课件46张PPT。2.2.2 椭圆的几何性质第二章 圆锥曲线与方程启动思维1.利用圆的方程可以研究圆的性质：
圆心、半径、面积、对称性等.2.圆和椭圆都具有对称性，都是优美的曲线.3.椭圆必定有不同于其它曲线的性质.
画出不同的椭圆，观察其特点，椭圆有哪些性质？
应该如何研究椭圆的性质？利用椭圆的方程启动思维直线与圆的位置关系有相切、相离、相交．
判断直线与圆的位置关系有两种方法：
(1)几何法：利用圆心到直线的距离d与半径r的关系，当d＝r时，直线与圆相切；
当d>r时，直线与圆相离；
当d(2)代数法：由方程联立消去y得到关于x的方程．
当Δ＝0时，直线与圆相切．
当Δ>0时，直线与圆相交．
当Δ<0时，直线与圆相离．
直线与椭圆的位置关系问题如何解决呢？走进教材椭圆的简单几何性质(±a,0)，(0，±b)(0，±a)，(±b,0)??-a≤x≤a，-b≤y≤b-b≤x≤b，-a≤y≤a走进教材2b2a(±c,0)(0，±c)坐标轴坐标原点?2c走进教材?走进教材?两一无>＝<自主练习?A化为标准方程焦点在x轴上
a=4，b=2自主练习?C自主练习??自主练习?D自主练习?B自主练习?x＋2y－8＝0典例导航题型一：椭圆的简单几何性质求下列椭圆的长轴长和短轴长，焦点坐标和顶点坐标
和离心率：
(1)4x2＋9y2＝36；
(2)m2x2＋4m2y2＝1(m＞0)．化为标准方程典例导航?解：典例导航??变式训练求下列椭圆的长轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率．
(1)25x2＋y2＝25；
(2)4x2＋9y2＝1.?解：变式训练?典例导航题型二：由椭圆的几何性质求椭圆的方程??解：①定型；②定量典例导航??变式训练求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)在x轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线
互相垂直，且焦距为6；
(2)以坐标轴为对称轴，长轴长是短轴长的5倍，
且经过点A(5,0)．acb?等腰直角三角形变式训练?(2)以坐标轴为对称轴，长轴长是短轴长的5倍，
且经过点A(5,0)．顶点典例导航题型三：求椭圆的离心率已知椭圆的两个焦点为F1、F2，A为椭圆上一点，
且AF1⊥AF2，∠AF2F1＝60°，求该椭圆的离心率．?xOyc2c?解：AF1F2变式训练?xOyAPFB【解析】?典例导航题型四：直线与椭圆位置关系的判定?得(m＋5k2)x2＋10kx＋5(1－m)＝0，
∴Δ＝100k2－20(m＋5k2)(1－m)与k无关由y＝kx＋1，mx2+5y2-5m=0，＝20m(5k2＋m－1)．解：典例导航∵直线与椭圆总有公共点，
∴Δ≥0对任意k∈R都成立．
∵m＞0，∴5k2≥1－m恒成立，∴1－m≤0，即m≥1.
