝4x0·Δx＋2(Δx)2，∴＝4x0＋2Δx，
当Δx趋于0时，趋于4x0，即f′(x0)＝4x0.
(1)∵抛物线的切线的倾斜角为45°，
∴斜率为tan45°＝1.
即f′(x0)＝4x0＝1，得x0＝，
∴切点坐标为.
(2)∵抛物线的切线平行于直线4x－y－2＝0，
∴k＝4，即f′(x0)＝4x0＝4，得x0＝1，
∴切点坐标为(1,3)．
(3)∵抛物线的切线与直线x＋8y－3＝0垂直，
则k·＝－1，即k＝8，
故f′(x0)＝4x0＝8，得x0＝2，
∴切点坐标为(2,9)．
反思感悟　根据切线斜率求切点坐标的步骤
(1)设切点坐标(x0，y0)．
(2)求导函数f′(x)．
(3)求切线的斜率f′(x0)．
(4)由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0.
(5)点(x0，y0)在曲线f(x)上，将x0代入求y0，得切点坐标．
跟踪训练3　已知直线l：y＝4x＋a与曲线C：y＝f(x)＝x3－2x2＋3相切，求a的值及切点坐标．
考点　切线方程的求解及应用
题点　求切点坐标
解　设直线l与曲线C相切于点P(x0，y0)．
∵f′(x)＝
＝
＝3x2－4x，
由题意可知k＝4，即3x－4x0＝4，
解得x0＝－或x0＝2，
∴切点坐标为或(2,3)．
当切点为时，有＝4×＋a，a＝.
当切点为(2,3)时，有3＝4×2＋a，a＝－5.
∴当a＝时，切点为；
当a＝－5时，切点为(2,3)．
题型四　导数几何意义的应用
例4　(1)函数g(x)的图像如图所示，下列数值排序正确的是(　　)
A．0B．0C．0D．0考点　
题点　
答案　C
解析　由函数g(x)的图像知，
当x≥0时，g′(x)>0且曲线的切线的斜率逐渐增大，
∴g′(x)是增加的，∴g′(2)∵g(x)上升的越来越快，∴g′(2)∴0(2)已知曲线f(x)＝2x2＋a在点P处的切线方程为8x－y－15＝0，则实数a的值为________．
考点　切线方程的求解及应用
题点　根据切点或切线斜率求值
答案　－7
解析　设点P(x0,2x＋a)．
由导数的几何意义可得
f′(x0)＝＝
＝4x0＝8，
∴x0＝2，∴P(2,8＋a)．
将x＝2，y＝8＋a代入到8x－y－15＝0中，
得a＝－7.
反思感悟　利用导数的几何意义将数与形联系起来，根据图像中切线与割线的倾斜角的大小确定数据的大小．
跟踪训练4　(1)已知函数f(x)在R上可导，其部分图像如图所示，设＝a，则下列不等式正确的是(　　)
A．f′(1)B．f′(1)C．f′(2)D．a考点　
题点　
答案　B
解析　由图像可知，在(0，＋∞)上，函数f(x)为增函数，且曲线切线的斜率越来越大，∵＝a，∴易知f′(1)(2)曲线y＝x3在点(a，a3)(a≠0)处的切线与x轴及直线x＝a围成的三角形的面积为，则a＝________.
答案　±1
解析　由题意知切线的斜率为3a2，
由点斜式得切线方程为y－a3＝3a2(x－a)．
令y＝0，得x＝a，
则·|a3|＝，
解得a＝±1.
1．设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则(　　)
A．f′(x)＝a B．f′(x)＝b
C．f′(x0)＝a D．f′(x0)＝b
考点　函数在一点处的导数
题点　根据定义求函数在某点处的导数
答案　C
解析　f′(x0)＝
＝ (a＋b·Δx)＝a.
2．曲线f(x)＝在点(3,3)处的切线的倾斜角等于(　　)
A．45°B．60°C．135°D．120°
考点　切线方程的求解及应用
题点　求切线的倾斜角或斜率
答案　C
解析　∵f′(x)＝
＝9
＝－9＝－，
∴f′(3)＝－＝－1，
又∵直线的倾斜角范围为[0°，180°)，
∴倾斜角为135°.
