2020版高中数学北师大版选修1-1第三章变化率与导数4导数的四则运算法则学案（含解析）

§4　导数的四则运算法则
学习目标　1.了解导数的加法、减法、乘法、除法法则的推导过程.2.会运用导数公式和导数的加法、减法、乘法、除法法则求一些函数的导数．
知识点一　导数的加法与减法法则
两个函数和(差)的导数等于这两个函数导数的和(差)，即[f(x)＋g(x)]′＝f′(x)＋g′(x)，
[f(x)－g(x)]′＝f′(x)－g′(x)．
特别提醒：(1)两个导数的和差运算只可推广到有限个函数的和差的导数运算．
(2)对于较复杂的函数式，应先进行适当的化简变形，化为较简单的函数式后再求导，可简化求导过程．
知识点二　导数的乘法与除法法则
1．若两个函数f(x)和g(x)的导数分别是f′(x)和g′(x)，则(1)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．
(2)′＝.
2．[kf(x)]′＝kf′(x)．
1．若f(x)＝a2＋2ax＋x2，则f′(a)＝2a＋2x.(　×　)
2．运用法则求导时，不用考虑f′(x)，g′(x)是否存在．(　×　)
3．[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g′(x)．(　×　)
题型一　利用导数四则运算法则求导
例1　求下列函数的导数：
(1)y＝；
(2)y＝；
(3)y＝(x＋1)(x＋3)(x＋5)；
(4)y＝xsinx－.
考点　导数的运算法则
题点　导数乘除法则的混合运用
解　(1)∵y＝－＋x－1＋，
∴y′＝＋－x－2－.
(2)方法一　y′＝
＝＝.
方法二　y＝＝＝1－，
y′＝′＝′
＝
＝.
(3)方法一　y′＝[(x＋1)(x＋3)]′(x＋5)＋(x＋1)(x＋3)(x＋5)′＝[(x＋1)′(x＋3)＋(x＋1)(x＋3)′](x＋5)＋(x＋1)(x＋3)＝(2x＋4)(x＋5)＋(x＋1)(x＋3)＝3x2＋18x＋23.
方法二　∵y＝(x＋1)(x＋3)(x＋5)＝(x2＋4x＋3)(x＋5)
＝x3＋9x2＋23x＋15，
∴y′＝(x3＋9x2＋23x＋15)′＝3x2＋18x＋23.
(4)y′＝(xsinx)′－′
＝x′sinx＋x(sinx)′－
＝sinx＋xcosx－.
反思感悟　1.解答利用导数四则运算法则求导问题时常因导数的四则运算法则不熟而失分．
2．对一个函数求导时，要紧扣导数运算法则，联系基本初等函数的导数公式，当不易直接应用导数公式时，应先对函数进行化简(恒等变换)，然后求导．这样可以减少运算量，优化解题过程．
3．利用导数法则求导的原则是尽可能化为和、差，利用和、差的求导法则求导，尽量少用积、商的求导法则求导．
跟踪训练1　求下列函数的导数：
(1)f(x)＝xlnx；
(2)y＝；
(3)y＝2x3＋log3x；
(4)y＝x－sincos.
解　(1)f′(x)＝(xlnx)′＝lnx＋x·＝lnx＋1.
(2)方法一　y′＝′＝＝.
方法二　y＝＝1－，
∴y′＝′＝′
＝－＝.
(3)y′＝(2x3＋log3x)′＝(2x3)′＋(log3x)′＝6x2＋.
(4)y＝x－sincos＝x－sinx，
∴y′＝′＝1－cosx.
题型二　导数运算法则的综合应用
命题角度1　利用导数求函数解析式
例2　(1)已知函数f(x)＝＋2xf′(1)，试比较f(e)与f(1)的大小关系；
(2)设f(x)＝(ax＋b)sinx＋(cx＋d)cosx，试确定常数a，b，c，d，使得f′(x)＝xcosx.
考点　导数的应用
题点　导数的应用
解　(1)由题意得f′(x)＝＋2f′(1)，
令x＝1，得f′(1)＝＋2f′(1)，即f′(1)＝－1.
