2020版高中数学北师大版选修1-1第四章导数应用1.2函数的极值学案（含解析）

1．2　函数的极值
学习目标　1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系.2.掌握函数极值的判定及求法．3．掌握函数在某一点取得极值的条件．
知识点一　函数的极值点与极值的概念
1.如图1，在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都小于或等于x0点的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的极大值点，其函数值f(x0)为函数的极大值．
2．如图2，在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都大于或等于x0点的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的极小值点，其函数值f(x0)为函数的极小值．
3．极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点．
知识点二　函数极值的判定
1．单调性判别：
(1)如果函数y＝f(x)在区间(a，x0)上是增加的，在区间(x0，b)上是减少的，则x0是极大值点，f(x0)是极大值．
(2)如果函数y＝f(x)在区间(a，x0)上是减少的，在区间(x0，b)上是增加的，则x0是极小值点，f(x0)是极小值．
2．图表判别：
(1)极大值的判定：
x
(a，x0)
x0
(x0，b)
f′(x)
＋
0
－
y＝f(x)
增加↗
极大值
减少↘
(2)极小值的判定：
x
(a，x0)
x0
(x0，b)
f′(x)
－
0
＋
y＝f(x)
减少↘
极小值
增加↗
知识点三　求函数y＝f(x)的极值的步骤
1．求出导数f′(x)．
2．解方程f′(x)＝0.
3．对于方程f′(x)＝0的每一个解x0，分析f′(x)在x0左、右两侧的符号(即f(x)的单调性)，确定极值点：
(1)若f′(x)在x0两侧的符号为“左正右负”，则x0为极大值点；
(2)若f′(x)在x0两侧的符号为“左负右正”，则x0为极小值点；
(3)若f′(x)在x0两侧的符号相同，则x0不是极值点．
1．导数值为0的点一定是函数的极值点．(　×　)
2．在可导函数的极值点处，切线与x轴平行．(　×　)
3．函数f(x)＝无极值．(　√　)
4．定义在[a，b]上的连续函数f(x)若有极值f(x0)，则x0∈(a，b)．(　√　)
5．函数的极值点一定是其导函数的变号零点．(　√　)
题型一　求函数的极值
例1　求下列函数的极值．
(1)f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1；
(2)f(x)＝x2－2lnx.
考点　函数的极值与导数的关系
题点　不含参数的函数求极值问题
解　(1)函数f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1的定义域为R，
f′(x)＝6x2＋6x－12＝6(x＋2)(x－1)，
解方程6(x＋2)(x－1)＝0，得x1＝－2，x2＝1.
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－2)
－2
(－2,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?↗
极大值21
↘
极小值－6
↗
所以当x＝－2时，f(x)取极大值21；
当x＝1时，f(x)取极小值－6.
(2)函数f(x)＝x2－2lnx的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝2x－＝，
解方程＝0，
得x1＝1，x2＝－1(舍去)．
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
x
(0,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
↘
极小值1
↗
因此当x＝1时，f(x)有极小值1，无极大值．
反思感悟　求可导函数f(x)的极值的步骤
(1)确定函数的定义域，求导数f′(x)．
(2)求f(x)的拐点，即求方程f′(x)＝0的根．
(3)利用f′(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值．
特别提醒：在判断f′(x)的符号时，借助图像也可判断f′(x)各因式的符号，还可用特殊值法判断．
跟踪训练1　已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4.
(1)求a，b的值；
(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．
考点　函数的极值与导数的关系
题点　不含参数的函数求极值问题
解　(1)f′(x)＝ex(ax＋b)＋aex－2x－4
＝ex(ax＋a＋b)－2x－4，
f′(0)＝a＋b－4＝4，①
又f(0)＝b＝4，②
由①②可得a＝b＝4.
(2)f(x)＝ex(4x＋4)－x2－4x，
则f′(x)＝ex(4x＋8)－2x－4
＝4ex(x＋2)－2(x＋2)
＝(x＋2)(4ex－2)．
令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝－ln2，
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－2)
－2
(－2，－ln2)
－ln2
(－ln2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?↗
极大值
↘
极小值
↗
f(x)在(－∞，－2)，(－ln2，＋∞)上是增加的，
在(－2，－ln2)上是减少的．
当x＝－2时，函数f(x)取得极大值，
极大值为f(－2)＝4(1－e－2)．
题型二　已知函数极值(或极值点)求参数
例2　设x＝1与x＝2是函数f(x)＝alnx＋bx2＋x的两个极值点．
(1)试确定常数a和b的值；
(2)判断x＝1，x＝2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由．
解　(1)∵f(x)＝alnx＋bx2＋x，
∴f′(x)＝＋2bx＋1.
