2020版高中数学北师大版选修1-1第三章变化率与导数3计算导数学案（含解析）

§3　计算导数
学习目标　1.会求函数在一点处的导数.2.理解导函数的概念并能求一些简单函数的导函数．
知识点一　导函数
如果一个函数f(x)在区间(a，b)上的每一点x处都有导数，导数值记为f′(x)，f′(x)＝，则f′(x)是关于x的函数，称f′(x)为f(x)的导函数，通常也简称为导数.
区别
联系
f′(x0)
f′(x0)是具体的值，是数值
在x＝x0处的导数f′(x0)是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值，因此求函数在某一点处的导数，一般先求导函数，再计算导函数在这一点的函数值
f′(x)
f′(x)是f(x)在某区间I上每一点都存在导数而定义的一个新函数，是函数
知识点二　导数公式表
函数
导函数
y＝c(c是常数)
y′＝0
y＝xα (α为实数)
y′＝αxα－1
y＝ax (a>0，a≠1)
y′＝axlna
y＝ex
y′＝ex
y＝logax(a>0，a≠1)
y′＝
y＝lnx
y′＝
y＝sinx
y′＝cosx
y＝cosx
y′＝－sinx
y＝tanx
y′＝
y＝cotx
y′＝－
1．函数f(x)与f′(x)的定义域相同．(　√　)
2．求f′(x0)时，可先计算出f(x0)，再对f(x0)求导．(　×　)
3．求f′(x0)时，可先求出f′(x)，再求f′(x)在x＝x0处的函数值．(　√　)
题型一　利用导函数求某点处的导数
例1　求函数f(x)＝－x2＋3x的导函数f′(x)，并利用f′(x)求f′(3)，f′(－1)．
考点　导函数
题点　利用导函数求某点处的导数
解　∵f′(x)＝
＝
＝ (－Δx－2x＋3)＝－2x＋3，
即f′(x)＝－2x＋3，
∴f′(3)＝－2×3＋3＝－3，
f′(－1)＝－2×(－1)＋3＝5.
反思感悟　f′(x0)是f′(x)在x＝x0处的函数值．计算f′(x0)可以直接使用定义，也可以先求f′(x)，然后求f′(x)在x＝x0处的函数值f′(x0)．
跟踪训练1　求函数y＝f(x)＝＋5的导函数f′(x)，并利用f′(x)，求f′(2)．
考点　导函数
题点　利用导函数求某点处的导数
解　∵Δy＝f(x＋Δx)－f(x)
＝＋5－
＝，
∴＝，
∴f′(x)＝＝＝－.
∴f′(2)＝－.
题型二　导数公式表的应用
例2　求下列函数的导数．
(1)y＝sin；
(2)y＝x；
(3)y＝log3x；
(4)y＝；
(5)y＝5x.
考点　基本初等函数的导数公式
题点　基本初等函数导数公式的应用
解　(1)y′＝0.
(2)因为y＝x＝，
所以y′＝＝＝.
(3)y′＝(log3x)′＝.
(4)因为y＝＝＝tanx，
所以y′＝(tanx)′＝.
(5)y′＝(5x)′＝5xln5.
反思感悟　对于教材中出现的8个基本初等函数的导数公式，要想在解题过程中应用自如，必须做到以下两点：一是正确理解，如sin＝是常数，而常数的导数一定为零，就不会出现′＝cos这样的错误结果．二是准确记忆，灵活变形．如根式、分式可先转化为指数式，再利用公式求导．
跟踪训练2　求下列函数的导数．
(1)y＝(1－)＋；
(2)y＝x13；
考点　基本初等函数的导数公式
题点　基本初等函数导数公式的应用
解　(1)∵y＝(1－)＋
＝＋＝＝，
∴y′＝.
(2)y′＝(x13)′＝13x13－1＝13x12.
