1.1.2 余弦定理（2）同步学案

高二数学 必修5 第一章 §1.1.2 余弦定理（2）
班级 姓名
学习目标
1. 掌握余弦定理的应用；
2. 利用正弦定理与余弦定理判断三角形的形状．
学习过程
一、课前准备
复习1：正弦定理：
复习2：在ABC中，已知，讨论三角形解的情况 ：
①当A为钝角或直角时，必须才能有且只有一解；否则无解；
②当A为锐角时，如果≥，那么只有一解；
如果，那么可以分下面三种情况来讨论：
（1）若，则有两解；
（2）若，则只有一解；
（3）若，则无解．

复习3：余弦定理：，
复习4：在解三角形时，
已知三边求角，用 定理；
已知两边和夹角，求第三边，用 定理；
已知两角和一边，用 定理．
复习5：在△ABC中，
若，则角是 角；
若，则角是 角；
若，则角是 角．
二、新课导学
※ 典型例题
例1、在ABC中，，，，求的值．
例2、在△ABC中，判断△ABC的形状．
变式1、在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bc cos Bcos C，试判断三角形的形状．
变式2、在△ABC中，cos2＝，判断△ABC的形状．
三、总结提升
※ 学习小结
判断三角形的形状应围绕三角形的边角关系进行思考，可用正、余弦定理将已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等方式得出边的相应关系，从而判断三角形的形状，也可利用正、余弦定理将已知条件转化为角与角之间的关系，通过三角变换，得出三角形各内角之间的关系，从而判断三角形形状．
课后作业
一、基础训练题
1．在△ABC中，已知a＝2，b＝3，C＝120°，则sin A的值为(　　)
A. B.
C. D．－
2．在△ABC中，若a＝10，b＝24，c＝26，则最大角的余弦值是(　　)
A.　　　　　　　　 B.
C．0 D.
3．已知△ABC的三边分别为2,3,4，则此三角形是(　　)
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．不能确定
4．△ABC中，已知a＝2，b＝4，C＝60°，则A＝________.
5．在△ABC中，已知b2＝ac且c＝2a，则cos B等于________．
6．在△ABC中，AB＝2，AC＝，BC＝1＋，AD为边BC上的高，则AD的长是____________．
7．已知在△ABC中，cos A＝，a＝4，b＝3，求角C.
8．在△ABC中，已知CB＝7，AC＝8，AB＝9，试求AC边上的中线长．
9．在△ABC中，b＝asin C，c＝acos B，试判断△ABC的形状．
二、提高训练题
10．在△ABC中，sin2＝ (a，b，c分别为角A，B，C的对应边)，则△ABC的形状为________．
11．在△ABC中，已知面积S＝(a2＋b2－c2)，则角C的度数为________．
12．在△ABC中，BC＝1，B＝，当△ABC的面积等于时，tan C＝________.
13．在△ABC中，acos A＋bcos B＝ccos C，试判断三角形的形状．
必修5 第一章 §1.1.2 余弦定理（2）参考答案
1、解析：c2＝a2＋b2－2abcos C＝22＋32－2×2×3×cos 120°＝19.∴c＝.
由＝得sin A＝.
答案：A
2、解析：选C.∵c＞b＞a，∴c所对的角C为最大角，由余弦定理得cos C＝＝0.
答案：C
3、解析：选B.∵42＝16＞22＋32＝13，∴边长为4的边所对的角是钝角，∴△ABC是钝角三角形．
答案：B
4、答案：30°
解析　c2＝a2＋b2－2abcos C＝22＋42－2×2×4×cos 60°＝12，
∴c＝2.
由正弦定理：＝得sin A＝.
∵a5、答案：
解析　∵b2＝ac，c＝2a，∴b2＝2a2，b＝a，
∴cos B＝＝＝.
6、答案：
解析　∵cos C＝＝，∴sin C＝.
∴AD＝AC·sin C＝.
7、解：A为b，c的夹角，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，
∴16＝9＋c2－6×c，
整理得5c2－18c－35＝0.
解得c＝5或c＝－(舍)．
由余弦定理得cos C＝＝＝0，
∵0°＜C＜180°，∴C＝90°.
8、解　由条件知：cos A＝＝＝，设中线长为x，由余弦定理知：x2＝2＋AB2－2··ABcos A＝42＋92－2×4×9×＝49?x＝7.
所以，所求中线长为7.
9、解：由余弦定理知cos B＝，代入c＝acos B，
得c＝a·，∴c2＋b2＝a2，
∴△ABC是以A为直角的直角三角形．
又∵b＝asin C，∴b＝a·，∴b＝c，
∴△ABC也是等腰三角形．
综上所述，△ABC是等腰直角三角形．
10、答案：直角三角形
解析　∵sin2＝＝，
∴cos A＝＝?a2＋b2＝c2，符合勾股定理．
故△ABC为直角三角形．
11、答案：45°
解析　∵S＝(a2＋b2－c2)＝absin C，
∴a2＋b2－c2＝2absin C，∴c2＝a2＋b2－2absin C.
由余弦定理得：c2＝a2＋b2－2abcos C，∴sin C＝cos C，
∴C＝45° .
12、答案：－2
解析　S△ABC＝acsin B＝，∴c＝4.由余弦定理得，b2＝a2＋c2－2accos B＝13，
∴cos C＝＝－，sin C＝，∴tan C＝－＝－2.
13、解　由余弦定理知
cos A＝，cos B＝，cos C＝，
代入已知条件得
a·＋b·＋c·＝0，
通分得a2(b2＋c2－a2)＋b2(a2＋c2－b2)＋c2(c2－a2－b2)＝0，
展开整理得(a2－b2)2＝c4.∴a2－b2＝±c2，即a2＝b2＋c2或b2＝a2＋c2.
根据勾股定理知△ABC是直角三角形．