2020版高中数学北师大版选修1-1第一章常用逻辑用语1命题学案（含解析）

§1　命题
学习目标　1.了解命题的概念及命题的构成，会判断一个命题的真假.2.理解四种命题及其关系，掌握互为逆否命题的等价关系及真假判断．
知识点一　命题的定义、分类及命题的形式
1．定义
可以判断真假、用文字或符号表述的语句叫作命题．
2．分类
(1)真命题：判断为真的语句叫作真命题；
(2)假命题：判断为假的语句叫作假命题．
3．命题的形式：“若p，则q”，其中命题的条件是p，结论是q.
由p能推出q，则为真命题．能举一反例即可确定为假命题．
知识点二　四种命题
一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件与结论分别是另一个命题的结论和条件，那么把这两个命题叫作互为逆命题．
如果是另一个命题条件的否定和结论的否定，那么把这两个命题叫作互为否命题．
如果是另一个命题结论的否定和条件的否定，那么把这两个命题叫作互为逆否命题．
把第一个叫作原命题时，另三个可分别称为原命题的逆命题、否命题、逆否命题．
知识点三　四种命题的关系及其真假判断
1．四种命题的相互关系
2．在原命题的逆命题、否命题、逆否命题中，一定与原命题真假性相同的是逆否命题．
3．两个命题互为逆命题或互为否命题时，它们的真假性没有关系．
4．四种命题中，真命题都是成对出现，即真命题的个数为0或2或4.
1．有些命题的真假性不能确定．(　×　)
2．有的命题没有逆命题．(　×　)
3．原命题的否命题的逆命题就是原命题的逆否命题．(　√　)
题型一　命题的概念
例1　下列语句：
(1)是无限循环小数；
(2)x2－3x＋2＝0；
(3)当x＝4时，2x>0；
(4)垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？
(5)一个正整数不是合数就是素数；
(6)作△ABC≌△A′B′C′；
(7)二次函数的图像太美了！
(8)4是集合{1,2,3}中的元素．
其中是命题的是________．(填序号)
考点　命题的概念及分类
题点　命题概念的理解
答案　(1)(3)(5)(8)
解析　本题主要考查命题的判断，判断依据：看能否判断真假．(1)是命题，能判断真假；(2)不是命题，因为语句中含有变量x，在没给变量x赋值前，我们无法判断语句的真假；(3)是命题；(4)不是命题，因为并没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断；(5)是命题；(6)不是命题；(7)不是命题；(8)是命题．故答案为(1)(3)(5)(8)．
反思感悟　一般地，判断一个语句是不是命题，要看这个语句能不能判断真假．
跟踪训练1　判断下列语句是否为命题，若是，请判断真假并改写成“若p，则q”的形式．
(1)垂直于同一条直线的两条直线平行吗？
(2)三角形中，大角所对的边大于小角所对的边；
(3)当x＋y是有理数时，x，y都是有理数；
(4)1＋2＋3＋…＋2014；
(5)这盆花长得太好了！
考点　命题的概念及分类
题点　命题概念的理解
解　(1)(4)(5)未涉及真假，都不是命题．
(2)是真命题．此命题可写成“在三角形中，若一条边所对的角大于另一边所对的角，则这条边大于另一边．”
(3)是假命题．此命题可写成“若x＋y是有理数，则x，y都是有理数”．
题型二　四种命题及其相互关系
命题角度1　四种命题的概念
例2　写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假．
(1)若m·n<0，则方程mx2－x＋n＝0有实数根；
(2)弦的垂直平分线经过圆心，且平分弦所对的弧；
(3)若m≤0或n≤0，则m＋n≤0；
(4)在△ABC中，若a>b，则∠A>∠B.
