2020版高中数学北师大版选修1-1第四章导数应用章末复习学案（含解析）

第四章 导数应用章末复习
学习目标　1.掌握利用导数判断函数单调性的方法，会用导数求函数的极值和最值.2.会用导数解决一些简单的实际应用问题．
1．函数的单调性、极值与导数
(1)函数的单调性与导数
在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内是增加的；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内是减少的．
(2)函数的极值与导数
①极大值：在点x＝a附近，满足f(a)≥f(x)，当x0，当x>a时，f′(x)<0，则点a叫作函数的极大值点，f(a)叫作函数的极大值；
②极小值：在点x＝a附近，满足f(a)≤f(x)，当xa时，f′(x)>0，则点a叫作函数的极小值点，f(a)叫作函数的极小值．
2．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤
(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值．
(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
题型一　函数的单调性与导数
例1　已知函数f(x)＝(x2＋ax－2a2＋3a)ex(x∈R)，其中a∈R.
(1)当a＝0时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率；
(2)试求f(x)的单调区间．
考点　利用导数研究函数的单调性
题点　求含参数函数的单调区间
解　(1)当a＝0时，f(x)＝x2ex，f′(x)＝(x2＋2x)ex，故f′(1)＝3e.
即曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为3e，
(2)f′(x)＝[x2＋(a＋2)x－2a2＋4a]ex.
令f′(x)＝0，解得x＝－2a或x＝a－2，
①当－2a＝a－2，即a＝时，
f′(x)≥0，∴f(x)在R上是增加的；
②当－2a时，
则当x∈(－∞，－2a)或x∈(a－2，＋∞)时，
f′(x)>0，故f(x)在(－∞，－2a)，(a－2，＋∞)上为增函数，
当x∈(－2a，a－2)时，f′(x)<0，故f(x)在(－2a，a－2)上为减函数；
②当－2a>a－2，即a<时，
则当x∈(－∞，a－2)或x∈(－2a，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(－∞，a－2)，(－2a，＋∞)上为增函数．
当x∈(a－2，－2a)时，f′(x)<0，f(x)在(a－2，－2a)上为减函数．
综上所述，
当a<时，f(x)的增区间为(－∞，a－2)，(－2a，＋∞)，减区间为(a－2，－2a)；
当a＝时，f(x)的增区间为(－∞，＋∞)；
当a>时，f(x)的增区间为(－∞，－2a)，(a－2，＋∞)，
减区间为(－2a，a－2)．
反思感悟　(1)关注函数的定义域，单调区间应为定义域的子区间．
(2)已知函数在某个区间上的单调性时转化要等价．
(3)分类讨论求函数的单调区间实质是讨论不等式的解集．
(4)求参数的范围时常用到分离参数法．
跟踪训练1　已知函数f(x)＝x3－ax－1.
(1)若f(x)在R上是增加的，求a的取值范围；
(2)是否存在实数a，使f(x)在(－1,1)上是减少的，若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由．
考点　利用函数单调性求变量
题点　已知函数单调性求参数
解　(1)求导得f′(x)＝3x2－a，
因为f(x)在R上是增函数，
所以f′(x)≥0在R上恒成立．
即3x2－a≥0在R上恒成立．
即a≤3x2，而3x2≥0，所以a≤0.
当a＝0时，f(x)＝x3－1在R上是增加的，符合题意．
所以a的取值范围是(－∞，0]．
(2)假设存在实数a，使f(x)在(－1,1)上是减少的，
则f′(x)≤0在(－1,1)上恒成立．
即3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，即a≥3x2，
又因为在(－1,1)上，0≤3x2<3，所以a≥3.
当a＝3时，f′(x)＝3x2－3，在(－1,1)上，f′(x)<0，
所以f(x)在(－1,1)上是减少的，即a＝3符合题意．
所以存在实数a，使f(x)在(－1,1)上是减少的，且a的取值范围是[3，＋∞)．
题型二　函数的极值、最值与导数
例2　已知函数f(x)＝x2＋alnx.
(1)若a＝－1，求函数f(x)的极值，并指出是极大值还是极小值；
(2)若a＝1，求函数f(x)在[1，e]上的最大值和最小值；
(3)若a＝1，求证：在区间[1，＋∞)上，函数f(x)的图像在函数g(x)＝x3的图像的下方．
考点　导数的综合应用
题点　导数的综合应用
(1)解　由于函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
当a＝－1时，f′(x)＝x－＝，
令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－1(舍去)，
当x∈(0,1)时，f′(x)<0，函数f(x)是减少的，
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，函数f(x)是增加的，
所以f(x)在x＝1处取得极小值，且极小值为.
(2)解　当a＝1时，f(x)＝x2＋lnx，f′(x)＝x＋>0，
则函数f(x)在[1，e]上为增函数，
所以f(x)min＝f(1)＝，f(x)max＝f(e)＝e2＋1.
