2020版高中数学北师大版选修1-1第一章常用逻辑用语2.1充分条件2.2必要条件学案（含解析）

2．1　充分条件 2．2　必要条件
学习目标　1.了解充分条件、必要条件的意义.2.掌握充分条件、必要条件的判断方法.3.通过对充分条件、必要条件的概念的理解和运用，培养分析、判断和归纳的逻辑思维能力．
知识点一　充分条件与必要条件的概念
一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可推出q，记作p?q，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件．
知识点二　充分条件与必要条件的判断
命题真假
“若p，则q”为真命题
“若p，则q”为假命题
推出关系
p?q
p?q
条件关系
p是q的充分条件
q是p的必要条件
p不是q的充分条件
q不是p的必要条件
1．命题“若p，则q”是假命题，p不是q的充分条件，q也不是p的必要条件．(　√　)
2．在判定定理中，条件是结论的充分条件．(　√　)
3．若p是q的充分条件，则p是唯一的．(　×　)
4．若q是p的必要条件，则p是q的充分条件．(　√　)
题型一　充分条件与必要条件的判断
例1　(1)判断下列说法中，p是q的充分条件的是_____________________．(填序号)
①p：“x＝1”，q：“x2－2x＋1＝0”；
②已知α，β是不同的两个平面，直线a?α，直线b?β，
p：a与b无公共点，q：α∥β；
③设a，b是实数，p：“a＋b>0”，q：“ab>0”．
考点　充分条件、必要条件的概念及判断
题点　充分条件的判断
答案　①
解析　对①，p?q；对②，p?q；对③，p?q，故填①.
(2)下列各题中，p是q的必要条件的是________．(填序号)
①p：x2>2016，q：x2>2015；
②p：ax2＋2ax＋1>0的解集是实数集R，q：0③已知a，b为正实数，p：a>b>1，q：log2a>log2b>0.
考点　充分条件、必要条件的概念及判断
题点　必要条件的判断
答案　②③
解析　①q?p；②p：0≤a<1，故q?p；
③log2a>log2b>0?a>b>1，
∴q?p，故填②③.
引申探究　
本例(1)中p是q的必要条件的是________．
答案　①②
解析　①x2－2x＋1＝0?x＝1，即q?p；
②?a与b无公共点，即q?p；
③q?p．故填①②.
反思感悟　充分条件、必要条件的两种常用的判断方法
(1)定义法
①确定谁是条件，谁是结论；
②尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为结论的充分条件，否则就不是充分条件；
③尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为结论的必要条件，否则就不是必要条件．
(2)命题判断法
①如果命题：“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；
②如果命题：“若p，则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件．
跟踪训练1　对任意实数a，b，c，在下列命题中，真命题是(　　)
A．“ac>bc”是“a>b”的必要条件
B．“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件
C．“ac>bc”是“a>b”的充分条件
D．“ac＝bc”是“a＝b”的充分条件
考点　充分条件、必要条件的概念及判断
题点　必要条件的判断
答案　B
解析　∵?a>b，
?a∴ac>bc?a>b，而由a>b?ac>bc，
∴“ac>bc”既不是“a>b”的充分条件，也不是“a>b”的必要条件，
故A，C错误．
又?a＝b，
?a＝b，
∴由ac＝bc?a＝b，
而由a＝b?ac＝bc，
∴“ac＝bc”是“a＝b”的必要不充分条件，故选B.
题型二　充分条件与必要条件的应用
例2　已知p：x2－x－6≤0，q：x2－4x＋4－9m2≤0，若q是p的充分条件，求正实数m的取值范围．
考点　充分条件、必要条件的概念及判断
题点　由充分条件、必要条件求参数的范围
解　解不等式得p：－2≤x≤3，
当m>0时，q：2－3m≤x≤2＋3m，
由q是p的充分条件可得q?p，
从而?0所以正实数m的取值范围为.
引申探究　
若将本例条件变为q是p的必要条件，求正实数m的取值范围．
解　由p：－2≤x≤3，q：2－3m≤x≤2＋3m(m>0)，
∵q是p的必要条件，∴p?q，
从而
解得m≥.
∴正实数m的取值范围为.
反思感悟　1.设集合A＝{x|x满足p}，B＝{x|x满足q}，则p?q可得A?B；q?p可得B?A；p?q可得A＝B，若p是q的充分不必要条件，则A?B.
