2.2 等差数列（1）同步学案

高二数学 必修5 第二章 §2.2 等差数列（1）
班级 姓名
学习目标
1. 理解等差数列的概念，了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等差数列；
2. 探索并掌握等差数列的通项公式；
3. 正确认识使用等差数列的各种表示法，能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定的项.
学习过程
一、课前准备
（预习教材P36 ~ P39 ，找出疑惑之处）
复习1：什么是数列？
复习2：数列有几种表示方法？分别是哪几种方法？
二、新课导学
※ 学习探究
探究任务一：等差数列的概念
问题1：请同学们仔细观察，看看以下四个数列有什么共同特征？
① 0，5，10，15，20，25，…
② 48，53，58，63
③ 18，15.5，13，10.5，8，5.5
④ 10072，10144，10216，10288，10366
新知：
1.等差数列：一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它 一项的 等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的 ， 常用字母 表示.
2.等差中项：由三个数a，A， b组成的等差数列，这时数 叫做数 和 的等差中项，用等式表示为A=
探究任务二：等差数列的通项公式
问题2：数列①、②、③、④的通项公式存在吗？如果存在，分别是什么？

若一等差数列的首项是，公差是d，则据其定义可得：
，即：
， 即：
，即：
……
由此归纳等差数列的通项公式可得：
∴已知一数列为等差数列，则只要知其首项和公差d，便可求得其通项.
※ 典型例题
例1、⑴求等差数列8，5，2…的第20项；
⑵－401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？
变式1、⑴求等差数列3，7，11，……的第10项.
⑵100是不是等差数列2，9，16，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.
小结：要求出数列中的项，关键是求出通项公式；要想判断一数是否为某一数列的其中一项，则关键是要看是否存在一正整数n值，使得等于这一数.
例2、已知数列{}的通项公式，其中、是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是多少？
变式2、已知数列的通项公式为，问这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？
小结：要判定是不是等差数列，只要看（n≥2）是不是一个与n无关的常数.
※ 动手试试
练习1、在等差数列的首项是，求数列的首项与公差.
练习2、
三、总结提升
※ 学习小结
1. 等差数列定义： (n≥2)；
2. 等差数列通项公式： (n≥1).
※ 知识拓展
1. 等差数列通项公式为或. 分析等差数列的通项公式，可知其为一次函数，图象上表现为直线上的一些间隔均匀的孤立点.
2. 若三个数成等差数列，且已知和时，可设这三个数为. 若四个数成等差数列，可设这四个数为.
课后作业
一、基础训练题
1．数列{an}的通项公式an＝2n＋5，则此数列 (　　) ．
A．是公差为2的等差数列 B．是公差为5的等差数列
C．是首项为5的等差数列 D．是公差为n的等差数列
2．等差数列的前三项依次是x－1，x＋1,2x＋3，则其通项公式为 (　　) ．
A．an＝2n－5 B．an＝2n－3
C．an＝2n－1 D．an＝2n＋1
3．在△ABC中，三内角A，B，C成等差数列，则角B等于 (　　) ．
A．30° B．60° C．90° D．120°
4．在等差数列{an}中，已知a1＝2，a2＋a3＝13，则a4＋a5＋a6等于 (　　) ．
A．40 B．42
C．43 D．45
5．已知数列{an}对任意的n∈N*，点Pn(n，an)都在直线y＝2x＋1上，则{an}为 (　　) ．
A．公差为2的等差数列 B．公差为1的等差数列
C．公差为－2的等差数列 D．非等差数列