3.如图，函数y＝f(x)的图像在点P(2，y)处的切线是l，则f(2)＋f′(2)等于(　　)
A．－4 B．3
C．－2 D．1
考点　切线方程的求解及应用
题点　根据切点或切线斜率求值
答案　D
解析　由题干中的图像可得函数y＝f(x)的图像在点P处的切线是l，与x轴交于点(4,0)，与y轴交于点(0,4)，则可知l：x＋y＝4，∴f(2)＝2，f′(2)＝－1，∴代入可得f(2)＋f′(2)＝1，故选D.
4．已知函数f(x)＝，则f′(1)＝________.
答案　－
解析　f′(1)＝＝
＝＝－.
5．已知点P在曲线y＝x3－x＋上，直线l为曲线在P点处的切线，求直线l的倾斜角的取值范围．
考点　
题点　
解　设P(x0，y0)，
函数在点P处的导数为y′
＝
＝3x－1≥－1，
设直线l的倾斜角为α(0≤α<π)，
∴tanα≥－1，
画出y＝tanx在∪的图像如图．
通过观察图像，α的取值范围为∪.
1．导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝＝f′(x0)．
2．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点．
一、选择题
1．曲线y＝在点(1,1)处的切线的倾斜角为(　　)
A. B.
C. D.
考点　切线方程的求解及应用
题点　求切线的倾斜角或斜率
答案　D
解析　函数y＝在x＝1处的导数为＝－1，
由tanα＝－1及0≤α<π，得α＝，故选D.
2．下列点中，在曲线y＝x2上，且在该点处的切线倾斜角为的是(　　)
A．(0,0) B．(2,4)
C. D.
考点　切线方程的求解及应用
题点　求切点坐标
答案　D
解析　∵＝2x，
又切线的倾斜角为，
∴直线斜率为tan＝1，则2x＝1，
∴x＝，y＝，则切点为.
3．设f(x)＝ax＋4，若f′(1)＝2，则a等于(　　)
A．2B．－2C．3D．－3
答案　A
解析　因为f′(1)＝
＝＝a，
所以f′(1)＝a＝2.
4．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则(　　)
A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1
C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1
考点　切线方程的求解及应用
题点　根据切点或切线斜率求值
答案　A
解析　由题意，知k＝＝1，
∴a＝1.
又(0，b)在切线上，∴b＝1，故选A.
5．设f(x)为可导函数，且满足＝－1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率是(　　)
A．1 B．－1
C. D．－2
考点　切线方程的求解及应用
题点　求切线的倾斜角或斜率
答案　B
解析　∵＝－1，
∴＝－1，
∴f′(1)＝－1.
6．设P0为曲线f(x)＝x3＋x－2上的点，且曲线在P0处的切线平行于直线y＝4x－1，则点P0的坐标为(　　)
A．(1,0)
B．(2,8)
C．(1,0)或(－1，－4)
D．(2,8)或(－1，－4)
考点　切线方程的求解及应用
题点　求切点坐标
答案　C
解析　根据导数的定义可求得f′(x)＝3x2＋1，由于曲线f(x)＝x3＋x－2在P0处的切线平行于直线y＝4x－1，所以f(x)在P0处的导数值等于4，设P0(x0，y0)，故f′(x0)＝3x＋1＝4，解得x0＝±1，这时P0点的坐标为(1,0)或(－1，－4)，故选C.
7.函数y＝f(x)的图像如图所示，下列数值排序正确的是(　　)
A．0B．0C．0D．0考点　
题点　
答案　B
解析　设x＝2，x＝3时曲线上的点分别为A，B，点A处的切线为AT，点B处的切线为BQ，则f(3)－f(2)＝＝kAB，f′(3)＝kBQ，f′(2)＝kAT，因为切线BQ的倾斜角小于直线AB的倾斜角，直线AB的倾斜角小于切线AT的倾斜角，故kBQ8．设P为曲线C：f(x)＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为，则点P的横坐标的取值范围为(　　)
A. B．[－1,0]
C．[0,1] D.