又椭圆的焦点在x轴上，
∴0＜m＜5，
∴1≤m＜5.典例导航?另解：与k无关，恒过(0,1)∵直线y＝kx＋1过定点M(0,1)，
∴要使直线与该椭圆总有公共点，
则点M(0,1)必在椭圆内或椭圆上，由此得，解得1≤m＜5.0故弦中点应为(4,0)，与已知矛盾，
所以直线l的斜率存在．
所以可设直线l方程为y－2＝k(x－4)，
即y＝kx－4k＋2，解：典例导航?点P在
椭圆内不需求Δ典例导航设直线与椭圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∵P为弦AB的中点，∴x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，
又∵A、B在椭圆上，∴x12＋4y12＝36，x22＋4y22＝36.另解：两式相减，得(x12－x22)＋4(y12－y22)＝0，
即(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.?典例导航?斜率中点典例导航另解：?设所求直线与椭圆的一交点为A(x，y)，
则另一交点为B(8－x，4－y)．
∵A、B在椭圆上，∴x2＋4y2＝36，①
(8－x)2＋4(4－y)2＝36，②
①－②得：x＋2y－8＝0上，
而过A、B的直线只有一条，
∴所求直线的方程为x＋2y－8＝0.对称性变式训练?【答案】2x＋4y－3＝0典例导航?题型六：弦长问题?设直线l与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，解：典例导航??????变式训练??变式训练??典例导航题型七：椭圆的综合问题?(1)若点P的坐标为(0，1)，求椭圆C的标准方程；
(2)若点P的坐标为(0，t)，求t的取值范围．45°∵直线AB的斜率为1，
∴∠BAP＝45°，
即△BAP是等腰直角三角形，解：典例导航??典例导航(2)由点P的坐标为(0，t)及点A位于x轴下方，
得点A的坐标为(0，t－3)，
∴t－3＝－b，即b＝3－t.
显然点B的坐标是(3，t)，将它代入椭圆方程得：?变式训练??变式训练??m+n=10归纳小结1.已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式
先化成标准形式，再确定焦点的位置，焦点位置
不确定的要分类讨论，找准a与b，正确利用
a2＝b2＋c2，求出焦点坐标，再写出顶点坐标．归纳小结2.利用椭圆的几何性质求标准方程通常采用待定系数法．
(1)根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是
“选标准，定参数”，一般步骤是：①求出a2，b2的值；
②确定焦点所在的坐标轴；③写出标准方程．
(2)解此类题要仔细体会方程思想在解题中的应用．?归纳小结解决直线与椭圆的位置关系问题经常利用设而不求
的方法，解题步骤为：
(1)设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)；
(2)联立直线与椭圆的方程；
(3)消元得到关于x或y的一元二次方程；
(4)利用韦达定理设而不求；
(5)把题干中的条件转化为x1＋x2，x1x2或y1＋y2，y1y2，
进而求解．课件41张PPT。2.2.2 椭圆的几何性质第二章 圆锥曲线与方程复习回顾椭圆的标准方程当焦点在x轴上时，当焦点在y轴上时，??引入课题解析几何研究的问题：范围对称性顶点离心率知识点一：椭圆的范围?x、y的取值范围????-a≤x≤a????-b≤y≤b知识点二：椭圆的对称性?-x、-y是否满足方程(1)把x换成-x方程不变图象关于y轴对称；图象关于x轴对称；图象关于原点对称.(3)把x换成-x，同时把y换成-y方程不变(2)把y换成-y方程不变???知识点三：椭圆的顶点?令x=0，y=0令 x=0，得 y=±b；令 y=0，得 x=±a.长轴、短轴：
线段A1A2、B1B2分别
叫做椭圆的长轴和短轴.
a、b分别叫做椭圆的
长半轴长和短半轴长.知识点四：椭圆的离心率?[1]离心率的取值范围：0(2)e 越接近 0，c 就越接近 0，从而 b就越大，椭圆就越圆.知识探究当椭圆的焦点在y轴上时，其几何性质又如何？|x|≤ a, |y|≤ b关于x轴、y轴、原点对称(0, a)、(0, -a)、(b, 0)、(-b, 0)(c,0)、(-c,0)长半轴长为a, 短半轴长为b??典例分析解：求椭圆9x2＋16y2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标．??跟踪训练求椭圆4x2＋9y2＝36的长轴长和焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率．?典例分析?[思路探索]
①判断焦点所在坐标轴并设出标准方程；
②利用题目条件求参数a，b，c.
