2020版高中数学北师大版选修1-1第四章导数应用2.1实际问题中导数的意义学案（含解析）

2．1　实际问题中导数的意义
学习目标　1.利用实际问题加强对导数概念的理解.2.能利用导数求解有关实际问题．
知识点　实际问题中导数的意义
思考　某人拉动一个物体前进，他所做的功W(单位：J)是时间t(单位：s)的函数，设这个函数可以表示为W＝W(t)＝t3－4t2＋10t.
(1)t从1s到4s时W关于t的平均变化率是多少？
(2)上述问题的实际意义是什么？
(3)W′(1)的实际意义是什么？
答案　(1)＝＝11 (J/s)．
(2)它表示从t＝1s到t＝4s这段时间内，这个人平均每秒做功11J.
(3)W′(t)＝3t2－8t＋10，
W′(1)＝5表示在t＝1s时每秒做功5J.
总结　(1)功与功率：在物理学中，通常称力在单位时间内做的功为功率，它的单位是瓦特．功率是功关于时间的导数．
(2)降雨强度：在气象学中，通常把单位时间(如1时，1天等)内的降雨量称作降雨强度，它是反映一次降雨大小的一个重要指标．降雨强度是降雨量关于时间的导数．
(3)边际成本：在经济学中，通常把生产成本y关于产量x的函数y＝f(x)的导函数称为边际成本．边际成本f′(x0)指的是当产量为x0时，生产成本的增加速度，也就是当产量为x0时，每增加一个单位的产量，需要增加f′(x0)个单位的成本．
(4)瞬时速度：物体在某一时刻的速度称为瞬时速度，它是位移s对时间t的导数；速度对时间的导数是加速度．
(5)线密度：单位长度的物体质量称为线密度，它是质量关于长度的导数．
1．导数解决的问题通常是变化率的问题．(　√　)
2．位移对时间的导数是速度，速度对时间的导数为加速度．(　√　)
3．导数的实际意义与变量表示的实际含义有关，同一个函数表达式，其导数的实际意义因变量实际含义的不同而不同．(　√　)
题型一　导数在物理学中的意义
例1　某质点的运动方程为s＝s(t)＝2t2＋3t，其中s是位移(单位：m)，t是时间(单位：s)．
(1)求当t从1s变到3s时，位移s关于时间t的平均变化率，并解释它的实际意义；
(2)求s′(1)，s′(2)，并解释它们的实际意义．
考点　实际问题中导数的意义
题点　导数在物理学中的意义
解　(1)当t从1s变到3s时，s关于t的平均变化率为＝＝＝11(m/s)．
它表示从t＝1s到t＝3s这段时间内，该质点平均每秒的位移是11m.
(2)由导数公式表和导数的运算法则可得s′(t)＝4t＋3，则s′(1)＝4＋3＝7(m/s)，s′(2)＝4×2＋3＝11(m/s)．
s′(1)表示的是该质点在t＝1s时的瞬时速度，也就是该质点在t＝1s这个时刻的瞬时速度为7m/s.
s′(2)表示的是该质点在t＝2s时的瞬时速度，也就是该质点在t＝2s这个时刻的瞬时速度为11m/s.
反思感悟　根据导数的实际意义，在物理学中，除了我们所熟悉的位移、速度与时间的关系、功与时间的关系，还应了解质量关于体积的导数为密度，电量关于时间的导数为电流强度等．因此，在解释某点处的导数的物理意义时，应结合这些导数的实际意义进行理解．
跟踪训练1　某河流在一段时间xmin内流过的水量为ym3，y是x的函数，且y＝f(x)＝.
(1)当x从1变到8时，y关于x的平均变化率是多少？
(2)求f′(27)，并解释它的实际意义．
考点　实际问题中导数的意义
题点　导数在物理学中的意义
解　(1)当x从1变到8时，y关于x的平均变化率为＝＝ (m3/min)．
(2)f′(x)＝，于是f′(27)＝×＝ (m3/min)，实际意义为当时间为27min时，水流量增加的速度为m3/min，也就是当时间为27min时，每增加1min，水流量增加m3.