2．利用充分条件、必要条件求参数的取值范围的关键就是找出集合间的包含关系，要注意范围的临界值．
跟踪训练2　已知p：关于x的不等式考点　充分条件、必要条件的概念及判断
题点　由充分条件、必要条件求参数的范围
解　记A＝，B＝{x|x(x－3)<0}＝{x|0若p是q的充分不必要条件，则A?B.
注意到B＝{x|0(1)若A＝?，即≥，解得m≤0，此时A?B，符合题意；
(2)若A≠?，即<，解得m>0，
要使A?B，应有解得0综上可得，实数m的取值范围是(－∞，3).
1．“x>0”是“x≠0”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分条件 D．既不充分又不必要条件
考点　充分条件、必要条件的综合应用
题点　充分不必要条件的判定
答案　A
解析　∵x>0?x≠0，而x≠0?x>0，
∴x>0是x≠0的充分不必要条件．
2．若a∈R，则“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的(　　)
A．充分条件
B．必要条件
C．既不充分又不必要条件
D．无法判断
考点　充分条件、必要条件的概念及判断
题点　充分条件的判断
答案　A
解析　∵a＝2?(a－1)(a－2)＝0，
∴a＝2是(a－1)(a－2)＝0的充分条件．
3．设x∈R，则x>2的一个必要条件是(　　)
A．x>1B．x<1C．x>3D．x<3
考点　充分条件、必要条件的概念及判断
题点　必要条件的判断
答案　A
解析　∵x>2?x>1，
∴x>1是x>2的必要条件．
4．“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根都大于3”是“，”的________条件．(填“充分”“必要”)
考点　充分条件、必要条件的概念及判断
题点　充分条件的判断
答案　充分
解析　若方程的两根都大于3，即x1>3，x2>3，
可得成立，故“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根都大于3”是“”的充分条件．
5．不等式(a＋x)(1＋x)<0成立的一个充分不必要条件是－2考点　充分条件、必要条件的概念及判断
题点　由充分条件、必要条件求参数的范围
答案　a>2
解析　根据充分条件、必要条件与集合间的包含关系，应有(－2，－1)?{x|(a＋x)(1＋x)<0}，故有a>2.
1．充分条件、必要条件的判断方法
(1)定义法：直接利用定义进行判断．
(2)等价法：“p?q”表示p等价于q，等价命题可以进行转换，当我们要证明p成立时，就可以去证明q成立．
(3)利用集合间的包含关系进行判断：如果条件p和结论q相应的集合分别为A和B，那么若A?B，则p是q的充分条件；若A?B，则p是q的必要条件；若A＝B，则p是q的既充分又必要条件．
2．根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时，主要根据充分条件、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解．
一、选择题
1．“x为无理数”是“x2为无理数”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分条件 D．既不充分又不必要条件
考点　充分条件、必要条件的综合应用
题点　必要不充分条件的判定
答案　B
解析　当x2为无理数时，x为无理数；当x为无理数时，x2不一定为无理数．
2．设a，b∈R，则“a＋b＞2”是“a＞1且b＞1”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分条件 D．既不充分又不必要条件
考点　充分条件、必要条件的综合应用
题点　必要不充分条件的判定
答案　B
解析　由a＋b>2?a>1且b>1，所以“a＋b>2”不是“a>1且b>1”的充分条件．
又“a>1且b>1”一定能推出“a＋b>2”，故“a＋b>2”是“a>1且b>1”的必要不充分条件．
3．已知命题“若p，则q”，假设其逆命题为真，则p是q的(　　)
A．充分条件
B．必要条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件
考点　充分条件、必要条件的概念及判断
题点　必要条件的判断
答案　B
解析　原命题的逆命题：“若q，则p”，它是真命题，即q?p，所以p是q的必要条件．
4．设φ∈R，则“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)为偶函数”的(　　)
A．充分条件 B．必要条件
C．以上都不对 D．不确定
考点　充分条件、必要条件的概念及判断
题点　充分条件的判断
答案　A
解析　当φ＝0时，f(x)＝cos(x＋φ)＝cosx(x∈R)是偶函数，而f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)是偶函数不一定得出φ＝0，故A正确．
5．a<0，b<0的一个必要条件为(　　)
A.>1 B.<－1
C．a＋b<0 D．a－b>0
考点　充分条件、必要条件的概念及判断
题点　必要条件的判断
答案　C
解析　a＋b<0?a<0，b<0，
而a<0，b<0?a＋b<0.
