1.2 应用举例—①测量距离 同步学案

高二数学 必修5 第一章 §1.2 应用举例—①测量距离
班级 姓名
学习目标
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题
学习过程
一、课前准备
对实际应用问题中的一些名称、术语的含义的理解
(1)坡角：坡向与水平方向的夹角，如图．
(2)仰角和俯角：在视线和水平线所成角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角，如图．
(3)方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线所成的角，如图中B点的方位角为α.
(4)方向角：从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角，如南偏西60°，指以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°.如图中∠ABC为北偏东60°或为东偏北30°.


坡角 仰角和俯角 方位角 方向角
二、新课导学
※ 典型例题
例1、如图，为测量河对岸A，B两点的距离，在河的这边测出CD的长为km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，求A，B两点间的距离．
变式1、如图所示，为了测量河的宽度，在一侧岸边选定两点A，B，在另一侧岸边选定点C，测得
∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，求河的宽度。
新知：基线：在测量上，根据测量需要适当确定的线段叫基线.
例2、一商船行至索马里海域时，遭到海盗的追击，随即发出求救信号．正在该海域执行护航任务的海军“黄山”舰在A处获悉后，即测出该商船在方位角为45°距离10海里的C处，并沿方位角为105°的方向，以9海里/时的速度航行．“黄山”舰立即以21海里/时的速度前去营救．求“黄山”舰靠近商船所需要的最少时间及所经过的路程．
变式2、如图，一艘船以的速度向正北航行，在处看灯塔在船的北偏东的方向，30 后航行到处，在处看灯塔在船的北偏东的方向，已知距离此灯塔以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续一直沿正北方向航行吗？
（参考值：，）
三、总结提升
※ 学习小结
1. 解斜三角形应用题的一般步骤：
（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图
（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；
（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解
（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解.
2．基线的选取：
测量过程中，要根据需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度.
课后作业
一、基础训练题
1．某次测量中，若A在B的南偏东40°，则B在A的(　　)
A．北偏西40°　　　　B．北偏东50° C．北偏西50° D．南偏西50°
2．在某次测量中，在A处测得同一方向的B点的仰角为60°，C点的俯角为70°，则∠BAC等于(　　)
A．10° B．50° C．120° D．130°
3．已知A、B两地间的距离为10 km，B、C两地间的距离为20 km，现测得∠ABC＝120°，则A、C两地间的距离为(　　)
A．10 km B．10 km C．10 km D．10 km
4．我舰在敌岛A处南偏西50°的B处，且AB距离为12海里，发现敌舰正离开岛沿北偏西10°的方向以每小时10海里的速度航行，若我舰要用2小时追上敌舰，则速度大小为(　　)
A．28海里/小时 B．14海里/小时 C．14 海里/小时 D．20海里/小时
5．有一长为10 m的斜坡，倾斜角为75°，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°，则坡底要延长表 (　　)．
A．5 m B．10 m C．10 m D．10 m
6．已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为 (　　)．
A．a km B.a km C.a km D．2a km
7．海上有A，B，C三个小岛，测得A，B两岛相距10 n mile，∠BAC＝60°，∠ABC＝75°，则B，C间的距离是_____n mile.
