2020版高中数学北师大版选修1-1第四章导数应用1.1导数与函数的单调性学案（含解析）

1．1　导数与函数的单调性
学习目标　1.了解导数与函数的单调性的关系.2.掌握利用导数判断(证明)函数单调性的方法.3.能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间．
知识点一　导函数的符号与函数的单调性的关系
(1)在区间(a，b)内函数导数的符号与函数单调性有如下关系：
导函数的正、负
函数的单调性
f′(x)>0
增加的
f′(x)<0
减少的
f′(x)＝0
常函数
(2)在区间(a，b)内函数的单调性与导数有如下关系：
函数的单调性
导函数的正、负
增加的
f′(x)≥0
减少的
f′(x)≤0
常函数
f′(x)＝0
特别提醒：(1)若在某区间上有有限个点使f′(x)＝0，在其余的点恒有f′(x)>0，则f(x)仍是增加的(减少的情形完全类似)．
(2)f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)不恒为0.
知识点二　函数的变化快慢与导函数的关系
一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图像就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数的图像就“平缓”一些．
1．函数的导数越小，函数值的变化越慢，函数的图像就越“平缓”．(　×　)
2．函数在某一点处的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”．(　×　)
3．函数在某个区间上变化的越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大．(　√　)
4．若f(x)在区间(a，b)上可导，则“f′(x)>0”是“f(x)在(a，b)上是增加的”的充要条件．(　×　)
5．若f(x)的图像在[a，b]上是一条连续曲线，且f(x)在(a，b)上f′(x)<0，则f(x)在[a，b]上是减少的．(　√　)
题型一　原函数和导函数图像之间的关系
例1　已知函数y＝f(x)的图像如图所示，则函数y＝f′(x)的图像可能是图中的(　　)
考点　函数变化的快慢与导数的关系
题点　根据原函数的图像确定导函数的图像
答案　C
解析　由函数y＝f(x)的图像的增减变化趋势判断函数y＝f′(x)的正、负情况如下表：
x
(－1，b)
(b，a)
(a,1)
f(x)
?↘
?↗
?↘
f′(x)
－
＋
－
由表可知函数y＝f′(x)的图像，当x∈(－1，b)时，函数图像在x轴下方；当x∈(b，a)时，函数图像在x轴上方；当x∈(a,1)时，函数图像在x轴下方．故选C.
反思感悟　1.对于原函数图像，要看其在哪个区间内是增加的，则在此区间内导数值大于零．在哪个区间内是减少的，则在此区间内导数值小于零．根据导数值的正负可判定导函数图像．
2．对于导函数的图像可确定原函数的递增(减)区间及增减快慢．
跟踪训练1　函数y＝f(x)在定义域内可导，其图像如图所示，记y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，则不等式f′(x)≤0的解集是(　　)
A.∪[2,3)
B.∪
C.∪[1,2]
D.∪∪
考点　函数变化的快慢与导数的关系
题点　根据原函数图像确定导函数图像
答案　A
解析　求f′(x)≤0的解集，即求函数f(x)在上的递减区间．由题干图像可知y＝f(x)的递减区间为，[2,3)．
题型二　利用导数求函数的单调区间
例2　求下列函数的单调区间．
(1)f(x)＝2x3＋3x2－36x＋1；
(2)f(x)＝3x2－2lnx.
考点　利用导数研究函数的单调性
题点　不含参数求单调区间
解　(1) f′(x)＝6x2＋6x－36.
由f′(x)＞0，得6x2＋6x－36>0，解得x<－3或x>2；
由f′(x)＜0，解得－3故f(x)的递增区间是(－∞，－3)，(2，＋∞)；
递减区间是(－3,2)．
(2)函数的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝6x－＝2·.
令f′(x)>0，即2·>0，
解得x>.
令f′(x)<0，即2·<0，
解得0∴f(x)的递增区间为，
递减区间为.
反思感悟　求函数的单调区间的具体步骤
(1)优先确定f(x)的定义域．
(2)计算导函数f′(x)．
(3)解f′(x)>0和f′(x)<0.
(4)定义域内满足f′(x)>0的区间为递增区间，定义域内满足f′(x)<0的区间为递减区间．
跟踪训练2　求函数f(x)＝的单调区间．
考点　利用导数研究函数的单调性
题点　不含参数求单调区间
解　函数f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．
f′(x)＝＝.
因为x∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以ex>0，(x－2)2>0.
由f′(x)>0，得x>3，
所以函数f(x)的递增区间为(3，＋∞)；
由f′(x)<0，得x<3.