由题意可知f′(1)＝f′(2)＝0，
∴
解方程组得a＝－，b＝－，
经验证，当a＝－，b＝－时，x＝1与x＝2是函数f(x)的两个极值点．
∴f(x)＝－lnx－x2＋x.
(2)x＝1，x＝2分别是函数f(x)的极小值点，极大值点．
理由如下：
f′(x)＝－x－1－x＋1
＝－－x＋1＝－＝－.
又∵f(x)的定义域为(0，＋∞)，
∴当x∈(0,1)时，f′(x)<0；当x∈(1,2)时，f′(x)>0；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)<0，故在x＝1处函数f(x)取得极小值，在x＝2处函数取得极大值，故x＝1为极小值点，x＝2为极大值点．
反思感悟　已知函数极值情况，逆向应用确定函数的解析式时，注意两点
(1)根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组．
(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以求解后必须验证根的合理性．
跟踪训练2　(1)已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1处有极值0，则a＝________，b＝________.
(2)若函数f(x)＝x3－x2＋ax－1有极值点，则a的取值范围为________．
考点　根据函数的极值求参数值
题点　已知极值求参数
答案　(1)2　9　(2)(－∞，1)
解析　(1)∵f′(x)＝3x2＋6ax＋b，且函数f(x)在x＝－1处有极值0，
∴即
解得或
当a＝1，b＝3时，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0，此时函数f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去．
当a＝2，b＝9时，f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3)．
当x∈(－∞，－3)时，f′(x)>0，此时f(x)是增加的；
当x∈(－3，－1)时，f′(x)<0，此时f(x)是减少的；
当x∈(－1，＋∞)时，f′(x)>0，此时f(x)是增加的．
故f(x)在x＝－1处取得极小值，∴a＝2，b＝9.
(2)∵f′(x)＝x2－2x＋a，
由题意得方程x2－2x＋a＝0有两个不同的实数根，
∴Δ＝4－4a>0，解得a<1.
题型三　函数极值的综合应用
例3　已知函数f(x)＝x3－3ax－1(a≠0)．若函数f(x)在x＝－1处取得极值，直线y＝m与y＝f(x)的图像有三个不同的交点，求m的取值范围．
考点　函数极值的应用
题点　函数的零点与方程的根
解　因为f(x)在x＝－1处取得极值且f′(x)＝3x2－3a，
所以f′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0，所以a＝1，
所以f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3，
由f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝1.
当x<－1时，f′(x)>0；
当－1当x>1时，f′(x)>0.
所以由f(x)的单调性可知，
f(x)在x＝－1处取得极大值f(－1)＝1，
在x＝1处取得极小值f(1)＝－3.
作出f(x)的大致图像如图所示．
因为直线y＝m与函数y＝f(x)的图像有三个不同的交点，结合f(x)的图像可知，m的取值范围是(－3,1)．
引申探究
若本例“三个不同的交点”改为“两个不同的交点”结果如何？改为“一个交点”呢？
解　由本例解析可知当m＝－3或m＝1时，直线y＝m与y＝f(x)的图像有两个不同的交点；当m<－3或m>1时，直线y＝m与y＝f(x)的图像只有一个交点．
反思感悟　利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图像，从直观上判断函数图像与x轴的交点或两个函数图像的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便．
跟踪训练3　已知函数f(x)＝x3－6x2＋9x＋3，若函数y＝f(x)的图像与y＝f′(x)＋5x＋m的图像有三个不同的交点，求实数m的取值范围．
考点　函数极值的应用
题点　函数的零点与方程的根
解　由f(x)＝x3－6x2＋9x＋3，
可得f′(x)＝3x2－12x＋9，
∴f′(x)＋5x＋m＝(3x2－12x＋9)＋5x＋m
＝x2＋x＋3＋m，
则由题意可得x3－6x2＋9x＋3＝x2＋x＋3＋m有三个不相等的实根，即g(x)＝x3－7x2＋8x－m的图像与x轴有三个不同的交点．
∵g′(x)＝3x2－14x＋8＝(3x－2)(x－4)，
∴令g′(x)＝0，得x＝或x＝4.