题型三　导数公式的综合应用
命题角度1　利用导数公式求解切线问题
例3　已知点P(－1,1)，点Q(2,4)是曲线y＝x2上两点，是否存在与直线PQ垂直的切线，若有，求出切线方程，若没有，说明理由．
考点　基本初等函数的导数公式
题意　利用导数公式求解切线问题
解　因为y′＝(x2)′＝2x，假设存在与直线PQ垂直的切线．
设切点为(x0，y0)，由PQ的斜率为k＝＝1，
而切线与PQ垂直，所以2x0＝－1，即x0＝－.
所以切点为(－，)．
所以所求切线方程为y－＝(－1)(x＋)，
即4x＋4y＋1＝0.
引申探究
若本例条件不变，求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程．
解　因为y′＝(x2)′＝2x，设切点为M(x0，y0)，
由PQ的斜率为k＝＝1，
而切线平行于PQ，所以2x0＝1，即x0＝.
所以切点为M.
所以所求切线方程为y－＝x－，即4x－4y－1＝0.
反思感悟　解决切线问题，关键是确定切点，要充分利用
(1)切点处的导数是切线的斜率．
(2)切点在切线上．
(3)切点又在曲线上这三个条件联立方程解决．
跟踪训练3　(1)若直线l过点A(0，－1)且与曲线y＝x3切于点B，求B点坐标；
(2)若直线l与曲线y＝x3在第一象限相切于某点，切线的斜率为3，求直线l与坐标轴围成的三角形面积．
解　(1)y′＝3x2，设B(x0，x)(x0≠0)，
则切线斜率k＝3x.
又直线l过点(0，－1)，∴k＝.
∴3x＝，
∴2x＝1，∴x0＝，x＝，
∴B.
(2)设切点为(x0，x)(x0>0)，则该切线斜率为3x，
∴3x＝3，x0＝1，则切点为(1,1)．
∴直线l的方程为y－1＝3(x－1)．
∴直线l与坐标轴的交点分别为(0，－2)，，
∴直线l与坐标轴围成的三角形面积
S＝×|－2|×＝.
命题角度2　利用导数公式求解参数问题
例4　已知直线y＝kx是曲线y＝lnx的切线，则k的值等于(　　)
A．e B．－e
C. D．－
考点　基本初等函数的导数公式
题点　利用导数公式求解切线问题
答案　C
解析　y′＝(lnx)′＝.
设切点坐标为(x0，y0)，则切线方程为y－y0＝(x－x0)，
即y＝＋lnx0－1.
∵直线y＝kx过原点，
∴lnx0－1＝0，得x0＝e，∴k＝.
反思感悟　解决利用导数公式求解参数问题的关键是设出切点，根据导数的几何意义表示出切线的斜率进一步写出切线方程．
跟踪训练4　已知函数f(x)＝，g(x)＝alnx，a∈R，若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)相交，且在交点处有相同的切线，求a的值．
考点　基本初等函数的导数公式
题点　利用导数公式求解切线问题
解　设两曲线的交点为(x0，y0)，
由题意知，f′(x0)＝g′(x0)，即＝，
即a＝，①
∵点(x0，y0)为两曲线的交点，
∴＝alnx0，②
由①②可得x0＝e2，
将x0＝e2代入①得a＝.
1．下列结论：
①(sinx)′＝cosx；②＝；
③(lnx)′＝.
其中正确的有(　　)
A．0个B．1个C．2个D．3个
考点　基本初等函数的导数公式
题点　基本初等函数的导数公式的应用
答案　C
解析　∵②＝，
∴②错误，故选C.
2．函数f(x)＝，则f′(3)等于(　　 )
A. B．0
C. D.
答案　A
解析　∵f′(x)＝()′＝，∴f′(3)＝＝.
3．设函数f(x)＝logax，f′(1)＝－1，则a＝.
考点　基本初等函数的导数公式
题点　指数函数、对数函数的导数
答案　
解析　∵f′(x)＝，
又f′(1)＝＝－1，∴a＝.
