第1课时 函数的最值与导数
学习目标 1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系.2.会求某闭区间上函数的最值．
知识点一 函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值
函数f(x)在闭区间[a，b]上的图像是一条连续不断的曲线，则该函数在[a，b]上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在端点处或极值点处取得．
特别提醒：(1)闭区间上的连续函数一定有最值，开区间内的连续函数不一定有最值．若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值．
(2)函数的最大值和最小值是一个整体性概念．
(3)函数y＝f(x)在[a，b]上连续，是函数y＝f(x)在[a，b]上有最大值或最小值的充分不必要条件．
知识点二 求函数y＝f(x)在[a，b]上的最值的步骤
(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值．
(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
知识点三 最值与极值的区别与联系
(1)极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言．
(2)在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个，但最大(小)值只有一个(或者没有)．
(3)函数f(x)的极值点为定义域中的内点，而最值点可以是区间的端点．
(4)对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点取得．
如图是y＝f(x)在区间[a，b]上的函数图像，显然f(x1)，f(x3)，f(x5)为极大值，f(x2)，f(x4)，f(x6)为极小值．最大值y＝M＝f(x3)＝f(b)分别在x＝x3及x＝b处取得，最小值y＝m＝f(x4)在x＝x4处取得．
1．函数的最大值一定是函数的极大值．( × )
2．开区间上的单调连续函数无最值．( √ )
3．函数f(x)在区间[a，b]上的最大值和最小值一定在两个端点处取得．( × )
题型一 求函数的最值
命题角度1 不含参数的函数求最值
例1 求下列函数的最值：
(1)f(x)＝2x3－12x，x∈[－2,3]；
(2)f(x)＝x＋sinx，x∈[0,2π]．
考点 利用导数求函数的最值
题点 不含参数的函数求最值
解 (1)因为f(x)＝2x3－12x，
所以f′(x)＝6x2－12＝6(x＋)(x－)，
令f′(x)＝0，解得x＝－或x＝.
因为f(－2)＝8，f(3)＝18，f()＝－8，
f(－)＝8；
所以当x＝时，f(x)取得最小值－8；
当x＝3时，f(x)取得最大值18.
(2)f′(x)＝＋cosx，令f′(x)＝0，又x∈[0,2π]，
解得x＝或x＝.
因为f(0)＝0，f(2π)＝π，f＝＋，
f＝－.
所以当x＝0时，f(x)有最小值0；
当x＝2π时，f(x)有最大值π.
反思感悟 求解函数在固定区间上的最值，需注意以下几点
(1)对函数进行准确求导，并检验f′(x)＝0的根是否在给定区间内．
(2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值．
(3)比较极值与端点函数值大小，确定最值．
跟踪训练1 求函数f(x)＝ex(3－x2)，x∈[2,5]的最值．
考点 利用导数求函数的最值
题点 不含参数的函数求最值
解 ∵f(x)＝3ex－exx2，
∴f′(x)＝3ex－(exx2＋2exx)＝－ex(x2＋2x－3)
＝－ex(x＋3)(x－1)．
∵在区间[2,5]上，f′(x)＝－ex(x＋3)(x－1)<0，
∴函数f(x)在区间[2,5]上是减少的，
∴当x＝2时，函数f(x)取得最大值f(2)＝－e2；
当x＝5时，函数f(x)取得最小值f(5)＝－22e5.
命题角度2 含参数的函数求最值
例2 已知函数f(x)＝(x－k)ex.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值．
考点 含参数的函数最值问题
题点 含参数的函数求最值
解 (1)由f(x)＝(x－k)ex，得f′(x)＝(x－k＋1)ex，
令f′(x)＝0，得x＝k－1.
当x变化时，f(x)与f′(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，k－1)
k－1
(k－1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
↘
－ek－1
↗
所以，f(x)的递减区间是(－∞，k－1)；递增区间是(k－1，＋∞)．
(2)当k－1≤0，即k≤1时，函数f(x)在[0,1]上是增加的．
所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)＝－k，
当0
由(1)知f(x)在[0，k－1)上是减少的，在(k－1,1]上是增加的，
所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k－1)＝－ek－1.
当k－1≥1，即k≥2时，函数f(x)在[0,1]上是减少的．
所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e.
综上可知，当k≤1时，f(x)min＝－k；
当1当k≥2时，f(x)min＝(1－k)e.
反思感悟 对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0，等于0，小于0三种情况．若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值．
跟踪训练2 已知a为常数，求函数f(x)＝－x3＋3ax(0≤x≤1)的最大值．
考点 含参数的函数的最值问题
题点 含参数的函数求最值
解 f′(x)＝－3x2＋3a＝－3(x2－a)．
若a≤0，则f′(x)≤0，函数f(x)在[0,1]上是减少的，
所以当x＝0时，f(x)有最大值f(0)＝0；
若a>0，则令f′(x)＝0，解得x＝±.