典例分析?长轴及离心率
与焦点位置无关?∴椭圆的标准方程为∴b2＝a2－c2＝25－16＝9.?解：典例分析(2)在x轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线
互相垂直，且焦距为6.xA1A2FOycba?等腰直角
三角形解：跟踪训练??跟踪训练??xOya-ca典例分析如图所示，椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，A，B是椭圆的顶点，P是椭圆上一点，且PF1⊥x轴，PF2∥AB，求此椭圆的离心率．转化为a、b、c的关系?解：典例分析直线PF1的方程为x＝－c，???则b2＝4c2，∴a2－c2＝4c2，???又PF2∥AB，∴△PF1F2∽△AOB. ?斜率相等也可跟踪训练????????归纳小结1.椭圆基本量的求法
若方程非标准形式，先将所给方程化为标准形式，
然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，
再利用a，b，c之间的关系和定义，求椭圆的基本量．归纳小结2.利用性质求椭圆的标准方程，通常采用待定系数法，
而其关键是根据已知条件确定其标准方程的形式并
列出关于参数的关系式，利用解方程(组)求解，同时
注意a、b、c、e的内在联系以及对方程两种形式的讨论．?当堂训练? ?引入课题：直线与椭圆?xOy知识点一：直线与椭圆的位置关系1.直线与圆的位置关系有几种？
如何判断？三种位置关系相离、相切、相交判断几何法代数法(Δ)2.直线与椭圆的位置关系有几种？
如何判断？xOy方程组解的个数典例分析解： k为何值时，直线y＝kx＋2和曲线2x2＋3y2＝6有两个
公共点？有一个公共点？没有公共点？?由y＝kx＋2，2x2＋3y2＝6，得2x2＋3(kx＋2)2＝6，典例分析?跟踪训练?xOy由4x-5y＋k＝0，9x2＋25y2＝225，得25x2＋8kx＋k2-225＝0，解：设与l平行的直线m：4x-5y+k=0
与椭圆相切令Δ＝64k2－4×25(k2-225)=0，解得：k=25或k=-25，显然当k=25时，m与l的距离最小，?知识点二：弦长问题xOy如何求圆的弦长？如何求椭圆的弦长？A(x1, y1)B(x2, y2)y=kx+m????y=kx+mb2x2+a2y2-a2b2=0几何性质典例分析??由y=x+2，x2+4y2-4b2=0，得5x2+16x+16-4b2=0，xOy?设A(x1, y1), B(x2, y2)，解：典例分析?????解得b2=4，∴b=2，a=4???跟踪训练?【答案】2知识点三：弦中点问题圆中的弦的中点满足什么性质？xOy椭圆中的弦的中点满足此性质吗？A(x1, y1)B(x2, y2)y=kx+m????y=kx+mb2x2+a2y2-a2b2=0点在椭圆内典例分析?显然直线的斜率存在，设为k，
则所求直线的方程为y－1＝k(x－2)，
代入椭圆方程并整理，得
(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0, (*)
设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1、x2是(*)方程的两个根，解：想一想为什么？无需求解Δ典例分析?∴所求直线的方程为x＋2y－4＝0.典例分析设直线与椭圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∵P为弦AB的中点，∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，
又∵A、B在椭圆上，∴x12＋4y12＝16，x22＋4y22＝16.?另解：两式相减，得(x12－x22)＋4(y12－y22)＝0，
即(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.典例分析?斜率中点典例分析?设所求直线与椭圆的一交点为A(x，y)，
则另一交点为B(4－x，2－y)．
∵A、B在椭圆上，∴x2＋4y2＝16，①
(4－x)2＋4(2－y)2＝16，②
①－②得：x＋2y－4＝0上，
而过A、B的直线只有一条，∴所求直线的方程为x＋2y－4＝0.另解：对称性跟踪训练?【答案】2x＋4y－3＝0当堂训练??C当堂训练?D 当堂训练2.已知在椭圆中，长轴长为2a，焦距为2c，
且a＋c＝10，a－c＝4，求椭圆的标准方程．解：方程有两种形式：?归纳小结解决直线与椭圆的位置关系问题经常利用设而不求
的方法，解题步骤为：
(1)设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)；
(2)联立直线与椭圆的方程；
(3)消元得到关于x或y的一元二次方程；
(4)利用韦达定理设而不求；
(5)把题干中的条件转化为x1＋x2，x1x2或y1＋y2，y1y2，
进而求解．
