1.2 应用举例—②测量高度 同步学案
文档属性
| 名称 | 1.2 应用举例—②测量高度 同步学案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 397.5KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-05-30 16:40:58 | ||
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文档简介
高二数学 必修5 第一章 §1.2 应用举例—②测量高度
班级 姓名
学习目标
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题
学习过程
一、课前准备
复习：方位角、坡度、仰角、俯角
方位角：从指北方向顺时针转到目标方向线的水平转角 ；
坡度：沿余坡向上的方向与水平方向的夹角；
仰角与俯角：视线与水平线的夹角当视线在水平线之上时，称为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角.
二、新课导学
※ 学习探究
AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法.
分析：选择基线HG，使H、G、B三点共线，
要求AB，先求AE
在中，可测得角 ，关键求AC
在中，可测得角 ，线段 ，又有
故可求得AC
※ 典型例题
例1、如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角=54，在塔底C处测得A处的俯角=50. 已知铁塔BC部分的高为27.3 m，求出山高CD(精确到1 m)
例2、如图，A、B是水平面上的两个点，相距800 m，在A点测得山顶C的仰角为45°，∠BAD＝120°，又在B点测得∠ABD＝45°，其中D点是点C到水平面的垂足，求山高CD.
变式1、在某一山顶观测山下两村庄A、B，测得A的俯角为30°，B的俯角为40°，观测A、B两村庄的视角为50°，已知A、B在同一海平面上且相距1 000米，求山的高度．(精确到1米，sin 40°≈0.643)
三、总结提升
※ 学习小结
利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及根据题意画方位图，要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化.
※ 知识拓展
在湖面上高h处，测得云之仰角为，湖中云之影的俯角为，则云高为. 课后作业
一、基础训练题
1．如右图所示，D，C，B在同一地平面的同一直线上，DC＝10 m，从D，C两地测得A点的仰角分别为30°和45°，则A点离地面的高度AB等于 ( )．
A．10 m B．5 m
C．5(－1)m D．5(＋1)m
2．从200 m高的山顶看，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°，60°，则塔高为( )．
A. m B. m C. m D. m
3．在一座20 m高的观测台测得对面一水塔塔顶的仰角为60°，塔底的俯角为45°，观测台底部与塔底在同一地平面，那么这座水塔的高度是________m.
4．一树干被台风吹断，折断部分与残存树干成30°角，树干底部与树尖着地处相距5米，则树干原来的高度为________米．
5．某地电信局信号转播塔建在一山坡上，如图所示，施工人员欲在山坡上A、B两点处测量与地面垂直的塔CD的高，由A、B两地测得塔顶C的仰角分别为60°和45°，又知AB的长为40米，斜坡与水平面成30°角，则该转播塔的高度是________米．
6．如图所示，在高出地面30 m的小山顶上建造一座电视塔CD，今在距离B点60 m的地面上取一点A，若测得∠CAD＝45°，求此电视塔的高度．
7．如图，地面上有一旗杆OP，为了测得它的高度，在地面上选一基线AB，测得AB＝20 m，在A处测得点P的仰角为30°，在B处测得点P的仰角为45°，同时可测得∠AOB＝60°，求旗杆的高度(结果保留1位小数)．
二、提高训练题
8．D、C、B三点在地面同一直线上，DC＝a，从D、C两点测得A点仰角分别是α、β(α<β)，则A点离地面的高度AB等于 ( )．
A. B.
C. D.
9．要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点分别测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°，甲、乙两地相距500 m，则电视塔在这次测量中的高度是( )．
A．100 m B．400 m C．200 m D．500 m
10．航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅垂平面内，已知飞机的高度为海拔10000 m，速度为180 km/h，飞机在A处先看到山顶的俯角为15°，经过420 s的水平飞行后到达B处，又看到山顶的俯角为45°，如图，求山顶的海拔高度．(取＝1.4，＝1.7)
必修5 第一章 §1.2 应用举例—②测量高度参考答案
1、解析 在△ADC中，AD＝＝10(＋1)(m)．
在Rt △ABD中，AB＝AD·sin 30°＝5(＋1)(m)．
答案 D
2、解析 由山顶与塔底的俯角为60°可知，山脚与塔底的水平距离为，又山顶看塔顶的俯角为30°，设塔高为x m，则200－x＝×，∴x＝ m．故选A.
