2020版高中数学北师大版选修1-1第一章常用逻辑用语2.3充要条件学案（含解析）

2．3　充要条件
学习目标　1.了解充要条件的意义.2.会判断、证明充要条件.3.通过学习，弄清对条件的判断应该归结为对命题真假的判断．
知识点一　充要条件的概念
一般地，如果既有p?q，又有q?p，就记作p?q.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件．
知识点二　充要条件的判断
1．由原命题与逆命题的真假情况判断充分条件、必要条件和充要条件
若原命题为“若p，则q”，则逆命题为“若q，则p”，那么p与q有以下四种情形：
原命题
逆命题
条件p与结论q的关系
结论
真
假
p?q，但q?p
p是q成立的充分不必要条件
假
真
q?p，但p?q
p是q成立的必要不充分条件
真
真
p?q，q?p，即p?q
p是q成立的充要条件
假
假
p?q，q?p
p是q成立的既不充分又不必要条件
由上表可得充要条件的判断方法：原命题和逆命题均为真命题，p才是q的充要条件．
2．从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件
若A?B，则p是q的充分条件，若A?B，则p是q的充分不必要条件
若B?A，则p是q的必要条件，若B?A，则p是q的必要不充分条件
若A＝B，则p，q互为充要条件
若A?B且B?A，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
其中p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}．
1．“两角不相等”是“两角不是对顶角”的必要不充分条件．(　×　)
2．若命题“若p，则q”及其否命题都是真命题，则p?q.(　√　)
3．若命题“若p，则q”及其逆命题都是假命题，则p?q，q?p．(　√　)
4．若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题．(　√　)
题型一　充要条件的判断
例1　下列各题中，p是q的什么条件？(指充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要条件)
(1)p：四边形的对角线互相平分，q：四边形是矩形；
(2)p：a2＋b2＝0，q：a＋b＝0；
(3)p：x＝1或x＝2，q：x－1＝；
(4)p：sinα>sinβ，q：α>β.
考点　充要条件的判断
题点　识别四种条件
解　(1)∵四边形的对角线互相平分?四边形是矩形，
四边形是矩形?四边形的对角线互相平分，
∴p是q的必要不充分条件．
(2)∵a2＋b2＝0?a＝b＝0?a＋b＝0，
a＋b＝0?a2＋b2＝0，
∴p是q的充分不必要条件．
(3)∵当x＝1或x＝2时，可得x－1＝成立，反过来，当x－1＝时，可以推出x＝1或x＝2，
∴p是q的充要条件．
(4)由sinα>sinβ不能推出α>β，反过来由α>β也不能推出sinα>sinβ，∴p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件．则p是q的既不充分又不必要条件．
反思感悟　充要条件的常用判断方法
(1)命题判断法
设“若p，则q”为原命题，那么：
①原命题为真，逆命题为假时，p是q的充分不必要条件；
②原命题为假，逆命题为真时，p是q的必要不充分条件；
③原命题与逆命题都为真时，p是q的充要条件；
④原命题与逆命题都为假时，p是q的既不充分又不必要条件．
(2)集合法
若p与q确定的集合分别是A，B，则当且仅当A＝B时，p是q的充要条件．
跟踪训练1　下列各题中，p是q的什么条件？
(1)p：a，b，c三数成等比数列，q：b＝；
(2)p：y＋x>4，q：x>1，y>3；
(3)p：a>b，q：2a>2b；
(4)p：△ABC是直角三角形，q：△ABC为等腰三角形．
解　(1)若a，b，c成等比数列，则b2＝ac，b＝±，则p?q；若b＝，当a＝0，b＝0时，a，b，c不成等比数列，即q?p，故p是q的既不充分又不必要条件．
(2)y＋x>4不能得出x>1，y>3，即p?q，而x>1，y>3可得x＋y>4，即q?p，故p是q的必要不充分条件．
(3)当a>b时，有2a>2b，即p?q，当2a>2b时，
可得a>b，即q?p，故p是q的充要条件．
(4)方法一　若△ABC是直角三角形不能得出△ABC为等腰三角形，即p?q；若△ABC为等腰三角形也不能得出△ABC为直角三角形，即q?p，故p是q的既不充分又不必要条件．
方法二　如图所示，p，q对应集合间无包含条件，故p是q的既不充分又不必要条件．
题型二　充要条件的探求与证明
命题角度1　探求充要条件
例2　求关于x的不等式ax2－ax＋1－a>0对一切实数x都成立的充要条件．
考点　充要条件的概念及判断
题点　探求充要条件
解　充分性：当0判别式Δ＝a2－4a(1－a)＝5a2－4a＝a(5a－4)<0，
则ax2－ax＋1－a>0对一切实数x都成立．
而当a＝0时，不等式ax2－ax＋1－a>0化为1>0.