题型二　导数在经济生活中的应用
例2　某机械厂生产某种机器配件的最大生产能力为每日100件，假设日产品的总成本C(元)与日产量x(件)的函数关系为C(x)＝x2＋60x＋2050.求当日产量由10件提高到20件时，总成本的平均改变量，并说明其实际意义．
考点　实际问题中导数的意义
题点　导数在经济生活中的应用
解　当x从10件提高到20件时，总成本C从C(10)＝2675元变到C(20)＝3350元．
此时总成本的平均改变量为
＝67.5(元/件)，
其表示日产量从10件提高到20件时平均每件产品的总成本的改变量．
引申探究
1．若本例条件不变，求当日产量为75件时的边际成本，并说明其实际意义．
解　因为C′(x)＝x＋60，
所以C′(75)＝×75＋60＝97.5(元/件)，
它指的是当日产量为75件时，每多生产一件产品，需增加成本97.5元．
2．若本例的条件“C(x)＝x2＋60x＋2050”变为“C(x)＝x2＋ax＋2050，当日产量为75件时的边际成本大于97.5”，求a的取值范围．
解　因为C′(x)＝x＋a，
所以日产量为75件时的边际成本大于97.5，
即C′(75)＝×75＋a>97.5，
解得a>60.
反思感悟　生产成本y关于产量x的函数y＝f(x)中，f′(x0)指的是当产量为x0时，生产成本的增加速度，也就是当产量为x0时，每增加一个单位的产量，需增加f′(x0)个单位的成本．
跟踪训练2　已知某商品的成本函数为C(Q)＝100＋(Q为产品的数量)．
(1)求当Q＝10时的总成本、平均成本及边际成本；
(2)当产量Q为多少时，平均成本最小？最小为多少？
考点　实际问题中导数的意义
题点　导数在经济生活中的应用
解　(1)当Q＝10时的总成本C(10)＝100＋＝125；
Q＝10时的平均成本＝＝12.5.
边际成本即成本函数C(Q)对产量Q的导数，
故边际成本C′(Q)＝Q，
Q＝10时的边际成本是C′(10)＝5.
(2)由(1)得，平均成本＝＝＋，
而＋≥2·＝10，
当且仅当＝，即Q＝20时，等号成立，
所以当产量Q为20时，平均成本最小，且平均成本的最小值是10.
题型三　导数在日常生活中的应用
例3　一名工人上班后开始连续工作，生产的产品质量y(单位：g)是工作时间x(单位：h)的函数，设这个函数为y＝f(x)＝＋4.
(1)求x从1h变到4h时，y关于时间x的平均变化率，并解释它的实际意义；
(2)求f′(1)，f′(4)，并解释它的意义．
考点　实际问题中导数的意义
题点　导数在日常生活中的应用
解　(1)当x从1h变到4h时，
产量y从f(1)＝g变到f(4)＝g，
此时平均变化率为＝＝ (g/h)，
它表示从1h到4h这段时间这个人平均每小时生产g产品．
(2)f′(x)＝＋，
于是f′(1)＝ (g/h)，f′(4)＝ (g/h)，
分别表示在第1小时和第4小时这个人每小时生产产品g和g.
反思感悟　在不同的实际问题中导数的意义是不相同的，要结合具体问题进行分析，在某一点处的导数的实际意义是当自变量在该点处的改变量趋近于零时，平均变化率所趋近的值，问题不同有不同的意义．
跟踪训练3　某年高考，某考生在参加数学考试时，其解答完的题目数量y(单位：道)与所用时间x(单位：分钟)近似地满足函数关系式y＝f(x)＝2.
(1)求x从0分钟变化到36分钟时，y关于x的平均变化率，并解释它的实际意义；
(2)求f′(64)，f′(100)，并解释它的实际意义．
考点　实际问题中导数的意义
题点　导数在日常生活中的应用
解　(1)x从0分钟变化到36分钟，y关于x的平均变化率为＝＝.
它表示该考生前36分钟平均每分钟解答道题．
(2)∵f′(x)＝，∴f′(64)＝，f′(100)＝.
它们分别表示该考生在第64分钟和第100分钟时每分钟可解答和道题.
1．某公司的盈利y(元)和时间x(天)的函数关系是y＝f(x)，假设f(x)＞0恒成立，且f′(10)＝10，f′(20)＝1，则这些数据说明第20天与第10天比较(　　)
A．公司已经亏损
B．公司的盈利在增加，且增加的幅度变大
C．公司在亏损且亏损幅度变小
D．公司的盈利在增加，但增加的幅度变小
考点　实际问题中导数的意义
题点　导数在经济中的应用
答案　D
解析　导数为正说明盈利是增加的，导数变小说明增加的幅度变小了，但还是增加的．
2．某人拉动一个物体前进，他所做的功W是时间t的函数，即W＝W(t)，则W′(t0)表示(　　)
A．t＝t0时做的功 B．t＝t0时的速度
C．t＝t0时的位移 D．t＝t0时的功率
考点　实际问题中导数的意义
题点　导数在物理学中的应用
答案　D
解析　W′(t0)表示t＝t0时的功率．
3．某收音机制造厂的管理者通过对上午上班工人工作效率的研究表明：一个中等技术水平的工人，从8：00开始工作，t小时后可装配晶体管收音机的台数为Q(t)＝－t3＋9t2＋12t，则Q′(2)＝________，它的实际意义是__________________________________．
考点　实际生活中导数的意义
题点　导数在日常生活中的应用
答案　36台/小时　10：00时，工人装配晶体管收音机的速度为36台/小时
解析　Q′(t)＝－3t2＋18t＋12，则Q′(2)＝36，
由题意知10：00时，工人装配晶体管收音机的速度为36台/小时．
4．某物体的运动速度与时间的关系为v(t)＝2t2－1，则t＝2时的加速度为________．
考点　实际生活中导数的意义
题点　导数在物理学中的意义
答案　8
解析　∵v′(t)＝4t，∴v′(2)＝8.
