2020版高中数学北师大版选修1-1第三章变化率与导数章末复习学案（含解析）

第三章 变化率与导数章末复习
学习目标　1.会求函数在某点处的导数.2.理解导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程.3.能够运用导数公式和求导法则进行求导运算．
1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率称为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)，即f′(x0)＝＝.
(2)函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的斜率，在点P处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
2．导函数
如果一个函数f(x)在区间(a，b)上的每一点x处都有导数，导数值记为f′(x)，f′(x)＝，则f′(x)是关于x的函数，称f′(x)为f(x)的导函数，通常也简称为导数．
3．导数公式表
原函数
导函数
f(x)＝c(c是常数)
f′(x)＝0
f(x)＝xα(α为实数)
f′(x)＝αxα－1
f(x)＝sinx
f′(x)＝cosx
f(x)＝cosx
f′(x)＝－sinx
f(x)＝ax(a>0，a≠1)
f′(x)＝axlna
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝logax(a>0，a≠1)
f′(x)＝
f(x)＝lnx
f′(x)＝
f(x)＝tanx
f′(x)＝
f(x)＝cotx
f′(x)＝－
4．导数的四则运算法则
设两个函数f(x)，g(x)可导，则
和的导数
[f(x)＋g(x)]′＝f′(x)＋g′(x)
差的导数
[f(x)－g(x)]′＝f′(x)－g′(x)
积的导数
[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
商的导数
′＝
1．f′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同．(　×　)
2．若y＝，则y′＝×3＝.(　×　)
3．因为(lnx)′＝，则′＝lnx．(　×　)
题型一　导数几何意义的应用
例1　求过曲线y＝sinx上点P且与过这点的切线垂直的直线方程．
解　∵y＝sinx，∴y′＝cosx，
曲线在点P处的切线斜率
k＝cos＝，
∴过点P且与切线垂直的直线的斜率为－，
故所求的直线方程为y－＝－，
即2x＋y－－＝0.
反思感悟　利用导数求切线方程时关键是找到切点，若切点未知需设出．常见的类型有两种，一类是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，易求斜率进而写出直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q(x1，y1)，由＝f′(x1)和y1＝f(x1)求出x1，y1的值，转化为第一种类型．
跟踪训练1　设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1(a>0)，直线l是曲线y＝f(x)的一条切线，当l的斜率最小时，直线l与直线10x＋y＝6平行．
(1)求a的值；
(2)求f(x)在x＝3处的切线方程．
考点　切线方程求解及应用
题点　求曲线的切线方程
解　(1)∵f′(x)＝x2＋2ax－9＝(x＋a)2－a2－9，
∴f′(x)min＝－a2－9，
由题意知－a2－9＝－10，∴a＝1或－1(舍去)．
故a＝1.
(2)由(1)得a＝1.
∴f′(x)＝x2＋2x－9，
则k＝f′(3)＝6，f(3)＝－10.
∴f(x)在x＝3处的切线方程为y＋10＝6(x－3)，
即6x－y－28＝0.
题型二　导数的计算
例2　求下列函数的导数：
(1)y＝x2－lnx＋ax＋π；
(2)y＝3＋4；
(3)y＝.
考点　导数的运算法则
题点　导数运算法则的应用
解　(1)y′＝(x2－lnx＋ax＋π)′
＝(x2)′－(lnx)′＋(ax)′＋π′
＝2x－＋axlna.
(2)y′＝(3＋4)′
＝(3)′＋(4)′
＝＋
＝＋
＝4＋6.
(3)y′＝′
＝
＝
＝－.
反思感悟　有关导数的计算应注意以下两点
(1)熟练掌握公式：熟练掌握简单函数的导数公式及函数的和、差、积、商的导数运算法则．
(2)注意灵活化简：当函数式比较复杂时，要将函数形式进行化简，化简的原则是将函数拆分成简单函数的四则运算形式，由于在导数的四则运算公式中，和与差的求导法则较为简洁，因此化简时尽可能转化为和、差的形式，尽量少用积、商求导．
跟踪训练2　求下列函数的导数：
(1)y＝；
(2)y＝.