由x∈[0,1]，则只考虑x＝的情况．
①当0<<1，即0当x变化时，f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：
x
(0，)
(，1)
f′(x)
＋
0
－
f(x)
↗
2a
↘
故f(x)max＝f()＝2a；
②当≥1，即a≥1时，f′(x)≥0，函数f(x)在[0,1]上是增加的，当x＝1时，f(x)有最大值f(1)＝3a－1.
综上，当a≤0，x＝0时，f(x)有最大值0；
当0当a≥1，x＝1时，f(x)有最大值3a－1.
题型二 由函数的最值求参数
例3 已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值．
考点 含参数的函数最值问题
题点 知最值求参数
解 由题设知a≠0，否则f(x)＝b为常函数，与题设矛盾．
求导得f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，
令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4(舍去)．
①若a>0，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
－1
(－1,0)
0
(0,2)
2
f′(x)
＋
0
－
f(x)
－7a＋b
↗
b
↘
－16a＋b
由表可知，当x＝0时，f(x)取得极大值b，也是函数f(x)在[－1,2]上的最大值，∴f(0)＝b＝3.
又f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3∴f(2)＝－16a＋3＝－29，解得a＝2.
②若a<0，同理可得，当x＝0时，f(x)取得极小值b，也是函数在[－1,2]上的最小值，∴f(0)＝b＝－29.
又f(－1)＝－7a－29，f(2)＝－16a－29>f(－1)，
∴f(2)＝－16a－29＝3，解得a＝－2.
综上可得，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.
反思感悟 已知函数在某区间上的最值求参数的值(范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题．其中注意分类讨论思想的应用．
跟踪训练3 设考点 含参数的函数最值问题
题点 知最值求参数
解 令f′(x)＝3x2－3ax＝0，得x1＝0，x2＝a.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
－1
(－1,0)
0
(0，a)
a
(a,1)
1
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
－1－a＋b
↗
b
↘
－＋b
↗
1－a＋b
由表可知，f(x)的极大值为f(0)＝b，极小值为f(a)＝b－，而f(0)>f(a)，f(1)>f(－1)，故需比较f(0)与f(1)及f(－1)与f(a)的大小．
因为f(0)－f(1)＝a－1>0，
所以f(x)的最大值为f(0)＝b＝1.
又f(－1)－f(a)＝(a＋1)2(a－2)<0，
所以f(x)的最小值为f(－1)＝－1－a＋b＝－a，
所以－a＝－，a＝，
所以a＝，b＝1.
1．函数f(x)＝－x2＋4x＋7在x∈[3,5]上的最大值和最小值分别是( )
A．f(2)，f(3) B．f(3)，f(5)
C．f(2)，f(5) D．f(5)，f(3)
考点 利用导数求函数的最值
题点 不含参数的函数求最值
答案 B
解析 ∵f′(x)＝－2x＋4，
∴当x∈[3,5]时，f′(x)<0，
故f(x)在[3,5]上是减少的，
故f(x)的最大值和最小值分别是f(3)，f(5)．
2．函数f(x)＝x3－3x(|x|<1)( )
A．有最大值，但无最小值
B．有最大值，也有最小值
C．无最大值，但有最小值
D．既无最大值，也无最小值
考点 函数最值的应用
题点 最值存在性问题
答案 D
解析 f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，当x∈(－1,1)时，f′(x)<0，所以f(x)在(－1,1)上是减少的，无最大值和最小值，故选D.
3．函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，则a的取值范围是( )
A．[0,1) B．(0,1)
C．(－1,1) D.
考点 函数最值的应用
题点 最值存在性问题
答案 B
解析 ∵f′(x)＝3x2－3a，令f′(x)＝0，可得a＝x2，
∴a>0，
又∵x∈(0,1)，∴04．设M，m分别是函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值，若M＝m，则f′(x)＝________.
答案 0
解析 因为f(x)在[a，b]上的最大值与最小值相等，
所以f(x)在[a，b]上为常函数，f′(x)＝0.
5．函数f(x)＝x3－x2－2x＋5，若对于任意x∈[－1,2]，都有f(x)答案 (7，＋∞)
解析 f′(x)＝3x2－x－2，
令f′(x)＝0，得x＝－或x＝1.
可求得f(x)max＝f(2)＝7，
所以对于任意x∈[－1,2]，f(x)7.
1．求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；若函数在一个开区间内只有一个极值，则这个极值就是最值．
2．已知最值求参数时，可先确定参数的值，用参数表示最值时，应分类讨论.