6．等差数列{an}的首项为70，公差为－9，则这个数列中绝对值最小的一项为 (　　) ．
A．a8 B．a9
C．a10 D．a11
数列{an}是首项为2，公差为3的等差数列，数列{bn}是首项为－2，公差为4的等差数列，若
an＝bn，则n的值为 (　　) ．
A．4 B．5
C．6 D．7
8．在数列{an}中，若a1＝1，an＋1＝an＋2，则该数列的通项an＝________.
9．在等差数列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a6＝__________.
10．已知m和2n的等差中项是4,2m和n的等差中项是5，则m和n的等差中项是________．
11．已知等差数列{an}中，a10＝29，a21＝62，试判断91是否为此数列中的项．
12．已知等差数列{an}中，a1＜a2＜a3＜…＜an且a3，a6为方程x2－10x＋16＝0的两个实根．
(1)求此数列{an}的通项公式；
(2)268是不是此数列中的项？若是，是第多少项？若不是，说明理由．
二、提高训练题
13．若log32，log3(2x－1)，log3(2x＋11)成等差数列．则x的值为 (　　) ．
A．7或－3 B．log37
C．log27 D．4
14．设函数f(x)＝(x－1)2＋n(x∈[－1,3]，n∈N*)的最小值为an，最大值为bn，记cn＝bn2－an·bn，则{cn}是 (　　)．
A．常数列 B．摆动数列
C．公差不为0的等差数列 D．递减数列
15．若x≠y，两个数列x，a1，a2，a3，y和x，b1，b2，b3，b4，y都是等差数列，则＝________.
必修5第二章 §2.2 等差数列（1）参考答案
1、解析　∵an＋1－an＝2(n＋1)＋5－(2n＋5)＝2，
∴{an}是公差为2的等差数列．
答案　A
2、解析　∵x－1，x＋1,2x＋3是等差数列的前三项，
∴2(x＋1)＝x－1＋2x＋3，解得x＝0.
∴a1＝x－1＝－1，a2＝1，a3＝3，∴d＝2，
∴an＝－1＋2(n－1)＝2n－3，故选B.
答案　B
3、解析　∵A，B，C为等差数列，
∴B＝，即A＋C＝2B.
又A＋B＋C＝180°，∴3B＝180°，
即B＝60°.
答案　B
4、解析：设等差数列{an}的公差为d，由a2＋a3＝13，可得2a1＋3d＝13.∵a1＝2，
∴d＝3.而a4＋a5＋a6＝3a5＝3(a1＋4d)＝42.故选B.
答案：B
5、解析：选A.an＝2n＋1，∴an＋1－an＝2，应选A.
6、解析：|an|＝|70＋(n－1)(－9)|＝|79－9n|＝9|8－n|.
∴n＝9时，|an|最小．
答案：B
7、解析： an＝2＋(n－1)×3＝3n－1，
bn＝－2＋(n－1)×4＝4n－6，
令an＝bn得3n－1＝4n－6，∴n＝5.
答案：B
8、解析　由an＋1＝an＋2(n≥1)可得数列{an}是公差为2的等差数列，
又a1＝1，所以an＝2n－1.
答案　2n－1
9、解析：设等差数列的公差为d，首项为a1，则a3＝a1＋2d＝7；
a5－a2＝3d＝6.∴d＝2，a1＝3.
∴a6＝a1＋5d＝13.
答案：13
10、解析　依题意有∴m＋n＝6，m，n的等差中项为3.
答案　3
11、解　设等差数列{an}的公差为d，则有

解得a1＝2，d＝3，
∴an＝2＋(n－1)×3＝3n－1.
令an＝3n－1＝91，得n＝?N*.
∴91不是此数列中的项．
12、解：(1)由已知条件得a3＝2，a6＝8.
又∵{an}为等差数列，设首项为a1，公差为d，
∴，解得.
∴an＝－2＋(n－1)×2＝2n－4(n∈N*)．
∴数列{an}的通项公式为an＝2n－4.
(2)令268＝2n－4(n∈N*)，解得n＝136.
∴268是此数列的第136项．
13、解析：由log3(2x＋11)－log3(2x－1)＝log3(2x－1)－log32，得：22x－4·2x－21＝0，∴2x＝7，∴x＝log27.
答案：C
14、解析　∵f(x)＝(x－1)2＋n(x∈[－1,3])，
∴an＝n，bn＝n＋4，
∴cn＝bn2－an·bn＝bn(bn－an)＝4(n＋4)＝4n＋16.
答案　C
15、解析　设两个数列的公差分别为d1，d2，则
∴＝，∴＝＝.
答案