2020版高中数学北师大版选修1-1第一章常用逻辑用语3.1全称量词与全称命题3.2存在量词与特称命题学案（含解析）

3．1　全称量词与全称命题 3．2　存在量词与特称命题
学习目标　1.了解全称量词与存在量词的含义.2.理解并掌握全称命题和特称命题的概念.
3.能判断全称命题和特称命题的真假并掌握其判断方法．
知识点一　全称量词与全称命题
全称量词
“所有”、“每一个”、“任何”、“任意”、“一切”、“任给”、“全部”
全称命题p
含有全称量词的命题
形式
“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为任意x∈M，p(x)
判断全称命题真假性的方法：对于全称命题“任意x∈M，p(x)”，要判断它为真，需要对集合M中的每个元素x，证明p(x)成立；要判断它为假，只需在M中找到一个x，使p(x)不成立，即“存在x∈M，p(x)不成立”．
知识点二　存在量词与特称命题
存在量词
“有些”、“有一个”、“存在”、“某个”、“有的”
特称命题
含有存在量词的命题
形式
“存在M中的一个x，使p(x)成立”可用符号简记为存在x∈M，p(x)
判断特称命题真假性的方法：要判断一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中，至少能找到一个x，使p(x)成立即可，否则，这一特称命题是假命题．
思考　下列语句是命题吗？如果是命题，是不是特称命题？
(1)x能被2和5整除；
(2)至少有一个x0∈Z，x0能被2和5整除．
答案　(1)不是命题；
(2)是命题．是特称命题，因为有存在量词“至少有一个”．
1．“有些”“某个”“有的”等短语不是存在量词．(　×　)
2．全称量词的含义是“任意性”，存在量词的含义是“存在性”．(　√　)
3．全称命题中一定含有全称量词，特称命题中一定含有存在量词．(　×　)
题型一　全称命题与特称命题的辨析
例1　判断下列语句是全称命题，还是特称命题．
(1)凸多边形的外角和等于360°；
(2)有的向量方向不定；
(3)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1；
(4)矩形的对角线不相等；
(5)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直．
考点　全称命题与特称命题的识别
题点　全称命题与特称命题的识别
解　(1)可以改为所有的凸多边形的外角和等于360°，故为全称命题．
(2)含有存在量词“有的”，故是特称命题．
(3)含有全称量词“任意”，故是全称命题．
(4)可以改为所有矩形的对角线不相等，故为全称命题．
(5)若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称命题．
反思感悟　判定命题是全称命题还是特称命题，主要方法是看命题中含有全称量词还是存在量词．要注意的是有些全称命题并不含有全称量词，这时我们就要根据命题涉及的意义去判断．
跟踪训练1　判断下列命题哪些是全称命题，哪些是特称命题．
(1)对任意x∈R，x2>0；
(2)有些无理数的平方也是无理数；
(3)正四面体的各面都是正三角形；
(4)存在x＝1，使方程x2＋x－2＝0；
(5)对任意x∈{x|x>－1},3x＋4>0成立；
(6)存在a＝1且b＝2，使a＋b＝3成立．
考点　全称命题与特称命题的识别
题点　全称命题与特称命题的识别
解　(1)(5)含全称量词“任意”，(3)虽不含有量词，但其本义是所有正四面体的各面都是正三角形．故(1)(3)(5)为全称命题；
(2)(4)(6)为特称命题，分别含有存在量词“有些”、“存在”、“存在”．
题型二　全称命题与特称命题的真假判断
例2　判断下列命题的真假．
(1)存在α，β，cos(α－β)＝cosα－cosβ；
(2)存在一个函数既是偶函数又是奇函数；
(3)每一条线段的长度都能用正有理数表示；
(4)存在一个实数x，使等式x2＋x＋8＝0成立．
考点　全称命题与特称命题的真假判断
题点　全称命题与特称命题的真假判断
解　(1)真命题，例如α＝，β＝，符合题意．
(2)真命题，函数f(x)＝0既是偶函数又是奇函数．
(3)假命题，如：边长为1的正方形的对角线长为，它的长度就不是有理数．
(4)假命题，因为该方程的判别式Δ＝－31<0，故无实数解．
反思感悟　1.判断全称命题真假的方法
(1)要判断一个全称命题为真，必须对在给定集合的每一个元素x，均使命题p(x)为真．
(2)要判断一个全称命题为假，即否定一个全称命题可以通过“举反例”来说明，在给定的集合中找到一个元素x，使命题p(x)为假．
2．判断特称命题真假的方法
(1)要判断一个特称命题为真，只要在给定的集合中找到一个元素x，使命题q(x)为真．
(2)要判断一个特称命题为假，必须对在给定集合的每一个元素x，均使命题q(x)为假．