8．某海岛周围38海里有暗礁，一轮船由西向东航行，初测此岛在北偏东60°方向，航行30海里后测得此岛在东北方向，若不改变航向，判断此船有无触礁的危险．
9．如图，A、B两点都在河的对岸(不可到达)，在河岸边选定两点C、D，测得CD＝1000米，∠ACB＝30°，∠BCD＝30°，∠BDA＝30°，∠ADC＝60°，求AB的长．
二、提高训练题
10．某人先向正东方向走了x km，然后他向右转150°，向新的方向走了3 km，结果他离出发点恰好为 km，那么x的值为 (　　)．
A. B．2 C．2或 D．3
11．海上一观测站测得方位角240°的方向上有一艘停止待修的商船，在商船的正东方有一艘海盗船正向它靠近，速度为每小时90海里．此时海盗船距观测站10 海里，20分钟后测得海盗船距观测站20海里，再过________分钟，海盗船即可到达商船．
12．某海上养殖基地A接到气象部门预报，位于基地南偏东60°距离20(＋1)海里的海面上有一台风中心，影响半径为20海里，正以每小时10海里的速度沿某一方向匀速直线前进，预计台风中心将从基地东北方向刮过且(＋1)小时后开始影响基地持续2小时．求台风移动的方向．
必修5 第一章 §1.2 应用举例—①测量距离参考答案
1、答案：A
2、解析：如图，∠BAC等于A观察B点的仰角与观察C点的俯角和，即60°＋70°＝130°.
答案：D
3、解析：选D.由余弦定理可知：
AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC.
又∵AB＝10，BC＝20，∠ABC＝120°，
∴AC2＝102＋202－2×10×20×cos 120°＝700.
∴AC＝10.
解析：如图，设我舰在C处追上敌舰，速度为v，
则在△ABC中，AC＝10×2＝20(海里)，AB＝12海里，∠BAC＝120°，
∴BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos 120°＝784，
∴BC＝28海里，
∴v＝14海里/小时．
答案：B.
5、解析　如下图所示， 设将坡底加长到B′时，倾斜角为30°.依题意，∠AB′B＝30°，
∠BAB′＝75°－30°＝45°，AB＝10 m.
在△ABB′中，根据正弦定理得，
BB′＝＝＝10(m)，
即当坡底伸长10 m时，斜坡的倾斜角将变为30°.
答案　C
6、解析　如图所示，在△ABC中，AC＝BC＝a，∠ACB＝180°－(20°＋40°)＝120°，
∴AB＝
＝ 
＝ a(km)．
答案　B
7、解析　在△ABC中，由正弦定理可得＝，即BC＝＝
＝5.
答案　5
8、解：由题意在三角形ABC中，AB＝30，∠BAC＝30°，
∠ABC＝135°，∴∠ACB＝15°，由正弦定理BC＝·
sin∠BAC＝·
sin 30°＝＝15(＋)．
在Rt△BDC中，CD＝BC＝15(＋1)>38.
所以没有触礁危险
9、解：由题意知△ACD为正三角形，
所以AC＝CD＝1000米．
在△BCD中，∠BDC＝90°，
所以BC＝＝＝米．
在△ACB中，AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos 30°
＝10002＋－2×1000××＝10002×，
所以AB＝米．
10、解析 根据余弦定理可得，()2＝x2＋32－2×3xcos(180°－150°)，即x2－3x＋6＝0，∴x＝2或.
答案　C
11、解析 如图，设开始时观测站、商船、海盗船分别位于A、B、C处，20分钟后，海盗船到达D处，在△ADC中，AC＝10，AD＝20，CD＝30，由余弦定理得
cos∠ADC＝
＝＝.
∴∠ACD＝60°，在△ABD中由已知得∠ABD＝30°.
∠BAD＝60°－30°＝30°，
∴BD＝AD＝20，×60＝(分钟)．
答案：
12、解：如题图所示，设预报时台风中心为B，开始影响基地时台风中心为C，则B，C，D在同一直线上，且AD＝20海里，AC＝20海里．
由题意知，AB＝20(＋1) 海里，DC＝2×10＝20 海里，BC＝(＋1)×10 海里．
在△ADC中，∵DC2＝AD2＋AC2，
∴∠DAC＝90°，∠ADC＝45°.
在△ABC中，由余弦定理得
cos∠BAC＝＝，
∴∠BAC＝30°，
又∵B位于A的南偏东60°，且60°＋30°＋90°＝180°，
∴D位于A的正北方向，又∵∠ADC＝45°，
∴台风移动的方向为的方向，即北偏西45°方向．
所以台风向北偏西45°方向移动．