5．建造一幢长度为xm的桥梁需成本y万元，函数关系为y＝f(x)＝(x2＋x＋3)(x>0)．
(1)当x从100变到200时，平均每米的成本为____万元；
(2)f′(100)＝____________万元/m，
其实际意义为____________________________．
答案　(1)30.1　(2)20.1　当长度为100m时，每增加1m的长度，成本就增加20.1万元
解析　(1)f(100)＝1010.3，f(200)＝4020.3，
∴＝30.1(万元/m)，
即平均变化率为30.1万元/m.
(2)f′(x)＝(2x＋1)，∴f′(100)＝20.1(万元/m)，即当长度为100m时，每增加1m的长度，成本就增加20.1万元．
1．解决实际问题的一般思路：实际问题转化为数学问题，数学问题的结论回到实际问题的结论．
2．解决实际问题的一般步骤
(1)审题：阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，找出问题的主要关系．
(2)建模：将文字语言转化成数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型．
(3)解模：把数学问题化归为常规问题，选择合适的数学方法求解．
(4)对结果进行验证评估，定性、定量分析，作出正确的判断，确定其答案．
一、选择题
1．一次降雨过程中，降雨量y是时间t的函数，用y＝f(t)表示，则f′(10)表示(　　)
A．t＝10时的降雨强度
B．t＝10时的降雨量
C．t＝10时的时间
D．t＝10时的温度
考点　实际生活中导数的意义
题点　导数在日常生活中的应用
答案　A
解析　f′(t)表示t时刻的降雨强度．
2．圆的面积S是半径r的函数S(r)＝πr2，那么在r＝3时，面积的变化率是(　　)
A．6B．9C．9πD．6π
考点　实际生活中导数的意义
题点　导数在日常生活中的意义
答案　D
解析　面积S在r＝3时的变化率为S′(3)＝2π×3＝6π.
3．设一辆轿车在公路上做加速直线运动，假设速度v(单位：m/s)与时间t(单位：s)的函数关系为v＝v(t)＝t3＋3t，则t＝t0s时轿车的加速度为(　　)
A．t＋3t0 B．3t＋3
C．3t＋3t0 D．t＋3
考点　实际生活中导数的意义
题点　导数在物理学中的意义
答案　B
解析　v′(t)＝3t2＋3，则当t＝t0s时的速度变化率为v′(t0)＝3t＋3(m/s2)，则t＝t0s时轿车的加速度为(3t＋3) m/s2.
