2018-2019学年江西省南昌市八一中学、洪都中学、麻丘高中等七校高一（下）期中数学试卷解析版

2018-2019学年江西省南昌市八一中学、洪都中学、麻丘高中等七校高一（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．若a＞b＞0，则下列不等式不成立的是（　　）
A．ac2＞bc2 B．|a|＞|b|
C． D．
2．若0＜a＜b且a+b＝1，则下列四个数中最大的是（　　）
A． B．b C．2ab D．a2+b2
3．在△ABC中，sinA：sinB：sinC＝3：2：4，则cosB的值为（　　）
A． B． C． D．
4．设等差数列{an}的前n项和Sn，若S11＝55，则a2+a7+a9＝（　　）
A．15 B．27 C．18 D．12
5．已知△ABC中，，则△ABC的形状为（　　）
A．直角三角形 B．等腰直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形
6．在公差不为0的等差数列{an}中，a1＝1，a3，a7，a16成等比数列，则公差d＝（　　）
A． B． C． D．1
7．在△ABC中，a＝10，b＝9，A＝45°，则满足上述条件的三角形有（　　）
A．无数个 B．2个 C．0个 D．1个
8．若不等式ax﹣b＞0的解集为（﹣∞，1），则关于x的不等式的解集为（　　）
A．（﹣5，3） B．（﹣∞，﹣5）∪（3，+∞）
C．（﹣3，5） D．（﹣∞，﹣3）∪（5，+∞）
9．在等比数列{an}中，a6?a12＝6，a4+a14＝5，则＝（　　）
A．或 B． C．或 D．或
10．设a＞0，b＞0．若是3a与3b的等比中项，则的最小值为（　　）
A．12 B．4 C． D．
11．在△ABC中，已知b＝1，，，则?＝（　　）
A．1或﹣1 B．2 C．1 D．2或﹣2
12．已知Sn为等差数列{an}的前n项和，若且Sn有最小值，则使前n项和Sn＞0成立的最小自然数n为（　　）
A．4038 B．4039 C．4040 D．4041
二、填空题（本大题共4个小题.每小题5分，共20分）
13．不等式的解集为　 　．
14．已知数列{an}中，a1＝﹣1，且an+1＝an+3n﹣1，则数列的通项公式an＝　 　．
15．不等式（m﹣1）x2+3（m﹣1）x﹣m＜0对任意的x∈R恒成立，则m的取值范围为　 　．
16．下列说法中：
①若x，y＞0，满足x+y＝2，则2x+2y的最大值为4；
②若，则函数的最小值为3；
③若x，y＞0，满足2x+y＝5，则的最大值为；
④若x，y＞0，满足x+y+xy＝3，则x+y的最小值为2；
⑤函数的最小值为9．
正确的有　 　．（把你认为正确的序号全部写上）
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答题应根据要求写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知等差数列{an}满足a7＝4，a11＝6．
（1）求通项公式an；
（2）设等比数列{bn}满足b1＝a3，b4＝a31，求{bn}的前n项和Tn．
18．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosC＝﹣2bcosA﹣ccosA．
（1）求角A的大小；
（2）若a＝4，求△ABC周长的最大值．
19．（12分）如图，D是直角△ABC斜边BC上一点．
（1）若，∠BAD＝60°，求∠ADC的大小；
（2）若AC＝DC，BD＝2DC，且，求AD的长．
20．（12分）解关于的不等式：ax2+（2﹣4a）x﹣8＞0
21．（12分）2018年10月19日，由中国工信部、江西省政府联合主办的世界VR（虚拟现实）产业大会在南昌开幕，南昌在红谷滩新区建立VR特色小镇项目．现某厂商抓住商机在去年用450万元购进一批VR设备，经调试后今年投入使用，计划第一年维修、保养费用22万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元，该设备使用后，每年的总收入为180万元，设使用x年后设备的盈利额为y万元．
（1）写出y与x之间的函数关系式；
（2）使用若干年后，当年平均盈利额达到最大值时，求该厂商的盈利额．
22．（12分）已知正项数列{an}的首项a1＝1，前n项和Sn满足．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）记数列的前n项和为Tn，若对任意的n∈N*，不等式恒成立，求实数a的取值范围．