显然当a＝0时，不等式ax2－ax＋1－a>0对一切实数x都成立．
必要性：因为ax2－ax＋1－a>0对一切实数x都成立，
所以a＝0或
解得0≤a<.
故0≤a<是不等式ax2－ax＋1－a>0对一切实数x都成立的充要条件．
反思感悟　探求一个命题的充要条件，可以利用定义法进行探求，即分别证明“条件?结论”和“结论?条件”，也可以寻求结论的等价命题，还可以先寻求结论成立的必要条件，再证明它也是其充分条件．
跟踪训练2　“函数y＝x2－2x－a没有零点”的充要条件是________．
考点　充要条件的概念及判断
题点　探求充要条件
答案　a<－1
解析　函数没有零点，即方程x2－2x－a＝0无实根，所以有Δ＝4＋4a<0，解得a<－1.反之，若a<－1，则Δ<0，方程x2－2x－a＝0无实根，即函数没有零点．
故“函数y＝x2－2x－a没有零点”的充要条件是a<－1.
命题角度2　充要条件的证明
例3　求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
考点　充要条件的概念及判断
题点　充要条件的证明
证明　充分性：∵ac<0，∴一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac>0，
∴方程一定有两个不等实根，
设两实根为x1，x2，则x1x2＝<0，
∴方程的两根异号，
即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．
必要性：∵方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，
设两实根为x1，x2，则由根与系数的关系得x1x2＝<0，且Δ＝b2－4ac>0，即ac<0.
综上可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
反思感悟　一般地，证明“p成立的充要条件为q”，在证充分性时，应以q为“已知条件”，p是要证明的“结论”，即q?p；证明必要性时，则是以p为“已知条件”，q是要证明的“结论”，即p?q.
跟踪训练3　求证：一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)是奇函数的充要条件是b＝0.
考点　充要条件的概念及判断
题点　充要条件的证明
证明　①充分性：如果b＝0，那么f(x)＝kx，
因为f(－x)＝k(－x)＝－kx，
所以f(－x)＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数．
②必要性：因为f(x)＝kx＋b(k≠0)是奇函数，
所以f(－x)＝－f(x)对任意x均成立，
即k(－x)＋b＝－(kx＋b)，
所以b＝0.
综上，一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)是奇函数的充要条件是b＝0.
题型三　充分条件与必要条件的应用
例4　已知p：3x＋m<0，q：x2－2x－3>0，若p是q的一个充分不必要条件，求m的取值范围．
考点　充分、必要条件和充要条件的综合应用
题点　由充分不必要、必要不充分与充要条件求参数范围
解　由3x＋m<0得，x<－.∴p：A＝.
由x2－2x－3>0得，x<－1或x>3.
∴q：B＝{x|x<－1或x>3}．
∵p?q而q?p，∴A是B的真子集，∴－≤－1，
∴m≥3，即m的取值范围是[3，＋∞)．
反思感悟　首先应把p与q之间的关系转化为p，q确定的集合之间的包含关系，然后构建满足条件的不等式(组)求解．同时要注意命题的等价性的应用．
跟踪训练4　已知p：x≥k，q：<1，如果p是q的充分不必要条件，则k的取值范围是(　　)
A．[2，＋∞) B．(2，＋∞)
C．[1，＋∞) D．(－∞，－1]
考点　充分、必要条件和充要条件的综合应用
题点　由充分不必要、必要不充分与充要条件求参数范围
答案　B
解析　q：x<－1或x>2，由题意知，{x|x≥k}?{x|x<－1或x>2}，则k>2，∴k的取值范围是(2，＋∞).