考点　四种命题
题点　四种命题概念的理解
解　(1)逆命题：若方程mx2－x＋n＝0有实数根，则m·n<0，假命题．
否命题：若m·n≥0，则方程mx2－x＋n＝0没有实数根，假命题．
逆否命题：若方程mx2－x＋n＝0没有实数根，则m·n≥0，真命题．
(2)逆命题：若一条直线经过圆心，且平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线，真命题．
否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不过圆心或不平分弦所对的弧，真命题．
逆否命题：若一条直线不经过圆心或不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线，真命题．
(3)逆命题：若m＋n≤0，则m≤0或n≤0，真命题．
否命题：若m>0且n>0，则m＋n>0，真命题．
逆否命题：若m＋n>0，则m>0且n>0，假命题．
(4)逆命题：在△ABC中，若∠A>∠B，则a>b，真命题．
否命题：在△ABC中，若a≤b，则∠A≤∠B，真命题．
逆否命题：在△ABC中，若∠A≤∠B，则a≤b，真命题．
反思感悟　四种命题的转换方法
(1)交换原命题的条件和结论，所得命题是原命题的逆命题．
(2)同时否定原命题的条件和结论，所得命题是原命题的否命题．
(3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得命题是原命题的逆否命题．
跟踪训练2　分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．
(1)若ab＝0，则a＝0；
(2)已知a，b，c为实数，若a＝b，则ac＝bc.
考点　四种命题
题点　四种命题概念的理解
解　(1)逆命题：若a＝0，则ab＝0，真命题．
否命题：若ab≠0，则a≠0，真命题．
逆否命题：若a≠0，则ab≠0，假命题．
(2)逆命题：已知a，b，c为实数，若ac＝bc，则a＝b，假命题．
否命题：已知a，b，c为实数，若a≠b，则ac≠bc，假命题．
逆否命题：已知a，b，c为实数，若ac≠bc，则a≠b，真命题．
命题角度2　四种命题的相互关系
例3　若命题p：“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题为q，命题q的逆命题为r，则r与p的逆命题的关系是(　　)
A．互为逆命题
B．互为否命题
C．互为逆否命题
D．同一命题
考点　四种命题的相互关系
题点　四种命题相互关系的应用
答案　B
解析　已知命题p：若x＋y＝0，则x，y互为相反数．
命题p的否命题q：若x＋y≠0，则x，y不互为相反数，
命题q的逆命题r：若x，y不互为相反数，则x＋y≠0，
∴r是p的逆否命题，
∴r是p的逆命题的否命题，故选B.
反思感悟　1.判断四种命题之间四种关系的两种方法
(1)利用四种命题的定义判断．
(2)巧用“逆、否”两字进行判断，如“逆命题”与“逆否命题”中不同有“否”一个字，是互否关系；而“逆命题”与“否命题”中不同有“逆、否”二字，其关系为逆否关系．
2．要判断四种命题的真假：首先，要熟悉四种命题的相互关系，注意它们之间的相互性；其次，利用其他知识判断真假时，一定要对有关知识熟练掌握．
跟踪训练3　有下列四个命题：
①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题；
②一个实数不是正数就是负数；
③“若x≤－3，则x2－x－6>0”的否命题；
④“同位角相等”的逆命题．
其中真命题的个数是________．
考点　四种命题的真假判断
题点　四种命题的概念及真假判断的综合应用
答案　1
解析　①“若x＋y≠0，则x，y不互为相反数”，是真命题．
②实数0既不是正数，也不是负数，所以原命题是假命题．
③“若x>－3，则x2－x－6≤0”，
解不等式x2－x－6≤0可得－2≤x≤3，
而x＝4>－3不是不等式的解，
故是假命题．
④“相等的角是同位角”，是假命题．
题型三　等价命题的应用
例4　判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假．
考点　四种命题的相互关系
题点　逆否证法
解　方法一　原命题的逆否命题：已知a，x为实数，若a<1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为?，判断如下：
二次函数y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的开口向上，
令x2＋(2a＋1)x＋a2＋2＝0，
则Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7.
因为a<1，所以4a－7<0，
即关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为?.故此命题为真命题．
方法二　利用原命题的真假去判断逆否命题的真假．
因为关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，
所以(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，
即4a－7≥0，解得a≥>1，
所以原命题为真，故其逆否命题为真．
引申探究　
判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2>0的解集为R，则a<”的逆否命题的真假．
解　先判断原命题的真假如下：
因为a，x为实数，关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2>0的解集为R，且二次函数y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的开口向上，
所以Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7<0，
所以a<.
