2.2 等差数列（2）同步学案

高二数学 必修5 第二章 §2.2 等差数列（2）
班级 姓名
学习目标
1. 进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式；
2. 灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题.
学习过程
一、课前准备
（预习教材P39 ~ P40，找出疑惑之处）
复习1：什么叫等差数列？
复习2：等差数列的通项公式是什么？
二、新课导学
※ 学习探究
探究任务：等差数列的性质
1. 在等差数列中，为公差，与有何关系？
2. 在等差数列中，为公差，若且，则，，，有何关系？
※ 典型例题
例1、在等差数列中，已知，，求首项与公差.
变式1、若a15＝8，a60＝20，则a75＝________.
小结：在等差数列中，公差d可以由数列中任意两项与通过公式求出.
例2、在等差数列中，已知等差数列{an}中，a3+a15=30, 求a9, a7+a11, a7+a9+a11, a7+a8+a10+a11的值.
变式2：在等差数列{an}中：
(1)若a2＋a6＋a10＝1，则a4＋a8＝________；
(2)若a3＝5，则a1＋2a4＝________.
小结：在等差数列中，若m+n=p+q，则，可以使得计算简化.
例3、三个数成等差数列，其和为6，积为－24，求这三个数；
变式3、四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数．
小结：当等差数列{an}的项数n为奇数时，可设中间一项为a，再以公差为d向两边分别设项：…a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，…；当项数为偶数项时，可设中间两项为a－d，a＋d，再以公差为2d向两边分别设项：…a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，这样可减少计算量．
三、总结提升
※ 学习小结
1. 在等差数列中，若m+n=p+q，则注意：，左右两边项数一定要相同才能用上述性质.
2. 在等差数列中，公差.
课后作业
一、基础训练题
1．已知{an}为等差数列，a2＋a8＝12，则a5等于(　　)．
A．4 B．5 C．6 D．7
2．若数列{an}是等差数列，且a1＋a4＝45，a2＋a5＝39，则a3＋a6＝(　　)
A．24 B．27
C．30 D．33
3．等差数列的前三项依次是x－1，x＋1,2x＋3，则其通项公式为(　　)．
A．an＝2n－5 B．an＝2n－3
C．an＝2n－1 D．an＝2n＋1
4．已知数列{an}为等差数列且a1＋a7＋a13＝4π，则tan(a2＋a12)的值为(　　)．
A. B．± C．－ D．－
5．已知等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，则2a9－a10的值是(　　)
A．20 B．22
C．24 D．－8
6．在等差数列{an}中，a1＝8，a5＝2，若在每相邻两项间各插入一个数，使之成等差数列，那么新的等差数列的公差为(　　)．
A. B．－ C．－ D．－1
7．在等差数列{an}中，a10＝10，a20＝20，则a30＝________.
8．已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，则a20＝________.
9．已知数列{an}是等差数列，若a1－a5＋a9－a13＋a17＝117，则a3＋a15＝________.
10、把20分成四个数成等差数列，使第一项与第四项的积同第二项与第三项的积的比为2∶3，则这四个数从小到大依次为____________.
11．已知三个数成等差数列，其和为15，首、末两项的积为9，求这三个数．
12．在等差数列{an}中，
(1)已知a2＋a3＋a23＋a24＝48，求a13；
(2)已知a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2·a5＝52，求公差d.
二、提高训练题
13．将含k项的等差数列插入4和67之间，结果仍成一新的等差数列，已知原等差数列的公差为3，则k值为(　　)
A．21 B．20
C．19 D．18
14．在等差数列{an}中，若a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝80，则a7－a8的值为(　　)．
A．4 B．6 C．8 D．10
15．已知方程(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0的四个根组成一个首项为的等差数列，则|m－n|＝________.
必修5第二章 §2.2 等差数列（2）参考答案
1、解析　由a2＋a8＝2a5＝12得：a5＝6，故选C.
答案　C
2、解析：选D.经观察发现(a2＋a5)－(a1＋a4)＝(a3＋a6)－(a2＋a5)＝2d＝39－45＝－6，所
以a3＋a6＝a2＋a5－6＝39－6＝33.
3、解析　∵x－1，x＋1,2x＋3是等差数列的前三项，∴2(x＋1)＝x－1＋2x＋3，解得x＝0.
∴a1＝x－1＝－1，a2＝1，a3＝3，∴d＝2，∴an＝－1＋2(n－1)＝2n－3，故选B.
答案　B
4、解析　由等差数列的性质得a1＋a7＋a13＝3a7＝4π，
∴a7＝.
∴tan(a2＋a12)＝tan(2a7)＝tan ＝tan ＝－.
答案　D
5、解析：∵a8是a1和a15的等差中项，所以a1＋a15＝2a8，于是由已知条件可得a8＝24，
∴2a9－a10＝a9＋(a9－a10)＝a9－d＝a8＝24.
答案：C
6、解析　设插入的四个数为x，y，z，r，则新的数列为a1，x，a2，y，a3，z，a4，r，a5，共九项，
∴d＝＝＝－.
答案　B
7、解析：法一：d＝＝＝1，a30＝a20＋10d＝20＋10＝30.
法二：由题意可知，a10、a20、a30成等差数列，所以a30＝2a20－a10＝2×20－10＝30.
答案：30
8、解析　∵a1＋a3＋a5＝105，∴3a3＝105，a3＝35.
∵a2＋a4＋a6＝3a4＝99.∴a4＝33，∴d＝a4－a3＝－2.
∴a20＝a4＋16d＝33＋16×(－2)＝1.
答案　1
9、解析：a3＋a15＝a1＋a17＝a5＋a13，
所以a9＝117.
则a3＋a15＝a9＋a9＝234.
答案：234
10、解析：设这四个数依次为:x-3d, x-d, x+d, x+3d.列方程求出x，即可得出结果。
答案：2，4，6，8；
11、解：由题意，可设这三个数分别为a－d，a，a＋d，
则
解得或
所以，当d＝4时，这三个数为1,5,9；
当d＝－4时，这三个数为9,5,1.
12、解　法一　(1)直接化成a1和d的方程如下：
(a1＋d)＋(a1＋2d)＋(a1＋22d)＋(a1＋23d)＝48，
即4(a1＋12d)＝48，∴4a13＝48，∴a13＝12.
(2)直接化成a1和d的方程如下：

解得，或∴d＝3或－3.
法二　(1)根据已知条件a2＋a3＋a23＋a24＝48，
得4a13＝48，∴a13＝12.
(2)由a2＋a3＋a4＋a5＝34，得2(a2＋a5)＝34.
即a2＋a5＝17，解得或
∴d＝＝＝3或d＝＝＝－3.
13、解析：新的等差数列共有k＋2项，且a1＝4，ak＋2＝67，d＝3，∴d＝＝＝3，∴k＝20.
答案：B
14、解析　由a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝5a6＝80，
∴a6＝16，∴a7－a8＝(2a7－a8)＝(a6＋a8－a8)＝a6＝8.
答案　C
15、解析　由题意设这4个根为，＋d，＋2d，＋3d.
则＋＝2，∴d＝，
∴这4个根依次为，，，，
∴n＝×＝，m＝×＝或n＝，m＝，
∴|m－n|＝.
答案