所以f(x)＝－2x，得f(e)＝－2e＝－2e，
f(1)＝－2，
由f(e)－f(1)＝－2e＋2<0，得f(e)(2)由已知f′(x)＝[(ax＋b)sin x＋(cx＋d)cos x]′
＝[(ax＋b)sin x]′＋[(cx＋d)cos x]′
＝(ax＋b)′sinx＋(ax＋b)(sinx)′＋(cx＋d)′cosx＋(cx＋d)(cosx)′
＝asinx＋(ax＋b)cosx＋ccosx－(cx＋d)sinx
＝(a－cx－d)sinx＋(ax＋b＋c)cosx.
又∵f′(x)＝xcosx，
∴即
解得a＝d＝1，b＝c＝0.
反思感悟　解决利用导数求函数解析式的题目的前提是熟练应用导数的运算法则．
跟踪训练2　已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2exf′(1)＋3lnx，则f′(1)等于(　　)
A．－3B．2eC.D.
考点　导数的应用
题点　导数的应用
答案　D
解析　∵f′(x)＝2exf′(1)＋，
令x＝1，得f′(1)＝2ef′(1)＋3，
∴f′(1)＝.
命题角度2　与切线有关的问题
例3　(1)设曲线y＝在点处的切线与直线x＋ay＋1＝0垂直，则a＝________.
考点　导数的应用
题点　导数的应用
(2)若曲线y＝xlnx上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标为________．
考点　导数的应用
题点　导数的应用
答案　(1)1　(2)(e，e)
解析　(1)y′＝＝，
当x＝时，y′＝＝1，
直线x＋ay＋1＝0的斜率是－(a≠0)，
由题意－＝－1，所以a＝1.
(2)设P(x0，y0)，
则y＝xlnx在x＝x0处的导数为lnx0＋1＝2，
∴x0＝e，则y0＝e，
则P点坐标为(e，e)．
反思感悟　1.与切线有关的问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素．其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系．
2．准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确．
3．分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上，则要设出切点，这是解题时的易错点．
跟踪训练3　设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为________．
考点　导数的应用
题点　导数的应用
答案　4
解析　因为曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，由导数的几何意义知g′(1)＝2，又因为f(x)＝g(x)＋x2，所以f′(x)＝g′(x)＋2x?f′(1)＝g′(1)＋2＝4，所以y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为4.
求导数运算的技巧
典例　有下列命题：
①若函数h(x)＝cos4－sin4，则h′＝；
②若函数g(x)＝(x－1)(x－2)…(x－6)，则g′(6)＝120；
③函数y＝f(x)的图像在点P(4，y0)处的切线方程是y＝－2x＋6，则f(4)＋f′(4)＝－1.
其中真命题的序号是________．
考点　
题点　
答案　②
解析　①中h(x)＝cos4－sin4
＝＝cosx，
h′(x)＝(cosx)′＝－sinx.
h′＝－sin＝－，①不正确．
②中g′(x)＝(x－2)(x－3)…(x－6)＋(x－1)(x－3)…(x－6)＋(x－1)(x－2)(x－4)(x－5)(x－6)＋(x－1)·(x－2)(x－3)(x－5)(x－6)＋(x－1)(x－2)(x－3)·(x－4)(x－6)＋(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)，
g′(6)＝5×4×3×2×1＝120，故②正确．
③中f(4)＝－2，f′(4)＝－2，∴f(4)＋f′(4)＝－4，故③不正确．
[素养评析]　导数的运算，许多同学虽然导数公式、运算法则记得比较熟悉，但遇到复杂的导数运算，就容易出现错误，因此，需要把数量关系的理解与运用结合起来，同时还要掌握必要的运算技巧，有助于学生整体数学素养的提高.