所以原命题是真命题．
因为互为逆否命题的两个命题同真同假，
所以原命题的逆否命题为真命题．
反思感悟　由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，即互为逆否命题的两个命题具有等价性，所以我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题来间接地证明原命题为真命题．
跟踪训练4　证明：若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1.
考点　四种命题的相互关系
题点　逆否证法
证明　“若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1”的逆否命题为“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”．
∵a＝2b＋1，
∴a2－4b2－2a＋1＝(2b＋1)2－4b2－2(2b＋1)＋1
＝4b2＋1＋4b－4b2－4b－2＋1
＝0.
∴命题“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”为真命题．
由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知，结论正确．
命题改写要关注大前提
典例　“已知c>0，当a>b时，ac>bc”．把该命题改写成“若p，则q”的形式．
解　该命题的“若p，则q”的形式为已知c>0，若a>b，则ac>bc.
[素养评析]　(1)将含有大前提的命题改写成“若p，则q”的形式时，要注意其书写格式为“大前提，若p，则q”．
(2)掌握命题的基本形式和规则是进行逻辑推理的前提和基础，有利于培养学生有条理，合乎逻辑的思维素养.
1．命题“若x>1，则x>－1”的否命题是(　　)
A．若x>1，则x≤－1
B．若x≤1，则x>－1
C．若x≤1，则x≤－1
D．若x<1，则x<－1
考点　四种命题概念的理解
题点　四种命题概念的理解
答案　C
解析　原命题的否命题是对条件“x>1”和结论“x>－1”同时否定，
即“若x≤1，则x≤－1”，故选C.
2．命题“垂直于同一条直线的两个平面平行”的条件是(　　)
A．两个平面
B．一条直线
C．垂直
D．两个平面垂直于同一条直线
考点　命题的概念及分类
题点　命题的结构
答案　D
解析　只要分清命题中的条件和结论即可．
3．命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是(　　)
A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数
B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数
C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数
D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数
考点　四种命题
题点　四种命题概念的理解
答案　B
解析　否命题是既否定条件又否定结论．
因此否命题应为“若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数”．
4．命题“若a>b，则ac2>bc2(a，b，c∈R)”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为(　　)
A．0 B．2
C．3 D．4
考点　四种命题的真假判断
题点　利用四种命题的关系判断真假
答案　B
解析　命题“若a>b，则ac2>bc2(a，b，c∈R)”是假命题，
则其逆否命题是假命题．
该命题的逆命题为“若ac2>bc2，则a>b(a，b，c∈R)”是真命题，则其否命题是真命题．故选B.
5．给出以下命题：
①“若x2＋y2≠0，则x，y不全为零”的否命题；
②“正多边形都相似”的逆命题；
③“若m>0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题．
其中为真命题的是________．(填序号)
考点　四种命题的真假判断
题点　利用四种命题的关系判断真假
答案　①③
解析　①否命题是“若x2＋y2＝0，则x，y全为零”，真命题．
②逆命题是“若两个多边形相似，则这两个多边形为正多边形”，假命题．
③∵Δ＝1＋4m，当m>0时，Δ>0，∴x2＋x－m＝0有实根，即原命题为真．∴逆否命题为真．
1．可以判断真假、用文字或符号表述的语句是命题，命题的条件与结论之间属于因果关系，真命题可以给出证明，假命题只需举出一个反例即可．
2．任何命题都是由条件和结论构成的，可以写成“若p，则q”的形式．含有大前提的命题写成“若p，则q”的形式时，大前提应保持不变．
3．写四种命题时，可以按下列步骤进行
(1)找出命题的条件p和结论q.
(2)写出条件p的否定和结论q的否定．
(3)按照四种命题的结构写出所有命题．
4．判断命题的真假可以根据互为逆否的命题真假性相同来判断，这也是反证法的理论基础.
一、选择题
1．下列说法正确的是(　　)
A．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”
B．语句“最高气温30℃时我就开空调”是命题
C．命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题
D．语句“当a>4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”是假命题
考点　命题的概念及分类
题点　命题真假性的判断
答案　D
解析　对于A，改写成“若p，则q”的形式应为“若有两个角是直角，则这两个角相等”；B所给语句不是命题；C的反例可以是“用边长为3的等边三角形与底边为3，腰为2的等腰三角形拼成的四边形不是菱形”来说明．故选D.