当x变化时，g(x)，g′(x)的变化情况如下表：
x



4
(4，＋∞)
g′(x)
＋
0
－
0
＋
g(x)
↗
－m
?↘
－16－m
↗
则函数g(x)的极大值为g＝－m，极小值为g(4)＝－16－m.
∴由y＝f(x)的图像与y＝f′(x)＋5x＋m的图像有三个不同的交点，
得解得－16∴m的取值范围为.
由极值点的个数求参数范围
典例　已知函数f(x)＝x(lnx－ax)有两个极值点，求实数a的取值范围．
考点　
题点　
解　由题意知f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝lnx＋1－2ax，
由于函数f(x)有两个极值点，则f′(x)＝0有两个不等的正根，
即函数y＝lnx＋1与y＝2ax(x>0)的图像有两个不同的交点，则a>0.
设函数y＝lnx＋1上任一点(x0,1＋lnx0)处的切线为l，
则切线斜率kl＝，
当l过坐标原点时，＝，解得x0＝1，
则kl＝1，令2a＝1，得a＝，
结合图像知0[素养评析]　(1)研究方程根的问题可以转化为研究相应函数的图像问题，一般地，方程f(x)＝0的根就是函数f(x)的图像与x轴交点的横坐标，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)的图像的交点的横坐标．
(2)将数转化为形，以形助数，体现了直观想象的作用和意义.
1．函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图像如图所示，则函数f(x)(　　)
A．无极大值点，有四个极小值点
B．有三个极大值点，两个极小值点
C．有两个极大值点，两个极小值点
D．有四个极大值点，无极小值点
考点　函数极值的应用
题点　函数极值在函数图像上的应用
答案　C
解析　f′(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值，f′(x)的符号由负变正，则f(x0)是极小值，由图像易知有两个极大值点，两个极小值点．
2．已知函数f(x)＝ax3－x2＋x－5在(－∞，＋∞)上既有极大值，也有极小值，则实数a的取值范围为(　　)
A．a> B．a≥
C．a<且a≠0 D．a≤且a≠0
考点　函数极值的应用
题点　极值存在性问题
答案　C
解析　f′(x)＝3ax2－2x＋1，令f′(x)＝0，
即3ax2－2x＋1＝0有两个不等实根，
则得a<且a≠0.
3．已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a等于(　　)
A．－4B．－2C．4D．2
考点　函数的极值与导数的关系
题点　不含参数的函数求极值(点)
答案　D
解析　∵f(x)＝x3－12x，∴f′(x)＝3x2－12，
令f′(x)＝0，则x1＝－2，x2＝2.
当x∈(－∞，－2)，(2，＋∞)时，f′(x)>0，则f(x)是增加的；
当x∈(－2,2)时，f′(x)<0，则f(x)是减少的，
∴f(x)的极小值点为a＝2.
4．设函数f(x)＝6x3＋3(a＋2)x2＋2ax.若f(x)的两个极值点为x1，x2，且x1x2＝1，则实数a的值为________．
答案　9
解析　f′(x)＝18x2＋6(a＋2)x＋2a.
由已知f′(x1)＝f′(x2)＝0，从而x1x2＝＝1，
所以a＝9.
5．已知曲线f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1在点(1，f(1))处的切线斜率为3，且x＝是y＝f(x)的极值点，则a＋b＝________.
考点　根据函数的极值求参数值
题点　已知极值求参数
答案　－2
解析　因为f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
由题意知
即
解得则a＋b＝－2.
1．在极值的定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值．
2．函数的极值是函数的局部性质．可导函数f(x)在点x＝x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0且在x＝x0两侧f′(x)符号相反．
3．利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图像的交点问题．
一、选择题
1．“函数y＝f(x)在一点的导数值为0”是“函数y＝f(x)在这点取得极值”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
考点　函数的极值与导数的关系
题点　判定函数的极值点
答案　B
解析　对于f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，
不能推出f(x)在x＝0处取极值，反之成立．故选B.