4．在曲线y＝上一点P处的切线的斜率为－4，则点P的坐标为．
考点　基本初等函数的导数公式
题点　利用导数公式求解切线问题
答案　或
解析　设P(x0，y0)，y′＝－，则－＝－4，
得x0＝±.
当x0＝时，y0＝2.
当x0＝－时，y0＝－2，
∴点P的坐标为或.
5．曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为．
考点　基本初等函数的导数公式
题点　利用导数公式求解切线问题
答案　e2
解析　∵y′＝(ex)′＝ex，∴k＝e2，
∴曲线在点(2，e2)处的切线方程为y－e2＝e2(x－2)，
即y＝e2x－e2.
当x＝0时，y＝－e2，当y＝0时，x＝1.
∴S＝×1×|－e2|＝e2.
1．利用常见函数的导数公式可以比较简捷的求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想与化归．
2．有些函数可先化简再求导．如求y＝1－2sin2的导数．因为y＝1－2sin2＝cosx，所以y′＝(cosx)′＝－sinx.
3．对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数名称的变化，二是注意函数符号的变化．
一、选择题
1．下列结论中正确的个数为(　　)
①y＝ln2，则y′＝；②y＝f(x)＝，则f′(3)＝－；
③y＝2x，则y′＝2xln2；④y＝log2x，则y′＝.
A．0B．1C．2D．3
考点　基本初等函数的导数公式
题点　基本初等函数的导数公式的应用
答案　D
解析　①中y＝ln2为常数，
所以y′＝0.①错．
2．已知f(x)＝，则f等于(　　)
A．－25 B．－
C. D．25
考点　几个常用函数的导数
题点　几个常用函数导数的应用
答案　B
解析　因为f(x)＝，所以f′(x)＝－.故f′＝－25，f＝f(－25)＝－.
3．设函数f(x)＝ax＋3，若f′(1)＝3，则a等于(　　)
A．2B．－2C．3D．－3
考点　函数在某一点处的导数
题点　根据导数值求坐标或参数
答案　C
解析　∵f′(1)＝
＝＝a，
∵f′(1)＝3，∴a＝3.
4．正弦曲线y＝sinx上切线的斜率等于的点为(　　)
A.
B.或
C.(k∈Z)
D.或(k∈Z)
考点　基本初等函数的导数公式
题点　正弦、余弦函数的导数
答案　D
解析　设斜率等于的切线与曲线的切点为P(x0，y0)，∵函数在点P处的导数为y′＝cosx0＝，∴x0＝2kπ＋或2kπ－，k∈Z，∴y0＝或－.
5．设曲线y＝ax2在点(2,4a)处的切线与直线4x－y＋4＝0垂直，则a等于(　　)
A．－ B.
C．－ D.
考点　基本初等函数的导数公式
题点　利用导数公式求解切线问题
答案　C
解析　由题意知切线的斜率是－，
∵y′＝2ax，∴4a＝－，得a＝－.
6．已知直线y＝kx是曲线y＝ex的切线，则实数k的值为(　　)
A. B．－
C．－e D．e
答案　D
解析　y′＝ex，设切点为(x0，y0)，则
∴＝·x0，
∴x0＝1，∴k＝e.
7．设正弦曲线y＝sinx上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是(　　)
A.∪ B．[0，π)
C. D.∪
答案　A
解析　∵(sinx)′＝cosx，
∵kl＝cosx，∴－1≤kl≤1，∴αl∈∪.
8．设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2018(x)等于(　　)
A．sinx B．－sinx
C．cosx D．－cosx
考点　基本初等函数的导数公式
题点　正弦、余弦函数的导数
答案　B
解析　f1(x)＝f′0(x)＝(sinx)′＝cosx，
f2(x)＝f′1(x)＝(cosx)′＝－sinx，
f3(x)＝f′2(x)＝(－sinx)′＝－cosx，
f4(x)＝(－cosx)′＝sinx，
f5(x)＝(sinx)′＝f1(x)，
f6(x)＝f2(x)，…，
fn＋4(x)＝fn(x)，
可知周期为4，
∴f2018(x)＝f504×4＋2(x)＝－sinx.