一、选择题
1．函数y＝x－sinx，x∈的最大值是( )
A．π－1B.－1C．πD．π＋1
考点 利用导数求函数的最值
题点 不含参数的函数求最值
答案 C
解析 y′＝1－cosx≥0，故y＝x－sinx在上是增加的，所以当x＝π时，ymax＝π.
2．函数f(x)＝在[2,4]上的最小值为( )
A．0 B.
C. D.
答案 C
解析 f′(x)＝＝，当x∈[2,4]时，f′(x)<0，即函数f(x)在[2,4]上是减少的，故当x＝4时，函数f(x)有最小值.
3．已知函数f(x)，g(x)均为[a，b]上的可导函数，在[a，b]上连续且f′(x)A．f(a)－g(a) B．f(b)－g(b)
C．f(a)－g(b) D．f(b)－g(a)
考点 利用导数求函数的最值
题点 不含参数的函数求最值
答案 A
解析 令F(x)＝f(x)－g(x)，∵f′(x)∴F′(x)＝f′(x)－g′(x)<0，
∴F(x)在[a，b]上是减少的，
∴F(x)max＝F(a)＝f(a)－g(a)．
4．已知函数y＝－x2－2x＋3在区间[a,2]上的最大值为，则a等于( )
A．－ B.
C．－ D.或－
考点 含参数的最值问题
题点 已知最值求参数
答案 C
解析 当a≤－1时，最大值为4，不符合题意．
当－1所以f(x)max＝f(a)，
即－a2－2a＋3＝，
解得a＝－或a＝－(舍去)．
5．函数f(x)＝x3－mx2＋1在[－2，－1]上的最大值就是f(x)的极大值，则m的取值范围为( )
A．(－6，－3) B．[－6，－3]
C. D.
考点 函数最值的问题
题点 最值存在性问题
答案 D
解析 f′(x)＝3x2－2mx＝3x，
令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝，
由题意知m<0，f(x)max＝f，
∴－2≤m≤－1，即－3≤m≤－.
6．函数f(x)＝ex－x在区间[－1,1]上的最大值是( )
A．1＋ B．1
C．e－1 D．e＋1
考点 利用导数求函数的最值
题点 不含参数的函数求最值
答案 C
解析 由题意得f′(x)＝ex－1.
令f′(x)＝0，得x＝0.
当x∈[－1,0)时，f′(x)<0；
当x∈(0,1]时，f′(x)>0.
所以f(x)在[－1,0)上是减少的，在(0,1]上是增加的．
又因为f(－1)＝＋1，f(1)＝e－1，
所以f(－1)－f(1)＝2＋－e<0，
所以f(－1)所以f(x)max＝f(1)＝e－1.
7．已知a，b为正实数，函数f(x)＝ax3＋bx＋2x在[0,1]上的最大值为4，则f(x)在[－1,0]上的最小值为( )
A．－ B.
C．－2 D．2
答案 A
解析 因为a>0，b>0，所以f(x)＝ax3＋bx＋2x
在[－1,1]上是增加的，
故f(x)在[0,1]上的最大值f(1)＝a＋b＋2＝4，a＋b＝2，
f(x)在[－1,0]上的最小值f(－1)＝－(a＋b)＋2－1＝－2＋＝－.
二、填空题
8．已知函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，则a的取值范围是________．
答案 (－∞，2ln2－2]
解析 函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，即方程ex－2x＋a＝0有实根，即函数g(x)＝2x－ex与y＝a有交点，而g′(x)＝2－ex，可知函数g(x)＝2x－ex在(－∞，ln2)上是增加的，在(ln2，＋∞)上是减少的，所以g(x)＝2x－ex的值域为(－∞，2ln2－2]，所以要使函数g(x)＝2x－ex与y＝a有交点，只需a≤2ln2－2即可．
9．已知a≥0，若函数f(x)＝在[－1,1]上的最大值为2，则实数a的值为________．
考点 含参数的函数的最值问题
题点 已知最值求参数
答案 1
解析 求导得f′(x)＝，
令f′(x)＝0，可得x＝－1或x＝a，
又f(－1)＝0，f(a)＝1＋，f(1)＝，
若1＋＝2，则有a＝1；若＝2，则也有a＝1，
因此a＝1.
10．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m，n∈[－1,1]，则f(m)＋f′(n)的最小值是________．
考点 函数最值的应用
题点 已知极值求最值
答案 －13
解析 f′(x)＝－3x2＋2ax，
由题意知f′(2)＝0，得a＝3，∴f(x)＝－x3＋3x2－4，
令f′(x)＝－3x2＋6x＝－3x(x－2)＝0，
解得x1＝0，x2＝2(舍去)，
∵f(－1)＝0，f(0)＝－4，f(1)＝－2，
∴f(x)min＝－4，f′(x)＝－3x2＋6x＝－3(x－1)2＋3，
f′(x)min＝f′(－1)＝－9，
∴f(m)＋f′(n)的最小值是－4－9＝－13.