所以说，全称命题与特称命题之间有可能转化，它们之间并不是对立的关系．
跟踪训练2　判断下列命题是全称命题，还是特称命题，并判断其真假．
(1)每一个平行四边形的对角线都互相平分；
(2)存在一个x∈R，使＝0；
(3)存在一组m，n的值，使m－n＝1；
(4)至少有一个集合A，满足A?{1,2,3}．
考点　全称命题与特称命题的真假判断
题点　全称命题与特称命题的真假判断
解　(1)是全称命题．由平行四边形的性质可知此命题是真命题．
(2)是特称命题．不存在x∈R，使＝0成立，所以该命题是假命题．
(3)是特称命题．当m＝4，n＝3时，m－n＝1成立，所以该命题是真命题．
(4)是特称命题．存在A＝{3}，使A?{1,2,3}成立，所以该命题是真命题．
题型三　由含量词的命题求参数
例3　(1)已知关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，求实数a的取值范围；
(2)令p(x)：ax2＋2x＋1>0，若对任意x∈R，p(x)是真命题，求实数a的取值范围．
考点　全称命题与特称命题的应用
题点　存在性问题与恒成立问题求参数的范围
解　(1)关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，
∴Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，即4a－7≥0，
解得a≥，∴实数a的取值范围为.
(2)∵对任意x∈R，p(x)是真命题．
∴对任意x∈R，ax2＋2x＋1>0恒成立，
当a＝0时，不等式为2x＋1>0不恒成立，
当a≠0时，若不等式恒成立，
则∴a>1.
即a的取值范围是(1，＋∞)．
反思感悟　有解和恒成立问题是特称命题和全称命题的应用，注意二者的区别．
跟踪训练3　(1)对于任意实数x，不等式sinx＋cosx>m恒成立，求实数m的取值范围；
(2)存在实数x，不等式sinx＋cosx>m有解，求实数m的取值范围．
考点　全称命题与特称命题的应用
题点　存在性问题与恒成立问题求参数的范围
解　(1)令y＝sinx＋cosx，x∈R，
∵y＝sinx＋cosx＝sin≥－，
又∵任意x∈R，sinx＋cosx>m恒成立，
∴只要m<－即可．
∴所求m的取值范围是(－∞，－)．
(2)令y＝sinx＋cosx，x∈R，
∵y＝sinx＋cosx＝sin∈，
又存在x∈R，sinx＋cosx>m有解，
∴只要m<即可，
∴所求m的取值范围是(－∞，)．
全称命题与特称命题的应用
典例　f(x)＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a>0)，任意x1∈[－1，2]，存在x0∈[－1,2]，使f(x1)＝g(x0)，则a的取值范围是(　　)
A. B.
C．[3，＋∞) D．(0,3)
考点　简单逻辑联结词的综合应用
题点　由含量词的命题的真假求参数的范围
答案　C
解析　由于函数f(x)在定义域[－1,2]内是任意取值的，且必存在x0∈[－1,2]，使得f(x1)＝g(x0)，
因此问题等价于函数f(x)的值域是函数g(x)值域的子集．
函数f(x)的值域是[－1,3]，函数g(x)的值域是[2－a，2＋2a]，
则有即a≥3.
[素养评析]　(1)本例通过对抽象的数学符号任意与存在的理解，可转化为两函数值域之间的关系.?
(2)将抽象的数学符号语言具体化，是解决数学问题的基本思路，有利于提升学生的数学抽象素养.
1．下列命题中特称命题的个数是(　　)
①有些自然数是偶数；②正方形是菱形；③能被6整除的数也能被3整除；④对于任意x∈R，总有|sinx|≤1.
A．0B．1C．2D．3
考点　识别特称命题
题点　识别特称命题
答案　B
解析　命题①含有存在量词；命题②可以叙述为“所有的正方形都是菱形”，是全称命题；命题③可以叙述为“一切能被6整除的数也都能被3整除”，是全称命题；而命题④是全称命题．故有一个特称命题．
2．给出下列命题：
①存在实数x>1，使x2>1；②全等的三角形必相似；③有些相似三角形全等；④至少有一个实数a，使ax2－ax＋1＝0的根为负数．
其中特称命题的个数为(　　)
A．1B．2C．3D．4
考点　全称命题与特称命题的真假判断
题点　全称命题与特称命题的真假判断
答案　C
解析　由存在量词及特称命题的定义知①③④为特称命题．
3．下列含有量词的命题为真命题的是(　　)
A．所有四边形都有外接圆
B．有的等比数列的项为零
C．存在实数没有偶次方根
D．任何实数的平方都大于零
考点　全称命题与特称
题点　命题的真假判断
答案　C
解析　C选项中存在负数没有偶次方根正确．
4．对任意的x∈，tanx≤m是真命题，求实数m的最小值．
考点　全称量词与全称命题的真假判断
题点　恒成立问题求参数的范围
解　对任意的x∈，(tanx)max＝1，
∴m≥1，则m的最小值为1.