1．“－21或x<－1”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．既不充分又不必要条件
D．充要条件
考点　充分、必要条件和充要条件的综合应用
题点　识别四种条件
答案　C
解析　∵－21或x<－1，且x>1或x<－1?－21或x<－1”的既不充分又不必要条件．
2．“a>b”是“a>|b|”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
考点　充分、必要条件和充要条件的综合应用
题点　识别四种条件
答案　B
解析　由a>|b|?a>b，而a>b?a>|b|.
3．已知向量a＝(m2,4)，b＝(1,1)，则“m＝－2”是“a∥b”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
考点　充分、必要条件和充要条件的综合应用
题点　识别四种条件
答案　A
解析　当m＝－2时，a＝(4,4)，b＝(1,1)，∴a∥b，
当a∥b时，m2＝4，即m＝±2，故选A.
4．直线x＋y＋m＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝2相切的充要条件是________________．
考点　充要条件的概念及判断
题点　探求充要条件
答案　m＝－4或m＝0
解析　圆心(1,1)到直线x＋y＋m＝0的距离为，
即＝，
解得m＝－4或m＝0.
5．设n∈N＋，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________.
答案　3或4
解析　由Δ＝16－4n≥0，得n≤4，
又n∈N＋，则n＝1,2,3,4.
当n＝1,2时，方程没有整数根；
当n＝3时，方程有整数根1,3，
当n＝4时，方程有整数根2.综上可知，n＝3或4.
1．充要条件的判断有三种方法：定义法、命题等价法、集合法．
2．充要条件的证明与探求
(1)充要条件的证明要分充分性和必要性两方面来证明，在证明时要注意两种叙述方式的区别：
①p是q的充要条件，则由p?q证的是充分性，由q?p证的是必要性；
②p的充要条件是q，则由p?q证的是必要性，由q?p证的是充分性．
(2)探求充要条件，可先求出必要条件，再证充分性；如果能保证每一步的变形转化过程都可逆，也可以直接求出充要条件．
一、选择题
1．“x，y均为奇数”是“x＋y为偶数”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
考点　充分、必要条件和充要条件的综合应用
题点　识别四种条件
答案　A
解析　当x，y均为奇数时，一定可以得到x＋y为偶数；但当x＋y为偶数时，不一定必有x，y均为奇数，也可能x，y均为偶数．
2．设p：x<3，q：－1A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件
考点　充分、必要条件和充要条件的综合应用
题点　识别四种条件
答案　C
解析　∵x<3?－1∴p是q的必要不充分条件，故选C.
3．设数列{an}是公比为q的等比数列，则“q>1”是“数列{an}为递增数列”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
考点　充要条件的概念及判断
题点　充要条件的判断
答案　D
解析　当数列{an}的首项a1<0时，若q>1，则数列{an}是递减数列；当数列{an}的首项a1<0时，要使数列{an}为递增数列，则01”是“数列{an}为递增数列”的既不充分又不必要条件．故选D.
4．设a，b是实数，则“a>b”是“a2>b2”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
考点　充分、必要条件和充要条件的综合应用
题点　识别四种条件
答案　D
解析　a>b?a2>b2，
a2>b2?a>b，
∴a>b是a2>b2的既不充分又不必要条件．
5．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图像关于直线x＝1对称的充要条件是(　　)
A．m＝－2B．m＝2C．m＝－1D．m＝1
考点　充要条件的概念及判断
题点　探求充要条件
答案　A
解析　∵f(x)＝x2＋mx＋1＝2＋1－，
∴f(x)的图像的对称轴为x＝－，由题意得－＝1，
∴m＝－2.
6．已知p是r的充分不必要条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，那么p是q的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
考点　充分、必要条件和充要条件的综合应用
题点　识别四种条件
答案　A
解析　p?r?s?q，故q?p，否则r?p，故选A.
7．“不等式x2－x＋m>0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是(　　)
A．m> B．0C．m>0 D．m>1
考点　充分、必要条件和充要条件的综合应用
题点　由充分不必要、必要不充分与充要条件求参数
答案　C
解析　不等式x2－x＋m>0在R上恒成立，
则1－4m<0，∴m>，
结合各选项，可知“不等式x2－x＋m>0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是m>0.