2.如图为y＝f(x)的导函数的图像，则下列判断正确的是(　　)
①f(x)在(－3,1)上为增加的；
②x＝－1是f(x)的极小值点；
③f(x)在(2,4)上为减少的，在(－1,2)上为增加的；
④x＝2是f(x)的极小值点．
A．①②③ B．②③
C．③④ D．①③④
考点　函数极值的应用
题点　函数极值在图像上的应用
答案　B
解析　当x∈(－3，－1)时，f′(x)<0；
当x∈(－1,2)时，f′(x)>0，
∴f(x)在(－3，－1)上为减少的，在(－1,2)上为增加的，
∴①不对；
x＝－1是f(x)的极小值点；
当x∈(2,4)时，f′(x)<0，f(x)是减少的；
x＝2是f(x)的极大值点．故②③正确．
3．函数f(x)＝x2－lnx的极值点为(　　)
A．0,1，－1 B．－
C. D.，－
考点　函数的极值与导数的关系
题点　不含参数的函数求极值问题
答案　C
解析　由已知，得f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝3x－＝，令f′(x)＝0，得x＝.当x>时，f′(x)>0；当0所以当x＝时，f(x)取得极小值，从而f(x)的极小值点为x＝，无极大值点．
4．已知函数f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处取得极值，则该函数的一个递增区间是(　　)
A．(2,3) B．(3，＋∞)
C．(2，＋∞) D．(－∞，3)
考点　根据函数的极值求参数值
题点　已知极值求参数
答案　B
解析　因为函数f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处取得极值，又f′(x)＝6x2＋2ax＋36，所以f′(2)＝0，即24＋4a＋36＝0，解得a＝－15.令f′(x)>0，解得x>3或x<2，所以函数的一个递增区间是(3，＋∞)．
5．若函数f(x)＝x3－3ax＋b(a>0)的极大值为6，极小值为2，则f(x)的递减区间为(　　)
A．(－1,1) B．(－∞，－1)
C．(1，＋∞) D．(－∞，－1)和(1，＋∞)
考点　根据函数的极值求参数值
题点　已知极值求参数
答案　A
解析　令f′(x)＝3x2－3a＝0，得x＝±，
令f′(x)>0，得x>或x<－；
令f′(x)<0，得－即在x＝－处取得极大值，在x＝处取得极小值．
∵函数f(x)＝x3－3ax＋b(a>0)的极大值为6，极小值为2，∴f()＝2，f(－)＝6，
即a－3a＋b＝2且－a＋3a＋b＝6，
得a＝1，b＝4，
则f′(x)＝3x2－3，由f′(x)<0，得－1∴递减区间为(－1,1)．故选A.
6．设三次函数f(x)的导函数为f′(x)，函数y＝x·f′(x)的图像的一部分如图所示，则(　　)
A．f(x)的极大值为f()，极小值为f(－)
B．f(x)的极大值为f(－)，极小值为f()
C．f(x)的极大值为f(－3)，极小值为f(3)
D．f(x)的极大值为f(3)，极小值为f(－3)
考点　函数极值的应用
题点　函数的极值在图像上的应用
答案　D
解析　当x<－3时，y＝xf′(x)>0，即f′(x)<0；
当－33时，f′(x)<0.
∴f(x)的极大值是f(3)，极小值是f(－3)．
7．已知e为自然对数的底数，设函数f(x)＝(ex－1)·(x－1)k(k＝1,2)，则(　　)
A．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极小值
B．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极大值
C．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极小值
D．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极大值
考点　函数的极值与导数的关系
题点　判别极值点与极值
答案　C
解析　当k＝1时，f′(x)＝ex·x－1，f′(1)≠0，
∴x＝1不是f(x)的极值点．
当k＝2时，f′(x)＝(x－1)(xex＋ex－2)，
显然f′(1)＝0，且x在1的左边附近f′(x)<0，
x在1的右边附近f′(x)>0，
∴f(x)在x＝1处取到极小值．故选C.
8．已知a∈R，且函数y＝ex＋ax(x∈R)有大于零的极值点，则(　　)
A．a＜－1 B．a＞－1
C．a＜－ D．a＞－
考点　函数极值的应用
题点　极值存在性问题
答案　A
解析　因为y＝ex＋ax，所以y′＝ex＋a.
令y′＝0，即ex＋a＝0，则ex＝－a，即x＝ln(－a)，
又因为x＞0，所以－a＞1，即a＜－1.
二、填空题
9．函数y＝xex在其极值点处的切线方程为________．
考点　函数的极值与导数的关系
题点　不含参数的函数求极值
答案　y＝－
解析　令y′＝ex＋xex＝(1＋x)ex＝0，
得x＝－1，∴y＝－，
∴函数y＝xex在极值点处的切线方程为y＝－.