5．命题3mx2＋mx＋1>0恒成立是真命题，求实数m的取值范围．
考点　全称量词及全称命题的真假判断
题点　恒成立求参数的范围
解　“3mx2＋mx＋1>0恒成立”是真命题，需对m进行分类讨论．
当m＝0时，1>0恒成立，所以m＝0满足题意；
当m>0，且Δ＝m2－12m<0，
即00恒成立，
所以0当m<0时，明显不符合．
综上所述，实数m的取值范围是0≤m<12.
1．判断命题是全称命题还是特称命题，主要是看命题中是否含有全称量词和存在量词，有些全称命题虽然不含全称量词，可以根据命题涉及的意义去判断．
2．要确定一个全称命题是真命题，需保证该命题对所有的元素都成立；若能举出一个反例说明命题不成立，则该全称命题是假命题．
3．要确定一个特称命题是真命题，举出一个例子说明该命题成立即可；若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都不成立，则该特称命题是假命题.
一、选择题
1．下列命题中，是正确的全称命题的是(　　)
A．对任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2<0
B．菱形的两条对角线相等
C．存在x，＝x
D．对数函数在定义域上是单调函数
考点　全称量词及全称命题的真假判断
题点　识别全称命题
答案　D
解析　y＝logax(a>0且a≠1)，当a>1时，y＝logax在(0，＋∞)上是增加的，当02．下列命题为真命题的是(　　)
A．对任意x∈R，都有cosx<2成立
B．存在x∈Z，使log2(3x－1)<0成立
C．对任意x>0，都有3x>3成立
D．存在x∈Q，使方程x－2＝0有解
考点　全称命题与特称命题的真假判断
题点　全称命题与特称命题的真假判断
答案　A
解析　A中，由于函数y＝cosx的最大值是1，又1<2，所以A是真命题；B中，log2(3x－1)<0，即0<3x－1<1，得3．下列特称命题是假命题的是(　　)
A．存在x∈Q，使2x－x3＝0
B．存在x∈R，使x2＋x＋1＝0
C．有的素数是偶数
D．有的有理数没有倒数
考点　存在量词与特称命题的真假判断
题点　特称命题的真假判断
答案　B
解析　对于任意的x∈R，x2＋x＋1＝2＋>0恒成立．
4．给出四个命题：①末位数是偶数的整数能被2整除；②有的菱形是正方形；③存在实数x，x>0；④对于任意实数x,2x＋1是奇数．下列说法正确的是(　　)
A．四个命题都是真命题 B．①②是全称命题
C．②③是特称命题 D．四个命题中有两个假命题
考点　全称命题与特称命题的真假判断
题点　全称命题与特称命题的真假判断
答案　C
解析　①④为全称命题；②③为特称命题；①②③为真命题；④为假命题．
5．下列命题中的假命题是(　　)
A．有些不相似的三角形面积相等
B．存在一个实数x，使x2＋x＋1≤0
C．存在实数a，使函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大
D．有一个实数的倒数是它本身
考点　存在量词与特称命题的真假判断
题点　特称命题的真假判断
答案　B
解析　以上4个均为特称命题，A，C，D均可找到符合条件的特例；对B，任意x∈R，都有x2＋x＋1＝2＋>0.故B为假命题．
6．下列命题中，既是真命题又是特称命题的是(　　)
A．存在一个角α，使得tan(90°－α)＝tanα
B．存在实数x，使得sinx＝
C．对一切α，sin(180°－α)＝sinα
D．sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ
考点　存在量词与特称命题的真假判断
题点　特称命题的真假判断
答案　A
解析　∵α＝45°时，tan(90°－45°)＝tan45°，
∴A为真命题，且为特称命题，故选A.
B中对任意x∈R，有sinx≤1<；C，D都是全称命题．
7．下列全称命题中真命题的个数为(　　)
①负数没有对数；
②对任意的实数a，b，都有a2＋b2≥2ab；
③二次函数f(x)＝x2－ax－1与x轴恒有交点；
④任意x∈R，y∈R，都有x2＋|y|>0.
