1.1.1 正弦定理（2）同步学案
文档属性
| 名称 | 1.1.1 正弦定理（2）同步学案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 152.7KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-05-30 16:19:25 | ||
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文档简介
高二数学 必修5 第一章 §1.1.1 正弦定理（2）
班级 姓名
学习目标
1. 掌握正弦定理的内容及变形公式；
2. 会运用正弦定理变形公式解决判断三角形形状，求三角形面积，以及求范围的等综合问题．
学习过程
一、课前准备
复习：在一个三角形中，各 和它所对角的 的 相等，即 = = ．
二、新课导学
新知1：正弦定理的活用
（1），；
（2）,,
(3)
（4）
新知2：三角形面积公式 由正弦定理可以很容易得到的面积公式：
，
典型例题
例1、在中，角、、的对边分别是、、，若，则＿＿
例2、在中, .
例3、在中，若且试判断的形状。
变式1：在中，已知，试判断三角形的形状．
变式2：在判断的形状.
提高题：在中，，并且B为锐角，试判断的形状特征。
三、总结提升
※ 学习小结
1、三角形的面积公式：；
2、根据条件判断三角形的形状的方法：“角化边”与“边化角”。
课后作业
一、基础训练题
1．已知锐角△ABC的面积为3，BC＝4，CA＝3，则角C的大小为( )．
A．75° B．60° C．45° D．30°
2．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c＝，b＝，B＝120°，则a等于( )
A. B．2 C. D.
3．在△ABC中，若＝，则C的值为( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
4．在△ABC中，a＝bsin A，则△ABC一定是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
5．在△ABC中，如果A＝60°，c＝4，a＝4，则此三角形有( )
A．两解 B．一解 C．无解 D．无穷多解
6．在△ABC中，已知BC＝，sin C＝2sin A，则AB＝________.
7．在△ABC中，a＝3，cos C＝，S△ABC＝4，则b＝______.
8．在△ABC中，B＝30°，C＝120°，则a∶b∶c＝________.
9．在△ABC中，若A∶B∶C＝1∶2∶3，a＝1，则＝________.
10．在△ABC中，若tan A＝，C＝150°，BC＝1，则求AB的长.
11．在△ABC中，acos(－A)＝bcos(－B)，判断△ABC的形状．
二、提高训练题
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(，－1)，n＝(cos A，sin A)，
若m⊥n，且acos B＋bcos A＝c·sin C，则角A，B的大小为( )．
A. ， B. ，
C. ， D. ，
13．在△ABC中，已知＝，且2sin A·sin B＝2sin2C，试判断其形状．
在△ABC中，已知tan B＝，cos C＝，AC＝3，求△ABC的面积．
必修5 第一章 §1.1.1 正弦定理（2）参考答案
1、解析 由S△ABC＝3＝BC·CA·sin C＝×3×4sin C得sin C＝，又C为锐角．故C＝60°.
答案 B
2、解析：由正弦定理＝?sin C＝，于是C＝30°?A＝30°?a＝c＝.
答案：D
3、解析：选B.∵＝，∴＝，
又由正弦定理＝.
∴cos C＝sin C，即C＝45°，故选B.
答案：B
解析：选B.由题意有＝b＝，则sin B＝1，
即角B为直角，故△ABC是直角三角形．
答案：B
5、解析：选B.因csin A＝2＜4，且a＝c，故有唯一解．
答案：B
6、解析：AB＝BC＝2BC＝2.
答案：2
7、解析 cos C＝?sin C＝；S△ABC＝absin C?·3·b·＝4?b＝2.
答案 2
8、解析：A＝180°－30°－120°＝30°，
由正弦定理得：a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝1∶1∶.
答案：1∶1∶
9、解析 由已知A＝30°，B＝60°，C＝90°，＝2.
∴＝＝＝＝2.
答案 2
10、解：在△ABC中，若tan A＝，C＝150°，
∴A为锐角，sin A＝，BC＝1，
则根据正弦定理知AB＝＝.
11、解：法一：∵acos(－A)＝bcos(－B)，
∴asin A＝bsin B．由正弦定理可得：a·＝b·，
∴a2＝b2，∴a＝b，∴△ABC为等腰三角形．
法二：∵acos(－A)＝bcos(－B)，
∴asin A＝bsin B．由正弦定理可得：
2Rsin2A＝2Rsin2B，即sin A＝sin B，
∴A＝B.(A＋B＝π不合题意舍去)
故△ABC为等腰三角形．
12、解析 ∵m⊥n，∴cos A－sin A＝0，
∴tan A＝，∴A＝，
由正弦定理得sin Acos B＋sin Bcos A＝sin2C，
∴sin(A＋B)＝sin2C，即sin C＝1，∴C＝，B＝.
答案 C
13、解 由正弦定理可得＝＝，
∴b2－a2＝ab，①
又∵2sin Asin B＝2sin2C，
∴由正弦定理，得2ab＝2c2.②
由①、②得b2－a2＝c2，即b2＝a2＋c2.
∴该三角形为以B为直角顶点的直角三角形．
14、解 设AB、BC、CA的长分别为c、a、b.
由tan B＝，得B＝60°，∴sin B＝，cos B＝.
又sin C＝＝，
由正弦定理，得c＝＝＝8.