10.已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋2，其导函数f′(x)的图像如图所示，则函数的极小值是________．
考点　函数极值的应用
题点　函数极值在函数图像上的应用
答案　2
解析　由图像可知，当x<0时，f′(x)<0，
当00，
故当x＝0时，函数f(x)取极小值f(0)＝2.
11．若直线y＝a与函数f(x)＝x3－3x的图像有三个相异的公共点，则a的取值范围是________．
考点　函数极值的应用
题点　函数的零点与方程的根
答案　(－2,2)
解析　令f′(x)＝3x2－3＝0，得x＝±1，可得f(x)的极大值为f(－1)＝2，极小值为f(1)＝－2，所以当－2三、解答题
12.函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c的图像如图所示，且与直线y＝0在原点处相切，函数的极小值为－4.
(1)求a，b，c的值；
(2)求函数的递减区间．
考点　极值的应用
题点　函数的极值在图像上的应用
解　(1)∵函数的图像过原点，∴c＝0，
即f(x)＝x3＋ax2＋bx，
∴f′(x)＝3x2＋2ax＋b.
又∵函数f(x)的图像与直线y＝0在原点处相切，
∴f′(0)＝0，解得b＝0，
∴f′(x)＝3x2＋2ax＝x(3x＋2a)．
由f′(x)＝0，得x＝0或x＝－.
由题意可知当x＝－时，函数取得极小值－4.
∴3＋a2＝－4，
解得a＝－3，
∴a＝－3，b＝c＝0.
(2)由(1)知f(x)＝x3－3x2，且f′(x)＝3x(x－2)，
由f′(x)<0，得0∴函数f(x)的递减区间是(0,2)．
13．设a为实数，函数f(x)＝x3－x2－x＋a.
(1)求f(x)的极值；
(2)当a在什么范围内取值时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点？
考点　极值的应用
题点　函数的零点与方程的根
解　(1)∵f′(x)＝3x2－2x－1，
令f′(x)＝0，得x＝－或x＝1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x

－

1
(1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
∴f(x)的极大值是f＝＋a，
极小值是f(1)＝a－1.
(2)函数f(x)＝x3－x2－x＋a
＝(x－1)2(x＋1)＋a－1，
由此可知，x取足够大的正数时，有f(x)>0，
x取足够小的负数时，有f(x)<0，
∴曲线y＝f(x)与x轴至少有一个交点．
由(1)知f(x)极大值＝f＝＋a，
f(x)极小值＝f(1)＝a－1.
∵曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点，
∴f(x)极大值<0或f(x)极小值>0，
即＋a<0或a－1>0，
∴a<－或a>1，
∴当a∈∪(1，＋∞)时，
曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点．
14．函数f(x)＝x3－3a2x＋a(a>0)的极大值是正数，极小值是负数，则a的取值范围是________．
答案　
解析　f′(x)＝3x2－3a2＝3(x＋a)(x－a)，
由f′(x)＝0得x＝±a，
当－a当x>a或x<－a时，f′(x)>0，函数是增加的，
∴f(x)的极大值为f(－a)，极小值为f(a)．
∴f(－a)＝－a3＋3a3＋a>0且f(a)＝a3－3a3＋a<0，
解得a>.
∴a的取值范围是.
15．已知函数f(x)＝x2－2lnx，h(x)＝x2－x＋a.
(1)求函数f(x)的极值；
(2)设函数k(x)＝f(x)－h(x)，若函数k(x)在[1,3]上恰有两个不同的零点，求实数a的取值范围．
考点　函数极值的应用
题点　函数的零点与方程的根
解　(1)f(x)的定义域是(0，＋∞)．
令f′(x)＝2x－＝0，得x＝1.
当x∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)是减少的；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)是增加的，
所以f(x)在x＝1处取得极小值，又f(1)＝1，
所以f(x)的极小值为1，无极大值．
(2)k(x)＝f(x)－h(x)＝x－2lnx－a(x>0)，
所以k′(x)＝1－，令k′(x)>0，得x>2，
令k′(x)<0，得0所以k(x)在(0,2)上是减少的，在(2，＋∞)上是增加的．
要使函数k(x)在[1,3]上恰有两个不同的零点，
则需
所以2－2ln2