又函数f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，
所以函数f(x)的递减区间为(－∞，2)和(2,3)．
题型三　含参数函数的单调性
例3　若函数f(x)＝kx－lnx在区间(1，＋∞)上是增加的，则k的取值范围是________．
考点　利用函数单调性求变量
题点　已知函数单调性求参数
答案　[1，＋∞)
解析　由于f′(x)＝k－，f(x)＝kx－lnx在区间(1，＋∞)上是增加的，得f′(x)＝k－≥0在(1，＋∞)上恒成立．
因为k≥，而0<<1，所以k≥1，
即k的取值范围为[1，＋∞)．
引申探究
1．试求函数f(x)＝kx－lnx的单调区间．
解　f(x)＝kx－lnx的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝k－，
当k≤0时，函数的递减区间为(0，＋∞)；
当k>0时，函数的递增区间为，递减区间为.
2．若f(x)＝kx－lnx在区间(1，＋∞)上不单调，则k的取值范围是________．
答案　(0,1)
解析　由引申探究1知k>0，且>1，
则0反思感悟　1.讨论含有参数的函数的单调性，通常归结为求含参数不等式的解集的问题，而对含有参数的不等式要针对具体情况进行讨论，但始终注意定义域对单调性的影响以及分类讨论的标准．
2．利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路
(1)将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意．
(2)先令f′(x)>0(或f′(x)<0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“＝”时f(x)是否满足题意．
3．恒成立问题的重要思路
(1)m≥f(x)恒成立?m≥f(x)max.
(2)m≤f(x)恒成立?m≤f(x)min.
跟踪训练3　已知函数f(x)＝x2＋2alnx.
(1)试讨论函数f(x)的单调区间；
(2)若函数g(x)＝＋f(x)在[1,2]上是减少的，求实数a的取值范围．
考点　利用函数的单调性求变量
题点　已知函数的单调性求参数
解　(1)f′(x)＝2x＋＝，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．
①当a≥0时，f′(x)>0，
f(x)的递增区间为(0，＋∞)；
②当a<0时，f′(x)＝，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(0，)

(，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
?↘
?
↗
由上表可知，函数f(x)的递减区间是(0，)；
递增区间是(，＋∞)．
(2)由g(x)＝＋x2＋2alnx，得g′(x)＝－＋2x＋，
由已知函数g(x)为[1,2]上为减函数，
则g′(x)≤0在[1,2]上恒成立，
即－＋2x＋≤0在[1,2]上恒成立，
即a≤－x2在[1,2]上恒成立．
令h(x)＝－x2，
则h′(x)＝－－2x＝－<0，x∈[1,2]，
所以h(x)在[1,2]上是减少的，h(x)min＝h(2)＝－，
所以a≤－.
故实数a的取值范围为.
含有参数函数单调性的讨论
典例　讨论函数f(x)＝(a－1)lnx＋ax2＋1的单调性．
解　f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝＋2ax＝.
①当a≥1时，f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上是增加的；
②当a≤0时，f′(x)<0，故f(x)在(0，＋∞)上是减少的；
③当00，故f(x)在上是减少的，
在上是增加的．
综上所述，当a≥1时，f(x)在(0，＋∞)上是增加的；
当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上是减少的；
当0在上是增加的．
[素养评析]　(1)讨论含有参数的函数的单调性，通常归结为求含参不等式的解集问题，而对含有参数的不等式要针对具体情况进行讨论，但要始终注意定义域及分类讨论的标准．
(2)将函数单调性问题转化为求解一元二次不等式问题，明确了运算方向，而分类与整合思想能优化数学运算过程，对数学运算素养有较大的提高.
1．f(x)＝(x－3)ex的递增区间是(　　)
A．(－∞，2) B．(0,3)
C．(1,4) D．(2，＋∞)
考点　利用导数研究函数的单调性
题点　不含参数的函数求单调区间
答案　D
解析　f′(x)＝ex＋(x－3)·ex＝(x－2)ex>0，
解得x>2，
所以f(x)的递增区间是(2，＋∞)．
2．函数y＝f(x)的图像如图所示，则导函数y＝f′(x)的图像可能是(　　)
考点　函数变化的快慢与导数的关系
题点　根据原函数图像确定导函数图像
答案　D
解析　∵函数f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上都是减函数，∴当x>0时，f′(x)<0；当x<0时，f′(x)<0.故选D.
3．若函数y＝f(x)＝a(x3－x)的递减区间为，则a的取值范围是________．
考点　利用函数的单调性求变量
题点　已知函数的单调性求参数
答案　(0，＋∞)
解析　f′(x)＝a(3x2－1)＝3a，
令f′(x)<0，由已知得－可得a>0.