1．下列运算中正确的是(　　)
A．(lnx－3sinx)′＝(lnx)′－3′·(sinx)′
B．(ax2＋bx＋c)′＝a(x2)′＋bx′
C.′＝
D．(cosx·sinx)′＝(sinx)′cosx＋(cosx)′cosx
考点　导数的应用
题点　导数的应用
答案　B
2．对于函数f(x)＝＋lnx－，若f′(1)＝1，则k等于(　　)
A.B.C．－D．－
考点　导数的应用
题点　导数的应用
答案　A
解析　∵f′(x)＝＋＋，
∴f′(1)＝－e＋1＋2k＝1，解得k＝，
故选A.
3．设曲线y＝在点(3,2)处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a等于(　　)
A．2B.C．－D．－2
考点　导数的应用
题点　导数的应用
答案　D
解析　y′＝＝，
∴在x＝3处，函数y＝的导数为＝－，
∴曲线y＝在点(3,2)处的切线斜率为－，
由题意得×(－a)＝－1，∴a＝－2.
4．已知函数f(x)＝(2x＋1)ex，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(0)的值为________．
考点　导数的应用
题点　导数的应用
答案　3
解析　由题意得f′(x)＝(2x＋3)ex，得f′(0)＝3.
5．在平面直角坐标系xOy中，若曲线y＝ax2＋(a，b为常数)过点P(2，－5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x＋2y＋3＝0平行，则a＋b的值是______．
考点　导数的应用
题点　导数的应用
答案　－3
解析　y＝ax2＋的导数为y′＝2ax－，
直线7x＋2y＋3＝0的斜率为－.
由题意得解得
则a＋b＝－3.
求函数的导数要准确把函数分割为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数．在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公式．对于不具备导数运算法则结构形式的要适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题.
一、选择题
1．下列结论不正确的是(　　 )
A．若y＝3，则y′＝0
B．若f(x)＝3x＋1，则f′(1)＝3
C．若y＝－＋x，则y′＝－＋1
D．若y＝sinx＋cosx，则y′＝cosx＋sinx
答案　D
解析　利用求导公式和导数的加、减运算法则求解．
D项，∵y＝sinx＋cosx，
∴y′＝(sinx)′＋(cosx)′＝cosx－sinx.
2．函数y＝(a>0)在x＝x0处的导数为0，那么x0等于(　　)
A．aB．±aC．－aD．a2
考点　导数的运算法则
题点　导数除法法则及运算
答案　B
解析　∵y′＝1－，在x＝x0处，函数y＝的导数是1－＝0，∴x0＝±a.
3．已知物体的运动方程为s＝t2＋(t是时间，s是位移)，则物体在时刻t＝2时的速度为(　　)
A. B.
C. D.
考点　导数的应用
题点　导数的应用
答案　D
解析　∵s′＝2t－，∴在t＝2处，函数s＝t2＋的导数是4－＝.即物体在时刻t＝2时的速度为.
4．若曲线f(x)＝xsinx＋1在x＝处的切线与直线ax＋2y＋1＝0互相垂直，则实数a等于(　　)
A．－2B．－1C．1D．2
考点　导数的应用
题点　导数的应用
答案　D
解析　∵f′(x)＝sinx＋xcosx，
由题意知f′·＝－1，
∴a＝2.
5．若函数f(x)＝在x＝x0处的导数值与函数值互为相反数，则x0的值等于(　　)
A．0 B．1
C. D．不存在
考点　导数的应用
题点　导数的应用
答案　C
解析　f′(x)＝，
由题意知f′(x0)＋f(x0)＝0，
即＋＝0，解得x0＝.
6．函数y＝f(x)＝sinx＋ex的图像上一点(0,1)处的切线的斜率为(　　)
A．1B．2C．3D．0
答案　B
解析　因为函数y＝f(x)＝sinx＋ex的导数为y′＝cosx＋ex，所以f′(0)＝cos0＋e0＝2.
所以函数y＝sinx＋ex的图像上一点(0,1)处的切线的斜率为2.