又∵A＋B＋C＝180°，
∴sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C
＝×＋×＝＋.
∴所求面积S△ABC＝bcsin A＝6＋8.
班级 姓名
学习目标
1. 掌握正弦定理的内容及变形公式；
2. 会运用正弦定理变形公式解决判断三角形形状，求三角形面积，以及求范围的等综合问题．
学习过程
一、课前准备
复习：在一个三角形中，各 和它所对角的 的 相等，即 = = ．
二、新课导学
新知1：正弦定理的活用
（1），；
（2）,,
(3)
（4）
新知2：三角形面积公式 由正弦定理可以很容易得到的面积公式：
，
典型例题
例1、在中，角、、的对边分别是、、，若，则＿＿
例2、在中, .
例3、在中，若且试判断的形状。
变式1：在中，已知，试判断三角形的形状．
变式2：在判断的形状.
提高题：在中，，并且B为锐角，试判断的形状特征。
三、总结提升
※ 学习小结
1、三角形的面积公式：；
2、根据条件判断三角形的形状的方法：“角化边”与“边化角”。
课后作业
一、基础训练题
1．已知锐角△ABC的面积为3，BC＝4，CA＝3，则角C的大小为( )．
A．75° B．60° C．45° D．30°
2．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c＝，b＝，B＝120°，则a等于( )
A. B．2 C. D.
3．在△ABC中，若＝，则C的值为( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
4．在△ABC中，a＝bsin A，则△ABC一定是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
5．在△ABC中，如果A＝60°，c＝4，a＝4，则此三角形有( )
A．两解 B．一解 C．无解 D．无穷多解
6．在△ABC中，已知BC＝，sin C＝2sin A，则AB＝________.
7．在△ABC中，a＝3，cos C＝，S△ABC＝4，则b＝______.
8．在△ABC中，B＝30°，C＝120°，则a∶b∶c＝________.
9．在△ABC中，若A∶B∶C＝1∶2∶3，a＝1，则＝________.
10．在△ABC中，若tan A＝，C＝150°，BC＝1，则求AB的长.
11．在△ABC中，acos(－A)＝bcos(－B)，判断△ABC的形状．
二、提高训练题
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(，－1)，n＝(cos A，sin A)，
若m⊥n，且acos B＋bcos A＝c·sin C，则角A，B的大小为( )．
A. ， B. ，
C. ， D. ，
13．在△ABC中，已知＝，且2sin A·sin B＝2sin2C，试判断其形状．
在△ABC中，已知tan B＝，cos C＝，AC＝3，求△ABC的面积．
必修5 第一章 §1.1.1 正弦定理（2）参考答案
1、解析 由S△ABC＝3＝BC·CA·sin C＝×3×4sin C得sin C＝，又C为锐角．故C＝60°.
答案 B
2、解析：由正弦定理＝?sin C＝，于是C＝30°?A＝30°?a＝c＝.
答案：D
3、解析：选B.∵＝，∴＝，
又由正弦定理＝.
∴cos C＝sin C，即C＝45°，故选B.
答案：B
解析：选B.由题意有＝b＝，则sin B＝1，
即角B为直角，故△ABC是直角三角形．
答案：B
5、解析：选B.因csin A＝2＜4，且a＝c，故有唯一解．
答案：B
6、解析：AB＝BC＝2BC＝2.
答案：2
7、解析 cos C＝?sin C＝；S△ABC＝absin C?·3·b·＝4?b＝2.
答案 2
8、解析：A＝180°－30°－120°＝30°，
由正弦定理得：a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝1∶1∶.
答案：1∶1∶
9、解析 由已知A＝30°，B＝60°，C＝90°，＝2.
∴＝＝＝＝2.
答案 2
10、解：在△ABC中，若tan A＝，C＝150°，
∴A为锐角，sin A＝，BC＝1，
则根据正弦定理知AB＝＝.
11、解：法一：∵acos(－A)＝bcos(－B)，
∴asin A＝bsin B．由正弦定理可得：a·＝b·，
∴a2＝b2，∴a＝b，∴△ABC为等腰三角形．
法二：∵acos(－A)＝bcos(－B)，
∴asin A＝bsin B．由正弦定理可得：
2Rsin2A＝2Rsin2B，即sin A＝sin B，
∴A＝B.(A＋B＝π不合题意舍去)
故△ABC为等腰三角形．
12、解析 ∵m⊥n，∴cos A－sin A＝0，
∴tan A＝，∴A＝，
由正弦定理得sin Acos B＋sin Bcos A＝sin2C，
∴sin(A＋B)＝sin2C，即sin C＝1，∴C＝，B＝.
答案 C
13、解 由正弦定理可得＝＝，
∴b2－a2＝ab，①
又∵2sin Asin B＝2sin2C，
∴由正弦定理，得2ab＝2c2.②
由①、②得b2－a2＝c2，即b2＝a2＋c2.
∴该三角形为以B为直角顶点的直角三角形．
14、解 设AB、BC、CA的长分别为c、a、b.
由tan B＝，得B＝60°，∴sin B＝，cos B＝.
又sin C＝＝，
由正弦定理，得c＝＝＝8.
又∵A＋B＋C＝180°，
∴sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C
＝×＋×＝＋.
∴所求面积S△ABC＝bcsin A＝6＋8.