11．函数f(x)＝ax4－4ax2＋b(a>0,1≤x≤2)的最大值为3，最小值为－5，则a＝________，b＝________.
考点 含参数的函数最值问题
题点 己知最值求参数
答案 2 3
解析 f′(x)＝4ax3－8ax＝4ax(x2－2)，
∵a>0，x∈[1,2]，∴当x∈(1，)时，f′(x)<0，
当x∈(，2)时，f′(x)>0，
∴f(x)min＝f()＝b－4a＝－5，①
f(x)max＝f(2)＝b＝3，②
由①②可得a＝2，b＝3.
三、解答题
12．设f(x)＝lnx，g(x)＝f(x)＋f′(x)．
求g(x)的单调区间和最小值．
考点 函数最值的应用
题点 恒成立中参数的取值范围
解 由题设知f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝，所以g(x)＝lnx＋，
所以g′(x)＝.
令g′(x)＝0，得x＝1，当x∈(0,1)时，g′(x)<0，
故(0,1)是g(x)的递减区间；
当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，
故(1，＋∞)是g(x)的递增区间．
因此x＝1是g(x)在(0，＋∞)上的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为g(1)＝1.
13．已知函数f(x)＝x3－ax2＋3x.
(1)若f(x)在[1，＋∞)上是增加的，求实数a的取值范围；
(2)若x＝3是f(x)的极值点，求f(x)在[1，a]上的最大值和最小值．
考点 函数最值的应用
题点 已知极值求最值
解 (1)f′(x)＝3x2－2ax＋3，
∵x∈[1，＋∞)时f′(x)≥0恒成立，
∴a≤min＝3(当且仅当x＝1时取等号)．
∴a≤3.
(2)由题意知f′(3)＝0，即27－6a＋3＝0，
∴a＝5，f(x)＝x3－5x2＋3x，f′(x)＝3x2－10x＋3.
令f′(x)＝0，得x1＝3，x2＝(舍去)．
当10，
即当x＝3时，f(x)取极小值f(3)＝－9.
又f(1)＝－1，f(5)＝15，
∴f(x)在[1,5]上的最小值是－9，最大值是15.
14．设直线x＝t与函数f(x)＝x2，g(x)＝lnx的图像分别交于点M，N，则当|MN|取到最小值时t的值为( )
A．1 B.
C. D.
答案 D
解析 由题意画出函数图像如图所示，由图可以看出|MN|＝y＝t2－lnt(t>0)．
y′＝2t－＝＝.
当0当t>时，y′>0，可知y在上是增加的．
故当t＝时，|MN|有最小值．
15．已知函数f(x)＝lnx＋a(1－x)．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a－2时，求a的取值范围．
解 (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－a.
当a≤0时，f′(x)>0，
所以f(x)在(0，＋∞)上是增加的．
若a>0，则当x∈时，f′(x)>0；
当x∈时，f′(x)<0.
所以f(x)在上是增加的，在上是减少的．
(2)由(1)知，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上无最大值；
当a>0时，f(x)在x＝处取得最大值，最大值为f＝ln＋a＝－lna＋a－1.
因此f>2a－2等价于lna＋a－1<0.
令g(a)＝lna＋a－1，g′(a)＝＋1>0，
则g(a)在(0，＋∞)上是增加的，又g(1)＝0，
于是，当01时，g(a)>0.
因此，a的取值范围是(0,1)．
第2课时 函数最值的应用
学习目标 1.了解导数在解决实际问题中的作用.2.会利用导数解决不等式问题及恒成立问题．
知识点一 生活中的优化问题
1．生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．
2．利用导数解决优化问题的实质是求函数最值．
3．解决优化问题的基本思路：
上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程．
知识点二 导数在不等式问题中的应用
利用导数证明不等式及解决不等式恒成立问题的基本思路是转化为函数的最值问题加以解决．
1．用导数解决实际问题的关键是建立函数模型．( √ )
2．恒成立问题可以转化成函数的最值问题．( √ )
3．用导数证明不等式可以通过构造函数，转化为函数大于等于0或小于等于0.( √ )
题型一 几何中的最值问题
例1 如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18 000 cm2，四周空白的宽度为10 cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm.怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告面积最小？
考点 几何类型的优化问题
题点 面积的最值问题
解 设广告的高和宽分别为xcm，ycm，
则每栏的高和宽分别为x－20，，
其中x>20，y>25.