答案 A
3、解析：h＝20＋20tan 60°＝20(1＋) m.
答案：20(1＋)
4、答案：10＋5
5、解析：根据题意，可得∠ABC＝45°－30°＝15°，∠DAC＝60°－30°＝30°，∴∠BAC＝150°，
∠ACB＝15°，∴AC＝AB＝40米．
在△ADC中，∠BDC＝120°，由正弦定理，得＝，
∴CD＝＝.
答案：
6、解：设CD＝x m，∠BAC＝α，则tan α＝＝，又∠DAB＝45°＋α，
tan∠DAB＝＝，
又tan(α＋45°)＝＝3
∴＝3，∴x＝150 m，即电视塔的高度为150 m.
7、解：设旗杆的高度为h，
由题意，知∠OAP＝30°，∠OBP＝45°.
在Rt△AOP中，OA＝＝h.
在Rt△BOP中，OB＝＝h.
在△AOB中，由余弦定理，
得AB2＝OA2＋OB2－2OA·OBcos 60°，
即202＝(h)2＋h2－2h×h×.
解得h2＝≈176.4.
∴h≈13(m)．
∴旗杆的高度约为13 m.
8、解析 由已知得∠DAC＝β－α，由正弦定理＝，∴AC＝.在Rt△ABC
中，AB＝AC·sin β＝.
答案 A
9、解析 由题意画出示意图，
设高AB＝h，在Rt△ABC中，由已知BC＝h，在Rt△ABD
中，由已知BD＝h，在△BCD中，由余弦定理BD2＝BC2
＋CD2－2BC·CD·cos∠BCD得，3h2＝h2＋5002＋h·500，解
之得h＝500 m．故选D.
答案 D
10、解：∵A＝15°，∠DBC＝45°，∴∠ACB＝30°，AB＝180 km/h×420 s＝21000(m)．
∵在△ABC中，＝，
∴BC＝×sin15°＝10500(－)，∵CD⊥AD，
∴CD＝BCsin∠CBD＝BC×sin45°＝10500(－)×＝10500(－1)＝10500(1.7－1)
＝7350(m)．
山顶的海拔高度为：10000－7350＝2650(m)．
班级 姓名
学习目标
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题
学习过程
一、课前准备
复习：方位角、坡度、仰角、俯角
方位角：从指北方向顺时针转到目标方向线的水平转角 ；
坡度：沿余坡向上的方向与水平方向的夹角；
仰角与俯角：视线与水平线的夹角当视线在水平线之上时，称为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角.
二、新课导学
※ 学习探究
AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法.
分析：选择基线HG，使H、G、B三点共线，
要求AB，先求AE
在中，可测得角 ，关键求AC
在中，可测得角 ，线段 ，又有
故可求得AC
※ 典型例题
例1、如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角=54，在塔底C处测得A处的俯角=50. 已知铁塔BC部分的高为27.3 m，求出山高CD(精确到1 m)
例2、如图，A、B是水平面上的两个点，相距800 m，在A点测得山顶C的仰角为45°，∠BAD＝120°，又在B点测得∠ABD＝45°，其中D点是点C到水平面的垂足，求山高CD.
变式1、在某一山顶观测山下两村庄A、B，测得A的俯角为30°，B的俯角为40°，观测A、B两村庄的视角为50°，已知A、B在同一海平面上且相距1 000米，求山的高度．(精确到1米，sin 40°≈0.643)
三、总结提升
※ 学习小结
利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及根据题意画方位图，要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化.
※ 知识拓展
在湖面上高h处，测得云之仰角为，湖中云之影的俯角为，则云高为. 课后作业
一、基础训练题
1．如右图所示，D，C，B在同一地平面的同一直线上，DC＝10 m，从D，C两地测得A点的仰角分别为30°和45°，则A点离地面的高度AB等于 ( )．
A．10 m B．5 m
C．5(－1)m D．5(＋1)m
2．从200 m高的山顶看，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°，60°，则塔高为( )．
A. m B. m C. m D. m
3．在一座20 m高的观测台测得对面一水塔塔顶的仰角为60°，塔底的俯角为45°，观测台底部与塔底在同一地平面，那么这座水塔的高度是________m.