考点　导数的运算法则
题点　导数运算法则的应用
解　(1)∵y＝－x＋5－，
∴y′＝－x′＋5′－
＝－1＋
＝－1.
(2)∵y＝
＝
＝cosx－sinx，
∴y′＝(cosx－sinx)′
＝(cosx)′－(sinx)′
＝－sinx－cosx.
题型三　导数的综合应用
例3　设函数f(x)＝a2x2(a>0)，若函数y＝f(x)图像上的点到直线x－y－3＝0距离的最小值为，求a的值．
考点　导数的综合应用
题点　导数的综合应用
解　因为f(x)＝a2x2，所以f′(x)＝2a2x，
令f′(x)＝2a2x＝1，
得x＝，此时y＝，
则点到直线x－y－3＝0的距离为，
即＝，解得a＝或.
反思感悟　利用基本初等函数的求导公式，结合导数的几何意义可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题．解题时可先利用图像分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算．
跟踪训练3　已知直线x－2y－4＝0与抛物线y2＝x相交于A，B两点，O是坐标原点，试在抛物线的弧上求一点P，使△ABP的面积最大．
考点　导数的综合应用
题点　导数的综合应用
解　设P(x0，y0)，过点P与AB平行的直线为l，如图．
由于直线x－2y－4＝0与抛物线y2＝x相交于A，B两点，所以|AB|为定值，要使△ABP的面积最大，只要P到AB的距离最大，而P点是抛物线的弧上的一点，因此点P是抛物线上平行于直线AB的切线的切点，由图知点P在x轴上方，y＝，y′＝，由题意知kAB＝.
∴kl＝＝，即x0＝1，∴y0＝1.∴P(1,1)．
1．下列说法正确的是(　　)
A．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处就没有切线
B．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在
C．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在
D．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线，则f′(x0)有可能存在
答案　C
解析　k＝f′(x0)，所以f′(x0)不存在只说明曲线在该点处的切线斜率不存在，而当斜率不存在时，切线方程也可能存在，其切线方程为x＝x0.
2．已知函数f(x)＝x22x，则f′(2)等于(　　)
A．16＋ln2 B．16＋8ln2
C．8＋16ln2 D．16＋16ln2
考点　导数的乘法与除法法则
题点　利用导数的乘除法则求导
答案　D
解析　∵f′(x)＝2x·2x＋x2·2xln2，∴f′(2)＝16＋16ln2.
3．设函数f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则a的值为(　　)
A.B.C.D.
答案　D
解析　f′(x)＝3ax2＋6x，∵f′(－1)＝4，∴3a－6＝4，
∴a＝.
4．若直线y＝x＋b是曲线y＝lnx(x>0)的一条切线，则实数b＝.
考点　基本初等函数的导数公式
题点　与切线有关的问题
答案　ln2－1
解析　设切点为(x0，y0)，∵y′＝，∴＝，
∴x0＝2，∴y0＝ln2，ln2＝×2＋b，∴b＝ln2－1.
5．已知P，Q为抛物线x2＝2y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，－2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，求点A的纵坐标．
考点　导数的综合应用
题点　导数的综合应用
解　由于P，Q为抛物线x2＝2y上的点，且横坐标分别为4，－2，则P(4,8)，Q(－2,2)，从而在点P处的切线斜率k＝f′(4)＝4.由点斜式，得曲线在点P处的切线方程为y－8＝4(x－4)；同理，曲线在点Q处的切线方程为y－2＝－2(x＋2)；上述两方程联立，解得交点A的纵坐标为－4.
1．利用定义求函数的导数是逼近思想的应用．
2．导数的几何意义是曲线在一点的切线的斜率．
3．对于复杂函数的求导，可利用导数公式和导数的四则运算法则，减少运算量．