二、填空题
9．已知f(x)＝，g(x)＝mx且g′(2)＝，则m＝.
考点　几个常用函数的导数
题点　几个常用函数导数的应用
答案　－4
解析　∵f′(x)＝－，g′(x)＝m，∴f′(2)＝－，
又g′(2)＝，∴m＝－4.
10．设曲线y＝ex在点(0,1)处的切线与曲线y＝(x＞0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为．
考点　基本初等函数的导数公式
题点　利用导数公式求解切线问题
答案　(1,1)
解析　因为y′＝ex，所以曲线y＝ex在点(0,1)处的切线的斜率k1＝e0＝1.
设P(m，n)，y＝(x>0)的导数为y′＝－ (x>0)，
曲线y＝ (x>0)在点P处的切线斜率k2＝－ (m>0)．
因为两切线垂直，所以k1k2＝－1，
所以m＝1，n＝1，点P的坐标为(1,1)．
11．已知f(x)＝cosx，g(x)＝x，则关于x的不等式f′(x)＋g′(x)≤0的解集为．
考点　基本初等函数的导数公式
题点　基本初等函数导数公式的应用
答案　
解析　∵f′(x)＝－sinx，g′(x)＝1，
由f′(x)＋g′(x)≤0，得－sinx＋1≤0，
即sinx≥1，则sinx＝1，
解得x＝＋2kπ，k∈Z，
∴其解集为.
三、解答题
12．已知曲线y＝5(x＞0)，求：
(1)曲线上与直线y＝2x－4平行的切线方程；
(2)过点P(0,5)，且与曲线相切的切线方程．
考点　基本初等函数的导数公式
题点　利用导数公式求解切线问题
解　(1)设切点为(x0，y0)，
由y＝5，得曲线在x＝x0处的切线的斜率
k＝.
因为切线与直线y＝2x－4平行，所以＝2，
解得x0＝，所以y0＝.
故所求切线方程为y－＝2，
即16x－8y＋25＝0.
(2)因为点P(0,5)不在曲线y＝5上，
所以设切点坐标为M(x1，y1)，
则切线斜率为(x1≠0)，
又因为切线斜率为，
所以＝＝，
解得x1＝4(x1＝0舍去)．
所以切点为M(4,10)，斜率为，
故切线方程为y－10＝(x－4)，
即5x－4y＋20＝0.
13．点P是曲线y＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离．
考点　基本初等函数的导数公式
题点　利用导数公式求解切线问题
解　如图，当曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线与直线y＝x平行时，点P到直线y＝x的距离最近．
则曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线斜率为1，又y′＝(ex)′＝ex，
所以＝1，得x0＝0，
代入y＝ex，得y0＝1，即P(0,1)．
利用点到直线的距离公式得最小距离为.
14．设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(ex)＝x＋ex，则f′(1)等于(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
考点　基本初等函数的导数公式
题点　指数函数、对数函数的导数
答案　B
解析　设ex＝t，则x＝lnt(t>0)，
∴f(t)＝lnt＋t，∴f′(t)＝＋1，∴f′(1)＝2.
15．已知抛物线y＝x2，直线x－y－2＝0，求抛物线上的点到直线的最短距离．
解　根据题意可知与直线x－y－2＝0平行的抛物线y＝x2的切线，对应的切点到直线x－y－2＝0的距离最短，设切点坐标为(x0，x)，则k＝2x0＝1，
所以x0＝，
所以切点坐标为，
切点到直线x－y－2＝0的距离
d＝＝，
所以抛物线上的点到直线x－y－2＝0的最短距离为.