4．某汽车的紧急刹车装置在遇到特别情况时需在2s内完成刹车，其位移(单位：m)关于时间(单位：s)的函数为s(t)＝－t3－4t2＋20t＋15，则s′(1)的实际意义为(　　)
A．汽车刹车后1s内的位移
B．汽车刹车后1s内的平均速度
C．汽车刹车后1s时的瞬时速度
D．汽车刹车后1s时的位移
考点　实际生活中导数的意义
题点　导数在物理学中的意义
答案　C
5．从时刻t＝0开始的ts内，通过某导体的电量(单位：C)可由公式q＝2t2＋3t表示，则第5s时电流强度为(　　)
A．27C/s B．20 C/s
C．25C/s D．23 C/s
考点　实际生活中导数的意义
题点　导数在物理学中的意义
答案　D
解析　某导体的电量q在5s时的瞬时变化率就是第5s时的电流强度．
∵q′＝4t＋3，
∴当t＝5时，电流强度为4×5＋3＝23(C/s)．
6．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图像可能是(　　)
考点　实际生活中导数的意义
题点　导数在物理学中的意义
答案　A
解析　开始启动，从原点开始；加速行驶，则路程的增速较快；匀速行驶，路程的增速是常数；减速行驶，路程的增速减慢，所以只有选项A合适．
7．已知一根金属棒的质量y(单位：kg)是长度x(单位：m)的函数：y＝f(x)＝3，则从4m到9m这一段金属棒的平均线密度是(　　)
A.kg/m B.kg/m
C.kg/m D.kg/m
答案　B
解析　＝＝(kg/m)．
8．如图所示，设有定圆C和定点O，当l从l0开始在平面上绕O匀速旋转(旋转角度不超过90°)时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，则函数的图像大致是(　　)
考点　实际生活中导数的意义
题点　导数在日常生活中的应用
答案　D
解析　由于是匀速旋转，所以阴影部分的面积在开始和最后时段缓慢增加，而中间时段相对增速较快．选项A表示面积的增速是常数，与实际不符；选项B表示最后时段面积的增速较快，与实际不符；选项C表示开始和最后时段面积的增速比中间时段面积的增速快，与实际不符；选项D表示开始和最后时段面积的增速缓慢，中间时段增速较快，符合实际．
二、填空题
9．某物体的位移s是时间t的函数s＝2t3－at，物体在t＝1时的速度为8，则a的值为________．
考点　实际生活中导数的意义
题点　导数在物理学中的意义
答案　－2
解析　s′＝6t2－a，由题意知6×12－a＝8，∴a＝－2.
10．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为________万件．
考点　实际生活中导数的意义
题点　导数在经济生活中的应用
答案　9
解析　令y′＝－x2＋81＝0，得x＝9或－9(舍去)，
当x＝9时，ymax＝252.
11．一物体沿直线运动的方程为s(t)＝t4－t3＋2t2，那么速度为0的时刻为(s单位：m，t单位：s)________．
考点　实际生活中导数的意义
题点　导数在物理学中的意义
答案　0s,1s,4s
解析　s′(t)＝t3－5t2＋4t，根据导数的意义可知v＝s′(t)，令t3－5t2＋4t＝0，解得t＝0或t＝1或t＝4.
三、解答题
12．在F1赛车中，赛车位移s与比赛时间t存在函数关系s＝10t＋5t2(s的单位为m，t的单位为s)．
求：(1)当t＝20，Δt＝0.1时的Δs与；
(2)当t＝20时的瞬时速度．
考点　实际生活中导数的意义
题点　导数在物理学中的意义
解　(1)因为Δs＝s(20.1)－s(20)
＝(10×20.1＋5×20.12)－(10×20＋5×202)
＝21.05(m)，
所以＝＝210.5(m/s)．
(2)因为s′＝10＋10t，所以当t＝20时，
s′＝10＋10×20＝210(m/s)，
即t＝20时的瞬时速度为210m/s.
13．某食品厂生产某种食品的总成本C(单位：元)和总收入R(单位：元)都是日产量x(单位：kg)的函数，分别为C(x)＝100＋2x＋0.02x2，R(x)＝7x＋0.01x2，试求边际利润函数以及当日产量分别为200kg,250kg,300kg时的边际利润，并说明其经济意义．
考点　实际生活中导数的意义
题点　导数在经济生活中的应用
解　(1)根据定义知，总利润函数为
L(x)＝R(x)－C(x)＝5x－100－0.01x2，
所以边际利润函数为L′(x)＝5－0.02x.
(2)当日产量分别为200kg,250kg,300kg时，边际利润分别为L′(200)＝1，L′(250)＝0，L′(300)＝－1.
其经济意义是：当日产量为200kg时，每增加1kg，则总利润可增加1元；当日产量为250kg时，每增加1kg，则总利润无变化；当日产量为300kg时，每增加1kg，则总利润减少1元．由此可得：当企业的某一产品的生产量超过了边际利润的零点时，反而会使企业“无利可图”．
14．向高为8m，底面边长为8m的倒置四棱锥形的容器内注水，其速度为每分钟m3，则当水深为5m时，水面上升的速度为________m/min.
答案　
解析　设注水tmin时，水的深度为hm，则容器内水的体积为t＝h2·h，
则h＝2t，
所以h′(t)＝t－.
当h＝5时，t＝，
故v＝h′＝(m/min)．
15．日常生活中的饮用水通常是通过净化得到的，随着水纯净度的增加，所需净化费用不断增加，已知将1t水净化到纯净度为x%时所需费用(单位：元)为c(x)＝ (80解　c′(x)＝′＝，
∴c′(90)＝＝52.84，
c′(98)＝＝1321.
故纯净度为90%时，净化费用的瞬时变化率为52.84元/t；
纯净度为98%时，净化费用的瞬时变化率为1321元/t.