两栏的面积之和为2(x－20)·＝18000，
由此得y＝＋25.
广告的面积S＝xy＝x＝＋25x，
∴S′＝＋25＝＋25.
令S′>0，得x>140，令S′<0，得20∴函数在(140，＋∞)上是增加的，在(20,140)上是减少的，∴S(x)的最小值为S(140)．
当x＝140时，y＝175.即当x＝140，y＝175时，S取得最小值24500，故当广告的高为140cm，宽为175cm时，可使广告的面积最小．
反思感悟 平面图形中的最值问题一般涉及线段、三角形、四边形等图形，主要研究与面积相关的最值问题，一般将面积用变量表示出来后求导数，求极值，从而求最值．
跟踪训练1 把边长为a的正三角形铁皮的三个角切去三个全等的四边形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的正三角形铁皮箱，当箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？
考点 几何类型的优化问题
题点 几何体体积的最值问题
解 设箱底边长为x，则箱高为h＝×(0＝ax2－x3(0则V′(x)＝ax－x2.
令V′(x)＝0，
解得x1＝0(舍)，x2＝a，
当x∈时，V′(x)>0；
当x∈时，V′(x)<0，
所以函数V(x)在x＝a处取得极大值，
这个极大值就是函数V(x)的最大值，
V＝a×2－×3＝a3.
所以当箱子底边长为a时，箱子容积最大，
最大容积为a3.
题型二 实际生活中的最值问题
命题角度1 利润最大问题
例2 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2，其中3(1)求a的值；
(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．
考点 函数类型的优化问题
题点 利用导数求解最大利润问题
解 (1)因为当x＝5时，y＝11，所以＋10＝11，
所以a＝2.
(2)由(1)可知，该商品每日的销售量
y＝＋10(x－6)2，
所以商场每日销售该商品所获得的利润
f(x)＝(x－3)
＝2＋10(x－3)(x－6)2,3从而f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]
＝30(x－4)(x－6)．
于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(3,4)
4
(4,6)
f′(x)
＋
0
－
f(x)
↗
极大值42
↘
由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点．
所以当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值为42.
答 当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．
反思感悟 解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系有：
(1)利润＝收入－成本．
(2)利润＝每件产品的利润×销售件数．
命题角度2 用料(费用)最省问题
例3 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
(1)求k的值及f(x)的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．
考点 函数类型的优化问题
题点 利用导数解决费用最省问题
解 (1)由题意知，每年的能源消耗费用为C(x)＝(0≤x≤10)，且C(0)＝8，故k＝40，所以C(x)＝(0≤x≤10)．
设建造费用为C1(x)，则C1(x)＝6x.
所以f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×＋6x＝＋6x(0≤x≤10)．
(2)因为f(x)＝＋6x(0≤x≤10)，
所以f′(x)＝6－.
令f′(x)＝0，即＝6，解得x＝5(负值舍去)．
当0≤x<5时，f′(x)<0，f(x)为减函数；
当50，f(x)为增函数．
故x＝5是函数f(x)的极小值点，也是最小值点，对应的最小值为f(5)＝＋6×5＝70.
故当隔热层修建厚度为5cm时，总费用f(x)达到最小，最小值为70万元．
反思感悟 费用、用料最省问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象．正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答．
题型三 与最值有关的恒成立问题
例4 已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－与x＝1处都取得极值．
(1)求a，b的值及函数f(x)的单调区间．
(2)若对任意x∈[－1,2]，不等式f(x)考点 函数最值的应用
题点 恒成立中参数的取值范围
解 (1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，
得f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
因为f′(1)＝3＋2a＋b＝0，f′＝－a＋b＝0，解得a＝－，b＝－2，
所以f′(x)＝3x2－x－2＝(3x＋2)(x－1)，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
－
1
(1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
所以函数f(x)的递增区间为和(1，＋∞)；递减区间为.
(2)由(1)知，f(x)＝x3－x2－2x＋c，x∈[－1,2]，
当x＝－时，f＝＋c为极大值，
因为f(2)＝2＋c，所以f(2)＝2＋c为最大值．
要使f(x)f(2)＝2＋c，
解得c<－1或c>2.
故c的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)．
反思感悟 解决恒成立问题，常用方法是转化为求函数的最值问题，通过分离参数，要使m>f(x)恒成立，只需m>f(x)的最大值即可，同理，要使m跟踪训练2 已知函数f(x)＝xlnx．若对所有x≥1都有f(x)≥ax－1，求实数a的取值范围．
题点 函数最值的应用
题点 恒成立中参数的取值范围
解 由题意，得f(x)≥ax－1在[1，＋∞)上恒成立，
即不等式a≤lnx＋在x∈[1，＋∞)上恒成立．
令g(x)＝lnx＋，则g′(x)＝－＝，
当x>1时，g′(x)>0，故g(x)在(1，＋∞)上是增加的，
所以g(x)的最小值是g(1)＝1.