2．给出下列三个命题：(　　)
①“全等三角形的面积相等”的否命题；
②“若lgx2＝0，则x＝－1”的逆命题；
③“若x≠y或x≠－y，则|x|≠|y|”的逆否命题．
其中真命题的个数是(　　)
A．0B．1C．2D．3
考点　四种命题的真假判断
题点　利用四种命题的关系判断真假
答案　B
解析　①的否命题是“不全等的三角形面积不相等”，它是假命题；②的逆命题是“若x＝－1，则lgx2＝0”，它是真命题；③的逆否命题是“若|x|＝|y|，则x＝y且x＝－y”，它是假命题，故选B.
3．已知命题“若ab≤0，则a≤0或b≤0”，则下列结论正确的是(　　)
A．真命题，否命题：“若ab>0，则a>0或b>0”
B．真命题，否命题：“若ab>0，则a>0且b>0”
C．假命题，否命题：“若ab>0，则a>0或b>0”
D．假命题，否命题：“若ab>0，则a>0且b>0”
考点　四种命题
题点　四种命题概念的理解
答案　B
解析　“若a>0且b>0，则ab>0”是真命题，又“若a>0且b>0，则ab>0”是“若ab≤0，则a≤0或b≤0”的逆否命题，故原命题为真命题．已知命题的否命题是“若ab>0，则a>0且b>0”．
4．下列命题中为真命题的是(　　)
A．“若x>2016，则x>0”的逆命题
B．“若xy＝0，则x＝0或y＝0”的逆否命题
C．若x2＋x－2＝0，则x＝1
D．“若x2≥1，则x≥1”的逆否命题
考点　四种命题的真假判断
题点　利用四种命题的关系判断真假
答案　B
解析　A选项，“若x>2016，则x>0”的逆命题为“若x>0，则x>2016”是假命题；B选项，“若xy＝0，则x＝0或y＝0”的逆否命题为“若x≠0且y≠0，则xy≠0”是真命题；C选项，由x2＋x－2＝0，得x＝1或x＝－2，故C是假命题；D选项，“若x2≥1，则x≥1”是假命题，故其逆否命题是假命题．
5．已知a，b∈R，命题“若a＋b＝1，则a2＋b2≥”的否命题是(　　)
A．若a2＋b2<，则a＋b≠1
B．若a＋b＝1，则a2＋b2<
C．若a＋b≠1，则a2＋b2<
D．若a2＋b2≥，则a＋b＝1
考点　四种命题
题点　四种命题概念的理解
答案　C
解析　“a＋b＝1”，“a2＋b2≥”的否定分别是“a＋b≠1”，“a2＋b2<”，故否命题为“若a＋b≠1，则a2＋b2<”．
6．有下列四个命题：
①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；
②“若a2③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆否命题；
④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题．
其中真命题为(　　)
A．①② B．②③
C．①③ D．③④
考点　四种命题的真假判断
题点　利用四种命题的关系判断真假
答案　C
解析　命题①：“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”是真命题；命题②：“若a2≥b2，则a≥b”是假命题；命题③：“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”是真命题，则其逆否命题也为真命题；命题④是假命题．
7．已知命题“若a，b，c成等比数列，则b2＝ac”，在它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是(　　)
A．0B．1C．2D．3
考点　四种命题的真假判断
题点　利用四种命题的关系判断真假
答案　B
解析　命题“若a，b，c成等比数列，则b2＝ac”是真命题，故其逆否命题是真命题．
该命题的逆命题为“若b2＝ac，则a，b，c成等比数列”是假命题，故其否命题也是假命题，故选B.
8．原命题为“△ABC中，若cosA<0，则△ABC为钝角三角形”，关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是(　　)
A．真，真，真 B．假，假，真
C．真，真，假 D．真，假，假
考点　四种命题的真假判断
题点　利用四种命题的关系判断真假
答案　B
解析　若cosA<0，A为钝角，则△ABC为钝角三角形，所以原命题为真，则逆否命题也为真；△ABC为钝角三角形，可能是B或者C为钝角，A可能为锐角，cosA>0.所以逆命题为假，则否命题也为假．故选B.
