2.1 数列的概念与简单表示法（2）同步学案

高二数学 必修5 第二章 §2.1 数列的概念与简单表示法（2）
班级 姓名
学习目标
1.了解数列和函数之间的关系；
2.利用数列的通项公式，研究数列的相关性质
学习过程
一、课前准备
复习1：什么是数列？什么是数列的通项公式？
复习2：求下列数列的通项公式.
二、新课导学
1、数列与函数的关系：数列可以看作特殊的函数，序号是其自变量，项是序号所对应的函数值，数列的定义域是正整数集，或是正整数集的有限子集 ．
2、数列的分类：
1）根据数列项数的多少分 数列和 数列；
2）根据数列中项的大小变化情况分为 数列， 数列， 数列和 数列.
递增数列：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列，即：an+1 >an .
递减数列：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列，即：an+1< an .
常数数列：各项相等的数列，即：an+1 = an .
摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列。
※ 典型例题
例1、已知函数f(x)＝，构造数列an＝f(n)(n∈N*)，试判断{an}是递增数列还是递减数列．
变式1、若数列{an}为递减数列，则{an}的通项公式可能为________(填写序号)．
①an＝－2n＋1；　 　 ②an＝－n2＋3n＋1；
③an＝； ④an＝(－1)n.
例2、已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4.
(1)数列中有多少项是负数？ (2)n为何值时，an有最小值？并求出最小值．
例3、已知an＝ (n∈N＋)，试问数列{an}中有没有最大项？如果有，求出这个最大项；如果没有，说明理由．
变式2、已知an＝，则这个数列的前30项中最大项和最小项分别是(　　)
A．a1，a30 B．a1，a9 C．a10，a9 D．a10，a30
三、总结提升
※ 学习小结
函数与数列的联系与区别：
1、数列是一种特殊的函数，因此在解决数列问题时，要善于利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法来解题，即用共性来解决特殊问题．
2、数列的特殊性(离散型)，由于它的定义域是N＋或它的子集{1,2，…，n}，因而它的图像是一系列孤立的点，因此在解决问题时，要充分利用这一特殊性，如研究单调性时，由数列的图像可知，只要这些点每个比它前面相邻的一个高(即an>an－1)，则图像呈上升趋势，即数列递增，即{an}递增?an＋1>an对任意的n (n∈N＋)都成立．类似地，有{an}递减?an＋1 课后作业
一、基础训练题
1．已知an＝3n－2，则数列{an}的图像是 (　 　)．
A．一条直线 B．一条抛物线 C．一个圆 D．一群孤立的点
2．在数列{an}中，an＝n，则{an}是(　　)．
A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．以上都不是
3．下面五个结论：①数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点；②数列的项数是无限的；③数列的通项公式是唯一的；④数列不一定有通项公式；⑤将数列看作函数，其定义域是N*或它有子集{1,2，…，n}．其中正确的是(　　)
A．①②④⑤ B．①④⑤ C．①③④ D．①②⑤
4．一个数列{an}中，a1＝3，a2＝6，an＋2＝an＋1－an，那么这个数列的第5项为 (　 　)．
A．6 B．－3 C．－12 D．－6
5．数列{an}中，a1＝1，对所有的n≥2，都有a1·a2·a3…an＝n2，则：a3＋a5等于(　 　)
A. B. C. D.
6．如图所示是一系列有机物的结构简图，图中的“小黑点”表示原子，两黑点间的“短线”表示化学键，按图中结构第n个图有化学键(　 　)
A．6n个 B．4n＋2个
C．5n－1个 D．5n＋1个
7．函数f(x)定义如下表，数列{xn}满足x0＝5，且对任意的自然数均有xn＋1＝f(xn)，则x2 011＝ (　　).
x
1
2
3
4
5
f(x)
5
1
3
4
2
A.1 B．2 C．4 D．5
8．数列{－2n2＋9n＋3}的最大项是第________项，最大项为________．
9．已知数列{an}满足a1>0，＝(n∈N＋)，则数列{an}是________数列(填“递增”或“递减”)．
10．在数列，2，x,2，，2，…中，x＝________.该数列的一个通项公式是________．
11．已知数列{an}的通项公式是an＝，其中a，b均为正常数，那么an＋1与an的大小关系是________．
二、提高训练题
12．设数列{an}的通项公式为an＝n2＋kn(n∈N*)，若数列{an}是单调递增数列，求实数k的取值范围．
13．在数列{an}中，a1＝，an＝1－ (n≥2，n∈N＋)．
(1)求证：an＋3＝an； (2)求a2 010.
必修5第二章 §2.1 数列的概念与简单表示法（2）参考答案
1、解析　∵an＝3n－2，n∈N＋，∴数列{an}的图像是一群孤立的点．
答案　D
2、解析　∵an＋1－an＝(n＋1)－n＝1>0，∴数列{an}是递增数列．
答案　A
3、解析：②中，数列的项数也可以是有限的；③中，数列的通项公式可以不唯一．
答案：B
4、解析　由递推关系式可求得a3＝a2－a1＝6－3＝3，a4＝a3－a2＝3－6＝－3，
∴a5＝a4－a3＝－3－3＝－6.
答案　D
5、解析　a1a2a3＝32，a1a2＝22，a1a2a3a4a5＝52，a1a2a3a4＝42，
则a3＝＝，a5＝＝.
故a3＋a5＝.
答案　C
6、解析：各图中的“短线”依次为6,6＋5,6＋5＋5，….
若视6为5＋1，则上述数列为
1＋5,1＋5＋5,1＋5＋5＋5，…
于是结构第n个图有化学键应为an＝5n＋1个，故选D.
答案：D
7、解析　∵x0＝5，x1＝f(x0)＝f(5)＝2，x2＝f(x1)＝f(2)＝1，x3＝f(x2)＝f(1)＝5，x4＝f(x3)＝f(5)＝2，…，∴xn的值周期出现，且周期T＝3，则x2 011＝x670×3＋1＝x1＝2.
答案　B
8、解析　由已知an＝－2n2＋9n＋3＝－2＋.∵n∈N＋，
故当n＝2时，an取到最大值13.
答案　2　13
9、解析　由已知a1>0，an＋1＝an(n∈N＋)，得an>0(n∈N＋)．又an＋1－an＝an－an＝－an<0，
所以{an}是递减数列．
答案　递减
10、解析：先找通项公式an，再确定x.
答案：，an＝　(n∈N*)
11、解析　∵an＋1－an＝－＝>0.∴an＋1－an>0，即an＋1>an.
答案　an＋1>an
12、解：因为数列{an}是单调递增数列，所以an＋1－an>0(n∈N*)恒成立．又an＝n2＋kn(n∈N*)，所以(n＋1)2＋k(n＋1)－(n2＋kn)>0恒成立，即2n＋1＋k>0，所以k>－(2n＋1)(n∈N*)恒成立．而n∈N*时，－(2n＋1)的最大值为－3(n＝1时取得)，所以k>－3即为所求的范围．
13、(1)证明　an＋3＝1－＝1－＝1－
＝1－＝1－＝1－＝1－(1－an)＝an.
∴an＋3＝an.
(2)解　由(1)知数列{an}的周期T＝3，a1＝，a2＝－1，a3＝2.
又∵a2 010＝a3×670＝a3＝2，∴a2 010＝2.