因此a≤g(x)min＝g(1)＝1，
故a的取值范围为(－∞，1]．
损耗最少问题
典例 已知A，B两地相距200千米，一艘船从A地逆水而行到B地，水速为8千米/时，船在静水中的速度为v千米/时(8考点
题点
解 设船每小时航行所需的燃料费为y1元，比例系数为k(k>0)，则y1＝kv2.
∵当v＝12时，y1＝720，∴720＝k·122，得k＝5.
设全程燃料费为y元，由题意，
得y＝y1·＝(8∴y′＝＝.
令y′＝0，解得v＝16.
若v0≥16，当v∈(8,16)时，y′<0，y为减函数；
当v∈(16，v0]时，y′>0，y为增函数．
故当v＝16时，y取得极小值，也是最小值，此时全程燃料费最省．
若v0<16，当v∈(8，v0]时，y′<0，y在(8，v0]上为减函数．
故当v＝v0时，y取得最小值，此时全程燃料费最省．
综上可得，若v0≥16，则当v＝16千米/时时，全程燃料费最省；
若v0<16，则当v＝v0时，全程燃料费最省．
[素养评析] (1)解决实际应用问题的关键在于建立数学模型和目标函数，把“问题情景”译为数学语言，要先找出问题的主要关系，并把问题的主要关系近似化、形式化、抽象成数学问题，再化归为常规问题，最后选择合适的数学方法求解．
(2)确定函数模型，将实际问题转化成数学问题的要求较高，有利于数学建模素养的提升.
1．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大的年利润的年产量为( )
A．13万件 B．11万件
C．9万件 D．7万件
考点 函数类型的优化问题
题点 利用导数求解最大利润问题
答案 C
解析 ∵x>0，y′＝－x2＋81＝(9－x)(9＋x)，
令y′＝0，解得x＝9，∴当x∈(0,9)时，y′>0，
当x∈(9，＋∞)时，y′<0，y先增加后减少．
∴当x＝9时函数取最大值，故选C.
2．在某城市的发展过程中，交通状况逐渐受到更多的关注，据有关统计数据显示，从上午6时到9时，车辆通过该市某一路段的用时y(分钟)与车辆进入该路段的时刻t之间的关系可近似地用函数表示为y＝－t3－t2＋36t－，则在这段时间内，通过该路段用时最多的时刻是( )
A．6时B．7时C．8时D．9时
考点 函数类型的优化问题
题点 有关函数类型的其他问题
答案 C
解析 y′＝－t2－t＋36＝－(t2＋4t－96)
＝－(t＋12)(t－8)，
当t∈(6,8)时，y′>0，当t∈(8,9)时，y′<0，
故t＝8时，y取最大值．
3．容积为256的方底无盖水箱，它的高为________时最省材料．
考点 函数类型的优化问题
题点 利用导数解决费用最省问题
答案 4
解析 设水箱高为h，底面边长为a，则a2h＝256，
其表面积为S＝a2＋4ah＝a2＋4a·＝a2＋(a>0)．
令S′＝2a－＝0，得a＝8.
当08时，S′>0，
故当a＝8时，S最小，此时h＝＝4.
4．要制作一个容积为4m3，高为1m的无盖长方体容器，已知底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________元．
考点 函数类型的优化问题
题点 利用导数解决费用最省问题
答案 160
解析 设底面长为x，由题意得底面宽为.
设总造价为y，则y＝20x×＋10×1×，
即y＝20x＋＋80，
y′＝20－，令y′＝0，得x＝2.
∴当x＝2时，ymin＝160(元)．
5．函数f(x)＝x3－3x－1，若对于区间[－3,2]上的任意x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤t，则实数t的最小值是________．
考点 函数最值的应用
题点 恒成立中参数的取值范围
答案 20
解析 由f′(x)＝3x2－3＝0，得x＝±1，
则f(x)min＝f(－3)＝－19，f(x)max＝f(－1)＝1，
由题意知|f(x1)－f(x2)|max＝|－19－1|＝20，
∴t≥20，故tmin＝20.
1．正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解应用题的主要思路．另外需要特别注意
(1)合理选择变量，正确给出函数表达式．
(2)与实际问题相联系．
(3)必要时注意分类讨论思想的应用．
2．“恒成立”问题可转化为函数最值问题.
一、选择题
1．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么原油温度的瞬时变化率的最小值是( )
A．8 B.
C．－1 D．－8
考点 函数类型的优化问题
题点 有关函数类型的其他问题
答案 C
解析 原油温度的瞬时变化率f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1(0≤x≤5)，所以当x＝1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值－1.