4．已知a>0且a≠1，证明：函数y＝ax－xlna在(－∞，0)上是减少的．
考点　利用导数研究函数的单调性
题点　根据导数判定(证明)函数的单调性
证明　y′＝axlna－lna＝lna(ax－1)，
当a>1时，因为lna>0，ax<1，
所以y′<0，即y在(－∞，0)上是减少的；
当01，
所以y′<0，即y在(－∞，0)上是减少的．
综上，函数y＝ax－xlna在(－∞，0)上是减少的．
1．导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度．
2．利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤
(1)确定函数f(x)的定义域．
(2)求导数f′(x)．
(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0和f′(x)<0.
(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间.
一、选择题
1．下列函数中，在(0，＋∞)上是增加的是(　　)
A．y＝sinx B．y＝xex
C．y＝x3－x D．y＝lnx－x
考点　利用导数研究函数的单调性
题点　根据导数判定函数的单调性
答案　B
解析　显然y＝sinx在(0，＋∞)上既有增又有减，故排除A；对于函数y＝xex，y′＝(x＋1)ex，因为ex恒大于零，易知y＝xex在(0，＋∞)上是增加的；
对于C，y′＝3x2－1＝3，
故函数在，上是增加的，
在上是减少的；对于D，y′＝－1(x>0)．
故函数在(1，＋∞)上是减少的，在(0,1)上是增加的．故选B.
2．函数y＝f(x)＝xcosx－sinx的递增区间为(　　)
A. B.
C. D.
考点　利用导数研究函数的单调性
题点　根据导数判定函数的单调性
答案　B
解析　y′＝cosx－xsinx－cosx＝－xsinx，
若y＝f(x)在某区间内是增加的，
只需在此区间内y′>0恒成立即可，
∴只有选项B符合题意，
当x∈(π，2π)时，y′>0恒成立．
3．函数f(x)＝x－lnx的递减区间为(　　)
A．(－∞，1] B．[1，＋∞)
C．(0,1] D．(0，＋∞)
考点　利用导数研究函数的单调性
题点　不含参数求单调区间
答案　C
解析　∵f′(x)＝1－＝(x>0)，令f′(x)≤0，解得04．如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图像，则下列判断正确的是(　　)
A．在区间(－2,1)上f(x)是增加的
B．在(1,3)上f(x)是减少的
C．在(4,5)上f(x)是增加的
D．在(－3，－2)上f(x)是增加的
考点　函数变化的快慢与导数的关系
题点　根据导函数图像研究原函数图像
答案　C
解析　由题图知，当x∈(4,5)时，f′(x)>0，所以在(4,5)上f(x)是增函数．
5．函数f(x)＝ax3－x在R上是减少的，则(　　)
A．a≤0 B．a<1
C．a<2 D．a≤
考点　利用函数的单调性求变量
题点　已知函数的单调性求参数
答案　A
解析　f′(x)＝3ax2－1，由题意知，对任意x∈R，
3ax2－1≤0，当a>0时，显然不符合题意，
当a≤0时，成立．故a≤0.
6．已知函数y＝xf′(x)的图像如图所示，选项中的四个图像能大致表示y＝f(x)的图像的是(　　)
答案　C
解析　由题图可知，当x＜－1时，xf′(x)＜0，所以f′(x)＞0，此时原函数是增加的，图像应是上升的；当－1＜x＜0时，xf′(x)＞0，所以f′(x)＜0，此时原函数为是减少的，图像应是下降的；当0＜x＜1时，xf′(x)＜0，所以f′(x)＜0，此时原函数是减少的，图像应是下降的；当x＞1时，xf′(x)＞0，所以f′(x)＞0，此时原函数是增加的，图像应是上升的．由上述分析可知选C.
7．已知函数f(x)在定义域R上为增函数，且f(x)＜0，则g(x)＝x2f(x)在(－∞，0)内的单调情况一定是(　　)
A．减少的 B．增加的
C．先增加后减少 D．先减少后增加
考点　利用导数研究函数的单调性
题点　根据导数判定(证明)函数的单调性
答案　B
解析　因为函数f(x)在定义域R上是增加的，
所以f′(x)≥0在R上恒成立．
又因为g′(x)＝2xf(x)＋x2f′(x)，
所以当x∈(－∞，0)时，g′(x)＞0恒成立，
所以g(x)＝x2f(x)在(－∞，0)内是增加的．
8．函数f(x)的定义域为R，f(1)＝1，对任意x∈R，f′(x)<2，则f(x)>2x－1的解集为(　　)
A．(－1,1) B．(1，＋∞)
C．(－∞，1) D．(－∞，＋∞)
考点　利用导数研究函数的单调性
题点　利用导数求解不等式
答案　C
解析　令g(x)＝f(x)－2x＋1，
则g′(x)＝f′(x)－2<0，∴g(x)是减函数．
又g(1)＝f(1)－2×1＋1＝0，
当g(x)>g(1)＝0时，x<1，
∴f(x)－2x＋1>0，即f(x)>2x－1的解集为(－∞，1)．
二、填空题
9．已知函数f(x)＝kex－1－x＋x2(k为常数)，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线与x轴平行，则f(x)的递减区间为____________．
考点　利用导数研究函数的单调性
题点　含参数的函数求单调区间
答案　(－∞，0)
解析　f′(x)＝kex－1－1＋x，
∵曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线与x轴平行，
∴f′(0)＝k·e－1－1＝0，解得k＝e，故f′(x)＝ex＋x－1.