2018-2019学年江西省南昌市八一中学、洪都中学、麻丘高中等七校高一（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．【解答】解：c＝0时，A不正确；a＞b＞0时，|a|＞|b|?a＞b正确；＜?＜0正确；（）a＜（）b?a＞b正确；
故选：A．
2．【解答】解：若0＜a＜b且a+b＝1，不妨令a＝0.4，b＝0.6，
则a2+b2＝0.16+0.36＝0.52，2ab＝2×0.4×0.6＝0.48，故b最大，
故选：B．
3．【解答】解：∵在△ABC中，sinA：sinB：sinC＝3：2：4，
∴a：b：c＝3：2：4，
则由余弦定理得：cosB＝＝．
故选：B．
4．【解答】解：∵等差数列{an}的前n项和Sn，S11＝55，
∴＝11a6＝55，
解得a6＝5，
∴a2+a7+a9＝3a6＝15．
故选：A．
5．【解答】解：∵，
∴由余弦定理可得：，
∴整理可得：b＝c．
故选：C．
6．【解答】解：∵在公差不为0的等差数列{an}中，a1＝1，a3，a7，a16成等比数列，
∴，
∴，
解得公差d＝．
故选：C．
7．【解答】解：∵a＝10，b＝9，A＝45°，
∴sinB＝＝＝，
∵a＞b，
∴A＞B，则B＜45°，有一解，
故选：D．
8．【解答】解：由不等式ax﹣b＞0的解集为（﹣∞，1），
得ax＞b，得a＜0，且a＝b，
则不等式等价为，即＜0，得﹣3＜x＜5，
即不等式的解集为（﹣3，5），
故选：C．
9．【解答】解：在等比数列{an}中，a6?a12＝6，a4+a14＝5，
∴a4?a14＝a6?a12＝6，
∴a4，a14是方程x2﹣5x+6＝0的两个根，
解方程得a4＝2，a14＝3或a4＝3，a14＝2，
∴或，
∴或q10＝，
∴＝＝q20＝（q10）2，
∴＝或＝．
故选：A．
10．【解答】解：∵a＞0，b＞0.是3a与3b的等比中项，
∴3a?3b＝27，即a+b＝3，
则＝（）（a+b）＝＝
当且仅当且a+b＝3即a＝b＝时取等号
即的最小值为
故选：D．
11．【解答】解：因为在△ABC中，，
由正弦定理可得：
sinCcosA+sinCsinA＝sinB+sinA，
即sinCcosA+sinCsinA＝sinAcosC+cosAsinC+sinA，
即sinCsinA＝sinAcosC+sinA，
又sinA＞0，
所以sinC﹣cosC＝1，
所以2sin（C﹣）＝1，
又C﹣∈（﹣，），
所以C﹣＝，
即C＝，
又，
所以a＝2b，
即a＝2，
所以?＝||||cosC＝1×＝1，
故选：C．
12．【解答】解：因为数列{an}是等差数列，又因为Sn有最小值，所以数列{an}为递增数列且的前若干项为负数，从某一项后的项为正数．
又因为，使前n项和Sn＞0成立的最大自然数n应使＜0，
所以a2019＜0，a2020＞0?S4037＝＝4037×a2019＜0；
将＞﹣1两端同时乘以a2020得：a2019＞﹣a2020，即a2019+a2020＞0?S4038＝×4038＝＞0．
所以使前n项和Sn＞0成立的最小自然数n为4038．
故选：A．
二、填空题（本大题共4个小题.每小题5分，共20分）
13．【解答】解：由得或
得或，得x无解或﹣4＜x＜﹣1，
即不等式的解集为（﹣4，﹣1），
故答案为：（﹣4，﹣1）．
14．【解答】解：依题意，因为an+1＝an+3n﹣1，所以an+1﹣an＝3n﹣1，所以
等式左右两端相加得：an﹣a1＝2+5+……+（3n﹣4）＝＝，（2+5+……+（3n﹣4）为首项为2公差为3的等差数列的前（n﹣1）项的和）
又因为a1＝﹣1，
所以an＝．
故填：．
15．【解答】解：∵（m﹣1）x2+3（m﹣1）x﹣m＜0对任意的x∈R恒成立，
①m＝1时，﹣1＜0恒成立，
②m≠1时，，
解可得，，
综上可得，，
故答案为：（]．
16．【解答】解：①由x+y＝2得y＝2﹣x，则0＜x＜2，
则2x+2y＝2x+22﹣x＝2x+，
设t＝2x则1＜t＜4，
则y＝t+则（1，2]上为减函数，则[2，4）上为增函数，
则t＝2时，y取得最小值4，当t→1时，y→5，故2x+2y的最大值为4；错误，
②若，则函数＝2x﹣1++2，
则2x﹣1＜0，∴y＝2x﹣1++2＜﹣2+2＝﹣2+2＝0，即函数的最大值为0，无最小值，故②错误
③若x，y＞0，满足2x+y＝5，则（）2＝2x+1+y+2?≤5+1+（2x+1+y）
＝6+5+1＝12，即+≤＝2，即+的最大值为；故③正确，
④若x，y＞0，满足x+y+xy＝3，则（x+1）y＝3﹣x，则y＝，