2．将8分为两个非负数之和，使其立方和最小，那么这两个数为( )
A．2,6 B．4,4
C．3,5 D．以上都不对
考点 函数类型的优化问题
题点 函数类型的其他问题
答案 B
解析 设一个数为x，则另一个数为8－x，
其立方和为y＝x3＋(8－x)3
＝512－192x＋24x2(0≤x≤8)，
则y′＝48x－192.
令y′＝0，即48x－192＝0，解得x＝4.
当0≤x<4时，y′<0；
当40，
所以当x＝4时，y取得极小值，也是最小值．
所以这两个数为4,4.
3．若底面为等边三角形的直棱柱的体积为V，则其表面积最小时底面边长为( )
A. B.
C. D．2
考点 几何类型的优化问题
题点 面积的最值问题
答案 C
解析 设底面边长为x，
则表面积S＝x2＋V(x>0)．
∴S′＝(x3－4V)．令S′＝0，得x＝.
可判断得当x＝时，直棱柱的表面积最小．
4．用边长为120cm的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接成水箱，则水箱最大容积为( )
A．120000cm3 B．128000cm3
C．150000cm3 D．158000cm3
考点 几何类型的优化问题
题点 几何体体积的最值问题
答案 B
解析 设水箱底边长为xcm，则水箱高h＝60－(cm)，
水箱容积V(x)＝x2h＝60x2－(0则V′(x)＝120x－x2.
令V′(x)＝0，得x＝0(舍去)或x＝80.
可判断得当x＝80cm时，V取最大值为128000cm3.
5．圆柱形金属饮料罐的体积一定，要使生产这种金属饮料罐所用的材料最省，它的高与底面半径比为( )
A．2∶1 B．1∶2
C．1∶4 D．4∶1
考点 几何类型的优化问题
题点 面积的最值问题
答案 A
解析 设其体积为V，高与底面半径分别为h，r，
则V＝πr2h，即h＝.
由题意知，表面积S最小时所用材料最省．
S＝2πr2＋2πrh＝2πr2＋2πr＝2πr2＋，
令S′＝4πr－＝0，得r＝，
当r＝时，h＝＝.
则h∶r＝2∶1时，表面积S最小．
6．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比．如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库的建造位置到车站的距离为( )
A．4千米B．5千米C．6千米D．7千米
考点 函数类型的优化问题
题点 利用导数解决费用最省问题
答案 B
解析 依题意可设每月土地占用费y1＝(k1>0)，每月库存货物的运费y2＝k2x(k2>0)，其中x是仓库到车站的距离，于是由2＝，得k1＝20；由8＝10k2，得k2＝.
因此两项费用之和为y＝＋，y′＝－＋.
令y′＝0，得x＝5(x＝－5舍去)，此点即为最小值点．
故当仓库建在离车站5千米处时，两项费用之和最小．
7．某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品．若该商品零售价定为p，销售量为q，且销售量q(单位：件)与零售价p(单位：元)有如下关系：q＝8300－170p－p2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)( )
A．30元 B．60元
C．28000元 D．23000元
考点 函数类型的优化问题
题点 利用导数求解最大利润问题
答案 D
解析 由题意知毛利润w＝(p－20)(8300－170p－p2)＝－p3－150p2＋11700p－166000，
w′＝－3p2－300p＋11700，令w′＝0，得p＝30或p＝－130(舍)．
∵只有唯一一个极值点，且是极大值点，
∴当p＝30时，wmax＝23000元．
8．已知函数f(x)＝x4－2x3＋3m，x∈R，若f(x)＋9≥0恒成立，则m的取值范围是( )
A．m≥ B．m>
C．m≤ D．m<
考点 函数最值的应用
题点 恒成立中参数的取值范围
答案 A
解析 ∵f′(x)＝2x3－6x2，
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝3，
验证可知x＝3是函数的最小值点，
故f(x)min＝f(3)＝3m－，
由f(x)＋9≥0恒成立，得f(x)≥－9恒成立，
即3m－≥－9，∴m≥.
二、填空题
9．已知函数f(x)＝2lnx＋(a＞0)，若当x∈(0，＋∞)时，f(x)≥2恒成立，则实数a的取值范围是________．
答案 [e，＋∞)
解析 由f(x)≥2，得a≥2x2－2x2lnx.
设g(x)＝2x2－2x2lnx，
则g′(x)＝2x(1－2lnx)，
令g′(x)＝0，得x＝或x＝0(舍去)，
因为当0＜x＜时，g′(x)＞0；当x＞时，g′(x)＜0.
所以当x＝时，g(x)取得最大值＝e，故a≥e.