9．已知命题p：若a<1，则a2<1，则下列说法正确的是(　　)
A．命题p是真命题
B．命题p的逆命题是真命题
C．命题p的否命题是“若a<1，则a2≥1”
D．命题p的逆否命题是“若a2≥1，则a<1”
考点　四种命题的真假判断
题点　利用四种命题的关系判断真假
答案　B
解析　若a＝－2，则(－2)2>1，∴命题p为假命题，
∴A不正确；
命题p的逆命题是“若a2<1，则a<1”，为真命题，
∴B正确；
命题p的否命题是“若a≥1，则a2≥1”，∴C不正确；
命题p的逆否命题是“若a2≥1，则a≥1”，∴D不正确．
故选B.
二、填空题
10．已知命题p的逆命题是“若实数a，b满足a＝1且b＝2，则a＋b<4”，则命题p的否命题是__________________________________．
考点　四种命题的相互关系
题点　四种命题相互关系的应用
答案　若实数a，b满足a＋b≥4，则a≠1或b≠2
解析　由命题p的逆命题与其否命题互为逆否命题可得．
11．在命题“若抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，则{x|ax2＋bx＋c<0}≠?”的逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的个数是________．
考点　四种命题的真假判断
题点　利用四种命题的关系判断真假
答案　1
解析　原命题是真命题，则其逆否命题是真命题，该命题的逆命题是假命题，则其否命题也是假命题，故答案为1.
12．给定下列命题：
①若k>0，则方程x2－2x－k＝0有实数根；
②若x＋y≠8，则x≠2或y≠6；
③“矩形的对角线相等”的逆命题；
④“若xy＝0，则x，y中至少有一个为零”的否命题．
其中真命题的序号是________．
考点　四种命题的真假判断
题点　四种命题的概念及真假判断的综合应用
答案　①②④
解析　①∵Δ＝4－4(－k)＝4＋4k>0，
∴①是真命题．
②其逆否命题为真，故②是真命题．
③逆命题：“对角线相等的四边形是矩形”是假命题．
④否命题：“若xy≠0，则x，y都不为零”是真命题．
三、解答题
13．判断命题：“若b≤－1，则关于x的方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题的真假．
考点　四种命题的相互关系
题点　逆否证法
解　方法一　因为原命题与逆否命题真假性一致，
所以只需判断原命题的真假即可．
方程判别式为Δ＝4b2－4(b2＋b)＝－4b，
因为b≤－1，所以Δ≥4>0，
故此方程有两个不相等的实根，即原命题为真，故它的逆否命题也为真．
方法二　(利用逆否命题)原命题的逆否命题为“若关于x的方程x2－2bx＋b2＋b＝0无实根，则b>－1”．
方程判别式为Δ＝4b2－4(b2＋b)＝－4b，
因为方程无实根，所以Δ<0，即－4b<0，所以b>0，
所以b>－1成立，即原命题的逆否命题为真．
14．命题“若a2＋2ab＋b2＋a＋b－2≠0，则a＋b≠1”的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，求真命题的个数．
考点　四种命题的真假判断
题点　利用四种命题的关系判断真假
解　a2＋2ab＋b2＋a＋b－2≠0化简得(a＋b－1)(a＋b＋2)≠0，即a＋b≠1且a＋b≠－2.
命题“若a2＋2ab＋b2＋a＋b－2≠0，则a＋b≠1”的逆命题为“若a＋b≠1，则a2＋2ab＋b2＋a＋b－2≠0”，为假命题，a＋b＝－2也可以使a2＋2ab＋b2＋a＋b－2＝0；否命题与逆命题同真同假，故其否命题为假命题；逆否命题为“若a＋b＝1，则a2＋2ab＋b2＋a＋b－2＝0”，为真命题．
15．设m，n∈R，证明：若m2＋n2＝2，则m＋n≤2.
考点　四种命题的相互关系
题点　逆否证法
证明　将“若m2＋n2＝2，则m＋n≤2”视为原命题，
则它的逆否命题为“若m＋n＞2，则m2＋n2≠2”．
因为m＋n＞2，所以m2＋n2≥(m＋n)2＞×22＝2.
所以m2＋n2≠2，所以原命题得证．