(3)证明　设F(x)＝f(x)－g(x)＝x2＋lnx－x3，则F′(x)＝x＋－2x2＝，
当x>1时，F′(x)<0，
故F(x)在区间[1，＋∞)上是减函数，又F(1)＝－<0，
所以在区间[1，＋∞)上，F(x)<0恒成立．
即f(x)因此，当a＝1时，在区间[1，＋∞)上，函数f(x)的图像在函数g(x)的图像的下方．
反思感悟　1.已知极值点求参数的值后，要代回验证参数值是否满足极值的定义．
2．讨论极值点的实质是讨论函数的单调性，即f′(x)的正负．
3．求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可．
跟踪训练2　已知函数f(x)＝ex＋ax－a(a∈R且a≠0)．
(1)若函数f(x)在x＝0处取得极值，求实数a的值，并求此时f(x)在[－2,1]上的最大值；
(2)若函数f(x)不存在零点，求实数a的取值范围．
考点　导数的综合应用
题点　导数的结合应用
解　(1)函数f(x)的定义域为R，f′(x)＝ex＋a，f′(0)＝e0＋a＝0，∴a＝－1.
∴f′(x)＝ex－1，
∵在(－∞，0)上，f′(x)<0，f(x)是减少的，在(0，＋∞)上，f′(x)>0，f(x)是增加的，
∴当x＝0时，f(x)取得极小值，∴a＝－1.
∴f(x)在[－2,0]上是减少的，在(0,1]上是增加的，
且f(－2)＝＋3，f(1)＝e，f(－2)>f(1)，
∴f(x)在[－2,1]的最大值为＋3.
(2)f′(x)＝ex＋a，由于ex>0.
①当a>0时，f′(x)>0，f(x)是增函数，
且当x>1时，f(x)＝ex＋a(x－1)>0.
当x<0时，取x＝－，
则f<1＋a＝－a<0，
∴函数f(x)存在零点，不满足题意．
②当a<0时，令f′(x)＝ex＋a＝0，则x＝ln(－a)．
在(－∞，ln(－a))上，f′(x)<0，f(x)是减少的，在(ln(－a)，＋∞)上，f′(x)>0，f(x)是增加的，
∴当x＝ln(－a)时，f(x)取最小值．
函数f(x)不存在零点，等价于f(ln(－a))＝eln(－a)＋aln(－a)－a＝－2a＋aln(－a)>0，
解得－e2综上所述，所求的实数a的取值范围是(－e2,0)．
题型三　生活中的优化问题
例3　某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元(π为圆周率)．
(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；
(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．
考点　
题点　
解　(1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh＝200πrh(元)，底面的总成本为160πr2元，
所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元．
又由题意知200πrh＋160πr2＝12000π，
所以h＝(300－4r2)，
从而V(r)＝πr2h＝(300r－4r3)．
因为r>0，又由h>0可得0故函数V(r)的定义域为(0,5)．
(2)因为V(r)＝(300r－4r3)，
所以V′(r)＝(300－12r2)．
令V′(r)＝0，
解得r1＝5，r2＝－5(因为r2＝－5不在定义域内，舍去)．
当r∈(0,5)时，V′(r)>0，
故V(r)在(0,5)上为增函数．
当r∈(5,5)时，V′(r)<0，
故V(r)在(5,5)上为减函数．
由此可知，V(r)在r＝5处取得最大值，此时h＝8.
即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大．
反思感悟　利用导数求实际问题的最大(小)值的一般方法
(1)分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大或最小值的变量y与自变量x，把实际问题转化为数学问题，即列出函数关系y＝f(x)，根据实际问题确定y＝f(x)的定义域．
(2)求方程f′(x)＝0的所有实数根．
(3)比较导函数在各个根和区间端点处的函数值的大小，根据实际问题的意义确定函数的最大值或最小值．
跟踪训练3　一家公司计划生产某种小型产品，该产品的月固定成本为1万元，每生产1万件需要再投入2万元，设该公司一个月内生产该小型产品x万件并全部销售完，每销售1万件该产品的收入为4－x万元，且每生产1万件国家给予补助万元(e为自然对数的底数)．
(1)写出月利润f(x)(万元)关于月产量x(万件)的函数解析式；
(2)当月生产量在[1,2e]万件时，求该公司在生产这种小型产品中所获得的月利润的最大值(万元)及此时的月生产量(万件)．(注：月利润＝月销售收入＋月国家补助－月总成本)
考点　
题点　
解　(1)∵月利润＝月销售收入＋月国家补助－月总成本，
∴f(x)＝x－1
＝－x2＋2(e＋1)x－2elnx－2(x>0)．
(2)f′(x)＝－2x＋2(e＋1)－
＝－(x>0)，
当x∈[1,2e]时，f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表所示：
x
[1，e)
e
(e,2e]
f′(x)
＋
0
－
f(x)
↗
极大值
↘
由上表得f(x)＝－x2＋2(e＋1)x－2elnx－2在[1,2e]上的最大值为f(e)，且f(e)＝e2－2.
即月生产量在[1,2e]万件时，该公司在生产这种小型产品中所获得的月利润最大值为e2－2(万元)，此时的月生产量为e万件．
导数中不等式证明问题
典例　已知函数f(x)＝x－ax2－lnx(a>0)．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)有两个极值点x1，x2，证明：f(x1)＋f(x2)>3－2ln2.