由y＝＞0，得0＜x＜3，
则x+y＝x+＝x+＝x+﹣1＝x+1+﹣2≥2﹣2＝4﹣2＝2，
当且仅当x+1＝，即（x+1）2＝4得x+1＝2，即x＝1时取等号，
即x+y的最小值为2．故④正确
⑤＝+
＝1+++4
≥5+2＝5+4＝9，当且仅当＝，即4sin4x＝cos4x，
即2sin2x＝cos2x时，取等号，
即函数的最小值为9．故⑤正确，
故正确的是③④⑤，
故答案为：③④⑤．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答题应根据要求写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
17．【解答】解：（1）等差数列{an}的公差设为d，a7＝4，a11＝6．
可得a1+6d＝4，a1+10d＝6，
解得a1＝1，d＝，
则an＝1+（n﹣1）＝；
（2）等比数列{bn}的公比设为q，
可得b1＝a3＝2，
b4＝a31＝16＝b1q3，
解得q＝2，
{bn}的前n项和Tn＝＝2n+1﹣2．
18．【解答】（本题满分为12分）
解：（1）因为acosC＝﹣2bcosA﹣ccosA，
所以由正弦定理可得：sinAcosC＝﹣2sinBcosA﹣sinCcosA，
可得：sinAcosC+sinCcosA＝﹣2sinBcosA，
即：sinB＝﹣2sinBcosA，
因为sinB≠0，
所以cosA＝﹣，
即．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）
（2）由（1）可得，则，
∴，即，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）
当且仅当时取最大值
故当△ABC为等腰三角形，周长最大为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）
19．【解答】（本题满分为12分）
解：（1）∵∠BAD＝60°，∠BAC＝90°，
∴∠DAC＝30°，
∵在△ADC中，由正弦定理可得：，即：，
∴可得：sin∠ADC＝，
∵又∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠B+60°＞60°，
∴∠ADC＝135°．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）
（2）∵BD＝2DC，
∴BC＝3DC，
在△ABC中，由勾股定理可得：BC2＝AB2+AC2，可得：9DC2＝6+3DC2，
∴DC＝1，BD＝2，，
令∠ADB＝θ，由余弦定理：
在△ADB中，AB2＝AD2+BD2﹣2AD?BD?cosθ，
在△ADC中，AC2＝AD2+CD2﹣2AD?CD?cos（π﹣θ），
可得：，
∴解得：AD2＝2，可得：﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）
20．【解答】解：不等式ax2+（2﹣4a）x﹣8＞0可化为（ax+2）（x﹣4）＞0，
当a＝0时，不等式的解为{x|x＞4}；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）
当a＞0时，不等式的解{x|x＞4或}；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
当a＜0时，即，
（1）当即时，不等式的解为{x|}，
（2）当即时，不等式的解为{x|}，
（3）当即时，不等式的解集为?．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）
21．【解答】解：（1）依题得：（x∈N*）﹣﹣﹣﹣﹣（6分）
（2），
当且仅当时，即x＝15时等号成立．
∴使用15年后平均盈利额达到最大值，该厂商盈利额为1500万元．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）
22．【解答】解：（1）当n≥2时，，∴，即，
所以数列是首项为1，公差为的等差数列，
故，＝（n≥2），
因此．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）
（2）当n≥2时，，
∴，
又∵，∴12≤a2﹣a，解得a≤﹣3或a≥4．
即所求实数a的范围是a≤﹣3或a≥4．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）