7．函数f(x)＝x3的斜率等于1的切线有(　　 )
A．1条 B．2条
C．3条 D．不确定
答案　B
解析　∵f′(x)＝3x2，设切点为(x0，y0)，则3x＝1，得x0＝±，即在点和点处有斜率为1的切线．
8．在下面的四个图像中，其中一个图像是函数f(x)＝x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a≠0)的导函数y＝f′(x)的图像，则f(－1)等于(　　)
A.B．－C.D．－或
考点　导数的应用
题点　导数的应用
答案　B
解析　∵f′(x)＝x2＋2ax＋(a2－1)，
∴导函数f′(x)的图像开口向上．
又∵a≠0，∴f′(x)不是偶函数，
其图像不关于y轴对称，
故其图像必为③.
由图像特征知f′(0)＝0，且对称轴－a>0，
∴a＝－1，则f(－1)＝－－1＋1＝－，故选B.
二、填空题
9．已知函数f(x)＝f′cosx＋sinx，则f的值为________．
考点　导数的应用
题点　导数的应用
答案　1
解析　∵f′(x)＝－f′sinx＋cosx，
∴f′＝－f′×＋，
得f′＝－1.
∴f(x)＝(－1)cosx＋sinx，
∴f＝1.
10．曲线y＝f(x)＝xex＋2x＋1在点(0,1)处的切线方程为________．
考点　导数的应用
题点　导数的应用
答案　3x－y＋1＝0
解析　f′(x)＝ex＋xex＋2，k＝f′(0)＝e0＋0＋2＝3，
所以切线方程为y－1＝3(x－0)，即3x－y＋1＝0.
11．已知f(x)＝x(x＋1)(x＋2)(x＋3)(x＋4)(x＋5)＋6，则f′(0)＝________.
考点　导数的运算法则
题点　导数乘法法则及运算
答案　120
解析　因为f(x)＝x(x＋1)(x＋2)(x＋3)(x＋4)(x＋5)＋6，
所以f′(x)＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)(x＋4)(x＋5)＋x[(x＋1)(x＋2)(x＋3)(x＋4)(x＋5)]′，
所以f′(0)＝1×2×3×4×5＝120.
三、解答题
12．若曲线y＝x2－ax＋lnx存在垂直于y轴的切线，求实数a的取值范围．
考点　导数的应用
题点　导数的应用
解　∵y＝x2－ax＋lnx，∴y′＝2x－a＋，
由题意可知存在实数x>0使得2x－a＋＝0，
即a＝2x＋成立，
∴a＝2x＋≥2
.
∴实数a的取值范围是[2，＋∞)．
13．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，其导函数f′(x)＝2x－8.
(1)求a，b的值；
(2)设函数g(x)＝exsinx＋f(x)，求曲线g(x)在x＝0处的切线方程．
考点　导数的应用
题点　导数的应用
解　(1)因为f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，
所以f′(x)＝2ax＋b，
又f′(x)＝2x－8，所以a＝1，b＝－8.
(2)由(1)可知g(x)＝exsinx＋x2－8x＋3，
所以g′(x)＝exsinx＋excosx＋2x－8，
所以g′(0)＝e0sin0＋e0cos0＋2×0－8＝－7，
又g(0)＝3，
所以曲线g(x)在x＝0处的切线方程为y－3＝－7(x－0)，
即7x＋y－3＝0.
14．已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是________．
考点　导数的应用
题点　导数的应用
答案　
解析　y′＝－＝－，
设t＝ex∈(0，＋∞)，则y′＝－＝－，
∵t＋≥2(当且仅当t＝1时，等号成立)，
∴y′∈[－1,0)，α∈.
15．设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.
(1)求f(x)的解析式；
(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．
考点　导数的应用
题点　导数的应用
解　(1)由7x－4y－12＝0，得y＝x－3.
当x＝2时，y＝，∴f(2)＝，①
又f′(x)＝a＋，∴f′(2)＝，②
由①②得解得
故f(x)＝x－.
(2)设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y′＝1＋知，曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为
y－y0＝(x－x0)，
即y－＝(x－x0)．
令x＝0，得y＝－，
从而得切线与直线x＝0的交点坐标为.
令y＝x，得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．
所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为××|2x0|＝6.
故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值，
此定值为6.