8．在下列三个结论中，正确的有(　　)
①x2>4是x3<－8的必要不充分条件；
②在△ABC中，AB2＋AC2＝BC2是△ABC为直角三角形的充要条件；
③若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为0”的充要条件．
A．①② B．②③
C．①③ D．①②③
考点　充分条件、必要条件和充要条件的综合应用
题点　识别四种条件
答案　C
解析　①中，x2>4?x>2或x<－2，
x3<－8?x<－2，
由x<－2?x>2或x<－2，
x>2或x<－2?x<－2，
∴x2>4是x3<－8的必要不充分条件；
②中，AB2＋AC2＝BC2是△ABC为直角三角形的充分不必要条件；③正确．故①③正确．
9．设条件p：|x－2|<3，条件q：0A．(0,5] B．(0,5)
C．[5，＋∞) D．(5，＋∞)
考点　充分条件、必要条件和充要条件的综合应用
题点　利用充分不必要、必要不充分与充要条件求参数范围
答案　A
解析　由|x－2|<3，得－3即－1因为q：0所以要使p是q的必要不充分条件，则0二、填空题
10．关于x的不等式|2x－3|＞a的解集为R的充要条件是________．
答案　a＜0
解析　由题意知|2x－3|＞a恒成立，
∵|2x－3|≥0，∴a＜0.
11．给出下列三个命题：
①“a>b”是“3a>3b”的充分不必要条件；
②“α>β”是“cosα③“a＝0”是“函数f(x)＝ax3＋2x2＋3(x∈R)为偶函数”的充要条件．
其中正确命题的序号为________．
考点　充分、必要条件和充要条件的综合应用
题点　识别四种条件
答案　③
解析　①∵函数y＝3x是R上的增函数，∴“a>b”是“3a>3b”的充要条件，故①错误；②∵2π>，则cos2π>cos，∴α>β?cosα∵cosπβ
∴“α>β”是“cosα12．关于x的方程m2x2－(m＋1)x＋2＝0的实数根的总和为2的充要条件是________．
考点　充要条件的概念及判断
题点　探求充要条件
答案　m＝0
解析　当m＝0时，原方程即为x＝2，满足条件；
当m≠0时，有＝2，解得m＝1或m＝－，
又Δ＝(m＋1)2－8m2，
当m＝1及m＝－时，均使Δ<0，
故充要条件是m＝0.
三、解答题
13．已知集合M＝{x|x<－3或x>5}，P＝{x|(x－a)·(x－8)≤0}．
(1)求实数a的取值范围，使它成为M∩P＝{x|5(2)求实数a的一个值，使它成为M∩P＝{x|5(3)求实数a的取值范围，使它成为M∩P＝{x|5考点　充分、必要条件和充要条件的综合应用
题点　由充分不必要、必要不充分与充要条件求参数
解　由M∩P＝{x|5(1)M∩P＝{x|5(2)M∩P＝{x|5(3)若a＝－5，显然M∩P＝[－5，－3)∪(5,8]是M∩P＝{x|5故a<－3为必要不充分条件．
14．已知p：≤0，q：4x＋2x－m≤0，p是q的充分条件，则实数m的取值范围是(　　)
A．[6，＋∞) B．(－∞，2＋ ]
C．[2，＋∞) D．(2＋，＋∞)
考点　充分条件、必要条件的概念及判断
题点　由充分条件、必要条件求参数的范围
答案　A
解析　由≤0，得0由4x＋2x－m≤0，得4x＋2x≤m.
因为4x＋2x＝(2x)2＋2x＝2－，
要使p是q的充分条件，
则当0又当x＝1时，4x＋2x有最大值6，所以m≥6.故选A.
15．已知数列{an}的前n项和Sn＝pn＋q(p≠0且p≠1)，求证：数列{an}为等比数列的充要条件为q＝－1.
考点　充要条件的概念及判断
题点　充要条件的判断
证明　充分性：当q＝－1时，a1＝S1＝p－1，当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)，当n＝1也成立．
∵p≠0且p≠1，∴＝＝p，即数列{an}为等比数列．
必要性：当n＝1时，a1＝S1＝p＋q；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)，∵p≠0且p≠1，∴当n≥2时，＝＝p.∵{an}为等比数列，∴＝p，即a2＝p2＋pq＝p2－p，解得q＝－1.故数列{an}为等比数列的充要条件为q＝－1.