考点　切线方程的求解及应用
题点　求切点坐标
答案　D
解析　设点P的横坐标为x0，则点P处的切线倾斜角α与x0的关系为
tanα＝f′(x0)＝＝2x0＋2.
∵α∈，∴tanα∈[1，＋∞)，
∴2x0＋2≥1，即x0≥－.
∴x0的取值范围为.
二、填空题
9．已知函数f(x)＝2x－3，则f′(5)＝________.
考点　函数在一点处的导数
题点　根据定义求函数在某点处的导数
答案　2
解析　f′(5)＝＝2.
10．曲线y＝x3在点(1,1)处的切线与x轴，直线x＝2所围成的三角形的面积为________．
考点　切线方程的求解及应用
题点　求在某点处的切线方程
答案　
解析　∵k＝＝3，
∴曲线y＝x3在点(1,1)处的切线方程为
y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0，
令x＝2，得y＝4，令y＝0，得x＝，
则切线与x轴，直线x＝2所围成的三角形面积为××4＝.
11．若抛物线y＝x2－x＋c上一点P的横坐标是－2，抛物线过点P的切线恰好过坐标原点，则c的值为________．
考点　切线方程的求解及应用
题点　根据切点或切线斜率求值
答案　4
解析　设抛物线在P点处切线的斜率为k，
k＝＝－5，
∴切线方程为y＝－5x，
∴点P的纵坐标为y＝－5×(－2)＝10，
将P(－2,10)代入y＝x2－x＋c，得c＝4.
三、解答题
12．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c过点P(1,1)，且在点Q(2，－1)处与直线y＝x－3相切，求实数a，b，c的值．
考点　切线方程的求解及应用
题点　根据切点或切线斜率求值
解　∵抛物线过点P，∴a＋b＋c＝1，①
又＝
＝4a＋b，
由题意知4a＋b＝1，②
又抛物线过点Q，∴4a＋2b＋c＝－1，③
由①②③解得a＝3，b＝－11，c＝9.
13．设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1(a<0)，若曲线y＝f(x)的斜率最小的切线与直线12x＋y＝6平行，求a的值．
考点　切线方程的求解及应用
题点　根据切点或切线斜率求值
解　f′(x0)＝
＝[3x＋2ax0－9＋(3x0＋a)Δx＋(Δx)2]
＝3x＋2ax0－9.
f′(x0)＝32－9－，
当x0＝－时，f′(x0)取到最小值－9－.
∵函数f(x)斜率最小的切线与12x＋y＝6平行，
∴该切线的斜率为－12.
∴－9－＝－12，解得a＝±3，
又a<0，∴a＝－3.
14．过点M(1,1)且与曲线y＝x3＋1相切的直线方程为(　　)
A．27x－4y－23＝0
B．23x－3y－12＝0和y＝3
C．5x－17y＋9＝0
D．27x－4y－23＝0和y＝1
考点　切线方程的求解及应用
题点　求曲线的切线方程
答案　D
解析　＝
＝
＝3x·Δx＋3x2＋(Δx)2，
所以＝3x2，
即y′＝3x2.
设过(1,1)点的切线与y＝x3＋1相切于点P(x0，x＋1)，
根据导数的几何意义，曲线在点P处的切线的斜率为k＝3x，①
过(1,1)点的切线的斜率k＝，②
由①②得3x＝，
解得x0＝0或x0＝，
当x0＝0时，k＝0，切点坐标为(0,1)，切线方程为y＝1；
当x0＝时，k＝，切点坐标为，切线方程为27x－4y－23＝0.
综上所述，直线方程为y＝1或27x－4y－23＝0.
15．已知函数f(x)＝ax2＋1(a>0)，g(x)＝x3＋bx，若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值．
考点　切线方程的求解及应用
题点　根据切点或切线斜率求值
解　∵f′(x)＝
＝＝2ax，
∴f′(1)＝2a，即切线斜率k1＝2a.
∵g′(x)＝
＝
＝3x2＋b，
∴g′(1)＝3＋b，即切线斜率k2＝3＋b.
∵在交点(1，c)处有公共切线，∴2a＝3＋b.
又∵a＋1＝1＋b，即a＝b，故可得