10．如果圆柱轴截面的周长l为定值，则体积的最大值为________．
考点 几何类型的优化问题
题点 几何体体积的最值问题
答案 3π
解析 设圆柱的底面半径为r，高为h，体积为V，
则4r＋2h＝l，
∴h＝，V＝πr2h＝πr2－2πr3，
则V′＝lπr－6πr2，令V′＝0，得r＝0(舍)或r＝，
∴r＝是其唯一的极值点，
当00；当∴当r＝时，V取得最大值，最大值是3π.
11．若不等式x3－x2>2－a对实数x∈[－1，＋∞)恒成立，则a的取值范围是________．
答案
解析 设f(x)＝x3－x2，
令f′(x)＝3x2－9x＝0，得x＝0或x＝3.
当－1≤x<0时，f′(x)>0；当03时，f′(x)>0，所以当x＝3时，f(x)取得极小值f(3)＝－，
又f(－1)＝－>－，所以f(x)的最小值为－，
从而f(x)min＝－>2－a，
所以a>.
三、解答题
12．一火车锅炉每小时煤消耗费用与火车行驶速度的立方成正比，已知当速度为20km/h时，每小时消耗的煤价值40元，其他费用每小时需200元，火车的最高速度为100 km/h，则火车以何速度行驶才能使从甲城开往乙城的总费用最少？
解 设速度为xkm/h，甲、乙两城距离为akm.
则总费用f(x)＝(kx3＋200)·＝a.
由已知条件，得40＝k·203，∴k＝，
∴f(x)＝a.
令f′(x)＝＝0，
得x＝10.
当0当100.
∴当x＝10时，f(x)有最小值，
即速度为10km/h时，总费用最少．
13．已知函数f(x)＝x3－ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)．
(1)若函数f(x)在x＝－1和x＝3处取得极值，试求a，b的值；
(2)在(1)的条件下，当x∈[－2,6]时，f(x)<2|c|恒成立，求c的取值范围．
解 (1)f′(x)＝3x2－2ax＋b，
∵函数f(x)在x＝－1和x＝3处取得极值，
∴－1,3是方程3x2－2ax＋b＝0的两根．
∴∴
(2)由(1)知f(x)＝x3－3x2－9x＋c，
f′(x)＝3x2－6x－9.
当x变化时，f′(x)，f(x)随x的变化如下表：
x
(－∞，－1)
－1
(－1,3)
3
(3，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
极大值c＋5
↘
极小值c－27
↗
而f(－2)＝c－2，f(6)＝c＋54，
∴当x∈[－2,6]时，f(x)的最大值为c＋54，
要使f(x)<2|c|恒成立，只要c＋54<2|c|即可，
当c≥0时，c＋54<2c，∴c>54；
当c<0时，c＋54<－2c，∴c<－18.
∴c∈(－∞，－18)∪(54，＋∞)，此即为参数c的取值范围．
14．已知函数f(x)＝x3－x2－4x＋1，直线l：x＋y＋2k－1＝0，当x∈[－3,3]时，直线l恒在函数f(x)图像的下方，则实数k的取值范围是( )
A．k>－ B．k<－
C．k< D．k>
考点 函数最值的应用
题点 恒成立中参数的取值范围
答案 D
解析 命题等价于当x∈[－3,3]时，
－(－x－2k＋1)>0恒成立，
即k>－x3＋x2＋x.
设g(x)＝－x3＋x2＋x，则
g′(x)＝－x2＋x＋＝(3－x)(1＋x)．
由g′(x)>0，得－1由g′(x)<0，得－3∴g(x)在[－3，－1)上是减少的，在(－1,3]上是增加的，
∴当x＝－1时，g(x)取得最小值，
又g(－3)＝，g(3)＝，∴ymax＝，∴k>.
15.某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱体，左右两端均为半球体，按照设计要求容器的体积为立方米．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱体部分每平方米建造费用为3千元，半球体部分每平方米建造费用为4千元．设该容器的总建造费用为y千元．
(1)将y表示成r的函数，并求该函数的定义域；
(2)确定r和l为何值时，该容器的建造费用最少，并求出最少建造费用．
考点 函数类型的优化问题
题点 利用导数解决费用最省问题
解 (1)因为容器的体积为立方米，
所以＋πr2l＝，解得l＝－.
所以圆柱的侧面积为
2πrl＝2πr＝－，
两端两个半球的表面积之和为4πr2，
所以y＝×3＋4πr2×4
＝＋8πr2.
又l＝－>0?r<，
所以定义域为．
(2)因为y′＝－＋16πr＝，
所以令y′>0，得2令y′<0，得0所以当r＝2时，该容器的建造费用最少，为96π千元，此时l＝.