令f′(x)<0，解得x<0，
故f(x)的递减区间为(－∞，0)．
10．函数f(x)的图像如图所示，f′(x)为函数f(x)的导函数，则不等式<0的解集为________．
考点　函数变化快慢与导数的关系
题点　求解不等式
答案　(－3，－1)∪(0,1)
解析　由题图知，当x∈(－∞，－3)∪(－1,1)时，f′(x)<0，
当x∈(－3，－1)∪(1，＋∞)时，f′(x)>0，
故不等式<0的解集为(－3，－1)∪(0,1)．
11．已知f(x)＝在区间[m，m＋1]上是增函数，则实数m的取值范围是________．
考点　利用函数单调性求变量
题点　已知函数单调性求参数
答案　[－1,0]
解析　f′(x)＝＝，
∴当－1≤x≤1时，f′(x)≥0，即f(x)的单调递增区间是[－1,1]，
又f(x)在[m，m＋1]上是增函数，∴
∴－1≤m≤0，即实数m的取值范围是[－1,0]．
三、解答题
12．已知x>0，求证：x>sinx.
考点　利用导数研究函数的单调性
题点　利用导数证明不等式
证明　设f(x)＝x－sinx(x>0)，则f′(x)＝1－cosx≥0对x∈(0，＋∞)恒成立，∴函数f(x)＝x－sinx在(0，＋∞)上是增加的，又f(0)＝0，∴f(x)>0对x∈(0，＋∞)恒成立，∴x>sinx(x>0)．
13．若函数f(x)＝x3－ax2＋(a－1)x＋1在区间(1,4)内是减少的，在区间(6，＋∞)内是增加的，试求实数a的取值范围．
考点　利用函数的单调性求变量
题点　已知函数的单调性求参数
解　f′(x)＝x2－ax＋a－1＝(x－1)[x－(a－1)]，
令f′(x)＝0，得x1＝1，x2＝a－1.
因为f(x)在(1,4)内是减少的，
所以当x∈(1,4)时，f′(x)≤0；
因为f(x)在(6，＋∞)内是增加的，
所以当x∈(6，＋∞)时，f′(x)≥0.
所以4≤a－1≤6，解得5≤a≤7，
所以实数a的取值范围为[5,7]．
14．f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，
g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)<0的解集是________________．
考点　
题点　
答案　(－∞，－3)∪(0,3)
解析　令h(x)＝f(x)g(x)，则h(－x)＝f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝－h(x)，
因此函数h(x)在R上是奇函数．
①∵当x<0时，h′(x)＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，
∴h(x)在(－∞，0)上是增加的，
∵h(－3)＝f(－3)g(－3)＝0，∴由h(x)<0，得x<－3.
②当x>0时，∵函数h(x)在R上是奇函数，
∴h(x)在(0，＋∞)上是增加的，且h(3)＝－h(－3)＝0，
∴h(x)<0的解集为(0,3)，
∴不等式f(x)g(x)<0的解集是(－∞，－3)∪(0,3)．
15．已知二次函数h(x)＝ax2＋bx＋2，其导函数y＝h′(x)的图像如图，f(x)＝6lnx＋h(x)．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若函数f(x)在区间上是单调函数，求实数m的取值范围．
考点　利用函数的单调性求变量
题点　已知函数的单调性求参数
解　(1)由已知，h′(x)＝2ax＋b，
其图像为直线，且过(0，－8)，(4,0)两点，
把两点坐标代入h′(x)＝2ax＋b，
∴　解得
∴h(x)＝x2－8x＋2，h′(x)＝2x－8，
∴f(x)＝6lnx＋x2－8x＋2.
(2)f′(x)＝＋2x－8＝(x>0)．
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(0,1)
1
(1,3)
3
(3，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?↗
?↘
?↗
∴f(x)的递增区间为(0,1)和(3，＋∞)，
f(x)的递减区间为(1,3)．
要使函数f(x)在区间上是单调函数，
则　解得即实数m的取值范围为.