考点　
题点　
(1)解　∵f′(x)＝－(x>0，a>0)，
不妨设φ(x)＝2ax2－x＋1(x>0，a>0)，(*)
则关于x的方程2ax2－x＋1＝0的判别式Δ＝1－8a.
①当a≥时，Δ≤0，φ(x)≥0，
故f′(x)≤0，函数f(x)在(0，＋∞)上是减少的；
②当00，
方程f′(x)＝0有两个不相等的正根x1，x2，
不妨设x1则当x∈(0，x1)及x∈(x2，＋∞)时，f′(x)<0，
当x∈(x1，x2)时，f′(x)>0，
∴f(x)在(0，x1)，(x2，＋∞)上是减少的，在(x1，x2)上是增加的．
(2)证明　由(1)知当且仅当a∈时，
f(x)有极小值点x1和极大值点x2，
且x1，x2是方程(*)的两个正根，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
∴f(x1)＋f(x2)＝(x1＋x2)－a[(x1＋x2)2－2x1x2]－(lnx1＋lnx2)
＝ln(2a)＋＋1＝lna＋＋ln2＋1，
令g(a)＝lna＋＋ln2＋1，
当a∈时，g′(a)＝<0，
∴g(a)在内是减少的，
故g(a)>g＝3－2ln2，
∴f(x1)＋f(x2)>3－2ln2.
[素养评析]　(1)不等式证明中，常构造函数把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值解决．
(2)通过对条件和结论的分析，探索论证思路，选择合适的论证方法给予证明，这正是逻辑推理素养的充分体现.
1．已知f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)＋f(x)≤0，对任意的正数a，b，若aA．bf(b)≤af(a) B．bf(a)≤af(b)
C．af(a)≤bf(b) D．af(b)≤bf(a)
考点　利用导数研究函数的单调性
题点　比较函数值的大小
答案　A
解析　设g(x)＝xf(x)，x∈(0，＋∞)，
则g′(x)＝xf′(x)＋f(x)≤0，
∴g(x)在区间(0，＋∞)上是减少的或g(x)为常函数．
∵a2．用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2∶1，则该长方体的最大体积为(　　)
A．2m3 B．3m3
C．4m3 D．5m3
考点　几何类型的优化问题
题点　几何体体积的最值问题
答案　B
解析　设长方体的宽为xm，则长为2xm，高为h＝＝－3x(m)，
故长方体的体积为V(x)＝2x2
＝9x2－6x3，
从而V′(x)＝18x－18x2＝18x(1－x)，
令V′(x)＝0，解得x＝1或x＝0(舍去)．
当00；当1故在x＝1处V(x)取得极大值，并且这个极大值就是V(x)的最大值，
从而最大体积V＝V(1)＝9×12－6×13＝3(m3)．
3．对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x－1)f′(x)≥0，则必有(　　)
A．f(0)＋f(2)<2f(1)
B．f(0)＋f(2)>2f(1)
C．f(0)＋f(2)≤2f(1)
D．f(0)＋f(2)≥2f(1)
考点　利用导数研究函数的单调性
题点　比较函数值的大小
答案　D
解析　①若f′(x)不恒为0，则当x>1时，f′(x)≥0，当x<1时，f′(x)≤0，
所以f(x)在(1，＋∞)上是增加的，在(－∞，1)上是减少的．
所以f(2)>f(1)，f(1)2f(1)．
②若f′(x)＝0恒成立，则f(2)＝f(0)＝f(1)．
综合①②，知f(0)＋f(2)≥2f(1)．
4．若函数y＝－x3＋ax有三个单调区间，则a的取值范围是________．
考点　利用函数单调性求变量
题点　已知函数单调性求参数
答案　(0，＋∞)
解析　由题意知，y′＝－4x2＋a的图像与x轴有两个交点，
∴Δ＝16a>0，∴a>0.
5．已知函数f(x)＝＋－lnx－，其中a∈R，且曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝x.
(1)求a的值；
(2)求函数f(x)的单调区间与极值．
考点　函数的极值与导数的关系
题点　不含参数的函数求极值问题
解　(1)对f(x)求导得f′(x)＝－－，
由f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝x知，f′(1)＝－－a＝－2，解得a＝.
(2)由(1)知f(x)＝＋－lnx－(x>0)，
则f′(x)＝(x>0)．
令f′(x)＝0，解得x＝－1(舍)或x＝5.
当x∈(0,5)时，f′(x)<0，故f(x)在(0,5)内为减函数；
当x∈(5，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(5，＋∞)内为增函数．
所以函数f(x)在x＝5时取得极小值f(5)＝－ln5.
1．导数作为一种重要的工具，在研究函数中具有重要的作用，例如函数的单调性、极值与最值等问题，都可以通过导数得以解决．不但如此，利用导数研究得到函数的性质后，还可以进一步研究方程、不等式等诸多代数问题，所以一定要熟练掌握利用导数来研究函数的各种方法．
2．利用导数求解优化问题，注意自变量中的定义域，找出函数关系式，转化为求最值问题．