4．一树干被台风吹断，折断部分与残存树干成30°角，树干底部与树尖着地处相距5米，则树干原来的高度为________米．
5．某地电信局信号转播塔建在一山坡上，如图所示，施工人员欲在山坡上A、B两点处测量与地面垂直的塔CD的高，由A、B两地测得塔顶C的仰角分别为60°和45°，又知AB的长为40米，斜坡与水平面成30°角，则该转播塔的高度是________米．
6．如图所示，在高出地面30 m的小山顶上建造一座电视塔CD，今在距离B点60 m的地面上取一点A，若测得∠CAD＝45°，求此电视塔的高度．
7．如图，地面上有一旗杆OP，为了测得它的高度，在地面上选一基线AB，测得AB＝20 m，在A处测得点P的仰角为30°，在B处测得点P的仰角为45°，同时可测得∠AOB＝60°，求旗杆的高度(结果保留1位小数)．
二、提高训练题
8．D、C、B三点在地面同一直线上，DC＝a，从D、C两点测得A点仰角分别是α、β(α<β)，则A点离地面的高度AB等于 ( )．
A. B.
C. D.
9．要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点分别测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°，甲、乙两地相距500 m，则电视塔在这次测量中的高度是( )．
A．100 m B．400 m C．200 m D．500 m
10．航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅垂平面内，已知飞机的高度为海拔10000 m，速度为180 km/h，飞机在A处先看到山顶的俯角为15°，经过420 s的水平飞行后到达B处，又看到山顶的俯角为45°，如图，求山顶的海拔高度．(取＝1.4，＝1.7)
必修5 第一章 §1.2 应用举例—②测量高度参考答案
1、解析 在△ADC中，AD＝＝10(＋1)(m)．
在Rt △ABD中，AB＝AD·sin 30°＝5(＋1)(m)．
答案 D
2、解析 由山顶与塔底的俯角为60°可知，山脚与塔底的水平距离为，又山顶看塔顶的俯角为30°，设塔高为x m，则200－x＝×，∴x＝ m．故选A.
答案 A
3、解析：h＝20＋20tan 60°＝20(1＋) m.
答案：20(1＋)
4、答案：10＋5
5、解析：根据题意，可得∠ABC＝45°－30°＝15°，∠DAC＝60°－30°＝30°，∴∠BAC＝150°，
∠ACB＝15°，∴AC＝AB＝40米．
在△ADC中，∠BDC＝120°，由正弦定理，得＝，
∴CD＝＝.
答案：
6、解：设CD＝x m，∠BAC＝α，则tan α＝＝，又∠DAB＝45°＋α，
tan∠DAB＝＝，
又tan(α＋45°)＝＝3
∴＝3，∴x＝150 m，即电视塔的高度为150 m.
7、解：设旗杆的高度为h，
由题意，知∠OAP＝30°，∠OBP＝45°.
在Rt△AOP中，OA＝＝h.
在Rt△BOP中，OB＝＝h.
在△AOB中，由余弦定理，
得AB2＝OA2＋OB2－2OA·OBcos 60°，
即202＝(h)2＋h2－2h×h×.
解得h2＝≈176.4.
∴h≈13(m)．
∴旗杆的高度约为13 m.
8、解析 由已知得∠DAC＝β－α，由正弦定理＝，∴AC＝.在Rt△ABC
中，AB＝AC·sin β＝.
答案 A
9、解析 由题意画出示意图，
设高AB＝h，在Rt△ABC中，由已知BC＝h，在Rt△ABD
中，由已知BD＝h，在△BCD中，由余弦定理BD2＝BC2
＋CD2－2BC·CD·cos∠BCD得，3h2＝h2＋5002＋h·500，解
之得h＝500 m．故选D.
答案 D
10、解：∵A＝15°，∠DBC＝45°，∴∠ACB＝30°，AB＝180 km/h×420 s＝21000(m)．
∵在△ABC中，＝，
∴BC＝×sin15°＝10500(－)，∵CD⊥AD，
∴CD＝BCsin∠CBD＝BC×sin45°＝10500(－)×＝10500(－1)＝10500(1.7－1)
＝7350(m)．
山顶的海拔高度为：10000－7350＝2650(m)．