1.2 应用举例—③测量角度及三角形面积 同步学案

高二数学 必修5 第一章 解三角形复习
班级 姓名
学习目标
1．掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．
2．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．
学习过程
一、课前准备
《解三角形》知识网络构建
二、新课导学
※ 典型例题
题型一、利用正、余弦定理解三角形
例1、【2014安徽文16】 设的内角所对边的长分别是，且，的面积为，求与的值.
题型二、利用正、余弦定理判断三角形的形状
例2、在△ABC中，已知a2tan B＝b2tan A，试判断△ABC的形状．
变式1、在△ABC中，已知3b＝2asin B，且cos B＝cos C，角A是锐角，则△ABC的形状是(　　)
A．直角三角形　　　 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形
题型三、三角形中的证明化简问题
例3、△ABC中，角A、B、C对应边分别为a、b、c.求证：＝.
变式2、【2014广东理12】在中，角、、所对应的边分别为、、，已知，则 .
题型四、解三角形的实际应用
例4、（1）【2014四川文8】如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为，，此时气球的高是，则河流的宽度BC等于（ ）
B．
C． D．
（2）【2014全国1卷文16】如图，为测量山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点.从点测得 点的仰角，点的仰角以及；从点测得.已知山高，则山高________.
题型四、三角函数、解三角形与平面向量综合问题
例5、已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量
m＝(a，b)，n＝(sin B，sin A)，p＝(b－2，a－2)．
(1)若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形；
(2)若m⊥p，边长c＝2，角C＝，求△ABC的面积．
例6、（选讲）在△ABC中，已知内角∠A＝，边BC＝2，设内角∠B＝x，周长为y.
(1)求函数y＝f(x)的解析式和定义域；
(2)求y的最大值．
课后作业
1．在△ABC中，已知a－2b＋c＝0,3a＋b－2c＝0，则sin A∶sin B∶sin C等于(　　)
A．2∶3∶4　　　 B．3∶4∶5 　　 C．4∶5∶8 D．3∶5∶7
2．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若(a2＋c2－b2)tan B＝ac，则角B的值为(　　)
A. B. C.或 D.或
3．在△ABC中，A＝60°，a＝，b＝4，那么满足条件的△ABC(　　)
A．有一个解 B．有两个解 C．无解 D．不能确定
4．已知函数f(x)＝sin 2x－(cos2x－sin2x)－1
(1)求函数f(x)的最小值和最小正周期
(2)设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c且c＝；f(C)＝0，若向量m＝(1，sin A)与向量n＝(3，sin B)共线，求a，b的值．
5．在△ABC中，＝.
(1)证明B＝C； (2)若cos A＝－，求sin(4B＋)的值．
必修5 第一章 解三角形复习参考答案
由三角形的面积公式得：,故.
.
当时，由余弦定理得：，所以;
当时，由余弦定理得：，
所以.
变式1、答案D
例2、由已知得＝.
由正弦定理的推广得a＝2Rsin A，b＝2Rsin B(R为△ABC的外接圆半径)，
∴＝，
即sin Acos A＝sin Bcos B，∴sin 2A＝sin 2B.
又A、B为三角形的内角，
∴2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝.
例3、证法一：由余弦定理
a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos B，
得a2－b2＝b2－a2－2bccos A＋2accos B，
即a2－b2＝c(acos B－bcos A)，
变形得＝＝cos B－cos A，
由正弦定理＝＝得＝，＝，
∴ ＝＝.
证法二：＝
＝cos B－cos A，
∵＝＝，
∴＝，＝，
cos B＝，cos A＝，
变式2、【答案】2
【解析】，由边角互化得
即即所以.
例4、（1）【答案】C
【解析】，
所以.
（2）【答案】150
【解析】由题意可得，
由正弦定理得：即，
所以
例5、解：　(1)证明：∵m∥n，∴asin A＝bsin B，
即a·＝b·，其中R是三角形ABC外接圆半径，
∴a＝b.∴△ABC为等腰三角形．
(2)由题意可知m·p＝0，
即a(b－2)＋b(a－2)＝0.
∴a＋b＝ab.
由余弦定理可知，4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，
即(ab)2－3ab－4＝0，∴ab＝4或ab＝－1(舍去)．
∴S＝absin C＝·4·sin ＝.
例6、解：　(1)在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝π.
由正弦定理得：AC＝·sin B＝sin x＝4sin x，
AB＝·sin C＝4sin，x<π，
∴y＝AB＋BC＋AC＝2cos x＋6sin x＋2＝4sin＋2，
其定义域为.
(2)由(1)得y＝4sin＋2，
∵0∴∴当x＋＝，即x＝时，y取得最大值为6.
1、解析：因为a－2b＋c＝0,3a＋b－2c＝0，
所以c＝a，b＝a.
a∶b∶c＝3∶5∶7.
所以sin A∶sin B∶sin C＝3∶5∶7.
答案：D
2、解析：∵(a2＋c2－b2)tan B＝ac，
∴·tan B＝.
即cos B·tan B＝sin B＝.
∵0答案：D
3、解析：bsin A＝4×sin 60°＝4×＝2.
又a＝，且<2，故△ABC无解．
答案：C
4、解：(1)f(x)＝sin2x－cos 2x－1＝sin(2x－)－1
当sin(2x－)＝－1时，f(x)min＝－2.
∴最小正周期为T＝π
(2)f(C)＝sin(2C－)－1＝0∴sin(2C－)＝1
∵0＜C＜π，∴－＜2C－＜π，∴2C－＝，
∴C＝.
∵m∥n，∴sin B－3sin A＝0，
∴b－3a＝0.①
∵c2＝a2＋b2－2ab·cos C，c＝，
∴7＝a2＋b2－ab②
由①，②知：a＝1，b＝3.
5、解：(1)证明：在△ABC中，由正弦定理及已知得＝.于是sin Bcos C－cos Bsin C＝0，即sin(B－C)＝0，因为－π＜B－C＜π，从而B－C＝0.
所以B＝C.
(2)由A＋B＋C＝π和(1)得A＝π－2B，
故cos 2B＝－cos(π－2B)＝－cos A＝.
又0＜2B＜π，于是sin 2B＝＝.
从而sin 4B＝2sin 2Bcos 2B＝，
cos 4B＝cos22B－sin22B＝－.
所以sin(4B＋)＝sin 4Bcos ＋cos 4Bsin ＝.