6．下列命题中q是p的必要条件的是(　　)
A．p：A∩B＝A，q：A?B
B．p：x2－2x－3＝0，q：x＝－1
C．p：|x|<1，q：x<0
D．p：x2>2，q：x>
考点　充分条件、必要条件的概念及判断
题点　必要条件的判断
答案　A
解析　由A∩B＝A能得出A?B，其余选项都不符合要求．
7．“x2＝4”是“x＝m”的必要条件，则m的一个值可以是(　　)
A．0 B．2
C．4 D．16
考点　充分条件、必要条件的概念及判断
题点　由充分条件、必要条件求参数的值
答案　B
解析　由x＝2能得出x2＝4，所以选项B正确．
8．集合A＝，B＝{x|－aA．[－2,0) B．(0,2]
C．(－2,2) D．[－2,2]
考点　充分条件、必要条件的概念及判断
题点　由充分条件、必要条件求参数的范围
答案　C
解析　A＝{x|(x＋1)(x－1)<0}＝{x|－1B＝{x|b－a因为a＝1，所以B＝{x|b－1若A∩B＝?，则b＋1≤－1或b－1≥1，
即b≤－2或b≥2，
所以A∩B≠?时，－2二、填空题
9．已知p：(x－m)2＞3(x－m)是q：x2＋3x－4＜0的必要不充分条件，则实数m的取值范围为________________．
答案　(－∞，－7]∪[1，＋∞)
解析　p对应的集合A＝{x|x＜m或x＞m＋3}，
q对应的集合B＝{x|－4＜x＜1}，
由p是q的必要不充分条件可知，B?A，
∴m≥1或m＋3≤－4，
即m≥1或m≤－7.
10．设A，B是非空集合，则“A∩B＝A”是“A＝B”的______条件．(填“充分”“必要”)
考点　充分条件、必要条件的概念及判断
题点　必要条件的判断
答案　必要
解析　由A＝B?A∩B＝A，A∩B＝A?A＝B，
可知“A∩B＝A”是“A＝B”的必要条件．
11．下列说法正确的是________．(填序号)
①“x>0”是“x>1”的必要条件；
②已知向量m，n，则“m∥n”是“m＝n”的充分条件；
③“a3>b3”是“a>b”的必要条件；
④在△ABC中，“a>b”不是“A>B”的充分条件．
考点　充分条件、必要条件的概念及判断
题点　必要条件的判断
答案　①③
解析　①中，当x>1时，有x>0，所以①正确；
②中，当m∥n时，m＝n不一定成立，所以②不正确；
③中，a>b能推出a3>b3，即a3>b3是a>b的必要条件，所以③正确；
④中，当a>b时，有A>B，所以“a>b”是“A>B”的充分条件，所以④不正确．
12．已知p：－4考点　充分条件、必要条件的概念及判断
题点　由充分条件、必要条件求参数的范围
答案　[－1,6]
解析　化简p：a－4解得－1≤a≤6.
三、解答题
13．已知p：x2－2x－3<0，若－ab恒成立的实数b的取值范围．
考点　充分条件、必要条件的概念及判断
题点　由充分条件、必要条件求参数的范围
解　由于p：x2－2x－3<0?－1－a0)．
依题意，得
{x|－10)，
所以解得a≥2，
则使a>b恒成立的实数b的取值范围是b<2，
即(－∞，2)．
14．若“a≥b?c>d”和“a考点　充分条件、必要条件的概念及判断
题点　充分条件的判断
答案　充分
解析　因为“a≥b?c>d”为真，
所以它的逆否命题“c≤d?a又“a所以“c≤d?a故“c≤d”是“e≤f”的充分条件．
15．已知命题p：对数loga(－2t2＋7t－5)(a>0，且a≠1)有意义，q：关于实数t的不等式t2－(a＋3)t＋(a＋2)<0.
(1)若命题p为真，求实数t的取值范围；
(2)若命题p是q的充分条件，求实数a的取值范围．
考点　充分条件、必要条件的概念及判断
题点　由充分条件、必要条件求参数范围
解　(1)因为命题p为真，则－2t2＋7t－5>0，
解得1所以实数t的取值范围是.
(2)因为命题p是q的充分条件，
所以是不等式t2－(a＋3)t＋(a＋2)<0的解集的子集，
因为方程t2－(a＋3)t＋(a＋2)＝0的两根为1和a＋2，
所以只需a＋2≥，解得a≥，
即实数a的取值范围为.