A．1B．2C．3D．4
考点　全称量词及全称命题的真假判断
题点　全称命题的真假判断
答案　C
解析　①②③为真命题．
8．若存在x∈R，使ax2＋2x＋a<0，则实数a的取值范围是(　　)
A．a<1 B．a≤1
C．－1考点　存在量词与特称命题的真假判断
题点　存在性问题求参数的范围
答案　A
解析　当a≤0时，显然存在x∈R，
使ax2＋2x＋a<0；
当a>0时，由Δ＝4－4a2>0，
解得－1综上所述，实数a的取值范围是a<1.
二、填空题
9．命题“末位是0的整数可以被5整除”________全称命题．(填“是”或“不是”)
考点　全称命题与特称命题
题点　识别全称命题
答案　是
解析　原命题可写为“所有末位是0的整数都可以被5整除”．
10．命题：①任意x∈R，x2－3x＋2>0恒成立；②存在x∈Q，x2＝2；③存在x∈R，x2＋1＝0；④任意x∈R,4x2>2x－1＋3x2.其中真命题的个数为________．
考点　全称命题与特称命题的真假判断
题点　全称命题与特称命题的真假判断
答案　0
解析　对于方程x2－3x＋2＝0，Δ＝(－3)2－4×2>0，
∴当x>2或x<1时，x2－3x＋2>0才成立，
∴①为假命题．
当且仅当x＝±时，x2＝2，
∴不存在x∈Q，使得x2＝2，
∴②为假命题．
对任意x∈R，x2＋1≠0，
∴③为假命题．
4x2－(2x－1＋3x2)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，
即当x＝1时，4x2＝2x－1＋3x2成立，
∴④为假命题．
∴①②③④均为假命题．
11．若对任意x>3，x>a恒成立，则实数a的取值范围是________．
考点　全称量词及全称命题的真假判断
题点　恒成立求参数的范围
答案　(－∞，3]
解析　对任意x>3，x>a恒成立，即大于3的数恒大于a，∴a≤3.
12．已知函数f(x)＝x2＋mx＋1，若命题“存在x>0，f(x)<0”为真，则m的取值范围是______________．
考点　存在量词与特称命题的真假判断
题点　存在性问题求参数的范围
答案　(－∞，－2)
解析　由条件知∴m<－2.
三、解答题
13．判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假．
(1)对任意实数α，有sin2α＋cos2α＝1；
(2)至少有一个整数x，使log2x>0；
(3)对所有的实数a，b，方程ax＋b＝0都有唯一解；
(4)存在实数x，使得＝2.
考点　
题点　
解　(1)是全称命题，是真命题．
(2)是特称命题，是真命题．
(3)是全称命题，是假命题．
(4)是特称命题，是假命题．
14．若命题“存在a∈[1,3]，使ax2＋(a－2)x－2>0”是真命题，求实数x的取值范围．
考点　存在量词与特称命题的真假判断
题点　存在性问题求参数的范围
解　令f(a)＝ax2＋(a－2)x－2＝(x2＋x)a－2x－2，是关于a的一次函数，
由题意，得(x2＋x)－2x－2>0或(x2＋x)·3－2x－2>0，
即x2－x－2>0或3x2＋x－2>0，
解得x<－1或x>.
15．已知函数f(x)＝x2－2x＋5.
(1)是否存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，并说明理由；
(2)若至少存在一个实数x，使不等式m－f(x)>0成立，求实数m的取值范围．
考点　全称命题与特称命题
题点　存在性问题与恒成立问题求参数的范围
解　方法一　(1)不等式m＋f(x)>0可化为
m>－f(x)，
即m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.
要使m>－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，
只需m>－4即可．
故存在实数m使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，此时需m>－4.
(2)不等式m－f(x)>0，可化为m>f(x)，
若至少存在一个实数x使不等式m>f(x)成立，只需m>f(x)min.
又f(x)＝(x－1)2＋4，所以f(x)min＝4，
所以m>4.
所以所求实数m的取值范围是(4，＋∞)．
方法二　(1)要使不等式m＋f(x)>0对任意x∈R恒成立，
即x2－2x＋5＋m>0对任意x∈R恒成立．
所以Δ＝(－2)2－4(5＋m)<0，解得m>－4，
所以当m>－4时，m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立．
(2)若至少存在一个实数x，使m－f(x)>0成立，
即x2－2x＋5－m<0成立．
只需Δ＝(－2)2－4(5－m)>0即可，
解得m>4.
所以实数m的取值范围是(4，＋∞)．