2020版高中数学北师大版选修1-1第一章常用逻辑用语3.3全称命题与特称命题的否定学案（含解析）

3．3　全称命题与特称命题的否定
学习目标　1.理解含有一个量词的命题的否定的意义.2.掌握对全称命题和特称命题否定的方法．
知识点一　全称命题的否定
要说明一个全称命题是错误的，只需找出一个反例就可以了．实际上是要说明这个全称命题的否定是正确的．全称命题的否定是特称命题．
一般地，全称命题“所有的x∈A，使p(x)成立”的否定为特称命题“存在x∈A，使p(x)不成立”．
知识点二　特称命题的否定
要说明一个特称命题“存在一些对象满足某一性质”是错误的，就要说明所有的对象都不满足这一性质．实际上是要说明这个特称命题的否定是正确的．特称命题的否定是全称命题．
一般地，特称命题“存在x∈A，使p(x)成立”的否定为全称命题“所有的x∈A，使p(x)不成立”．
1．若命题p是含一个量词的命题，则p与其否定真假性相反．(　√　)
2．从特称命题的否定看，是对“量词”和“p(x)”同时否定．(　×　)
3．从全称命题的否定看，既要把全称量词转换为存在量词，又要把p(x)否定．(　√　)
题型一　全称命题的否定
例1　写出下列命题的否定，并判断其真假．
(1)任意n∈Z，则n∈Q；
(2)等圆的面积相等，周长相等；
(3)偶数的平方是正数．
考点　全称命题的否定
题点　全称命题的否定
解　(1)存在n∈Z，使n?Q，这是假命题．
(2)存在等圆，其面积不相等或周长不相等，这是假命题．
(3)存在偶数的平方不是正数，这是真命题．
反思感悟　1.写出全称命题的否定的关键是找出全称命题的全称量词和结论，把全称量词改为存在量词，结论变为否定的形式就得到命题的否定．
2．有些全称命题省略了量词，在这种情况下，千万不要将否定简单的写成“是”或“不是”．
跟踪训练1　写出下列全称命题的否定：
(1)所有能被3整除的整数都是奇数；
(2)每一个四边形的四个顶点共圆；
(3)对任意x∈Z，x2的个位数字不等于3.
考点　全称命题的否定
题点　全称命题的否定
解　(1)存在一个能被3整除的整数不是奇数．
(2)存在一个四边形，它的四个顶点不共圆．
(3)存在x∈Z，x2的个位数字等于3.
题型二　特称命题的否定
例2　写出下列特称命题的否定：
(1)存在x∈R，x2＋2x＋2≤0；
(2)有的三角形是等边三角形；
(3)有一个素数含三个正因数．
考点　特称命题的否定
题点　含存在量词的命题的否定
解　(1)任意x∈R，x2＋2x＋2>0.
(2)所有的三角形都不是等边三角形．
(3)每一个素数都不含三个正因数．
反思感悟　与全称命题的否定的写法类似，要写出特称命题的否定，先确定它的存在量词，再确定结论，然后把存在量词改写为全称量词，对结论作出否定就得到特称命题的否定．
跟踪训练2　写出下列特称命题的否定，并判断其真假：
(1)有些实数的绝对值是正数；
(2)某些平行四边形是菱形；
(3)存在x，y∈Z，使得x＋y＝3.
考点　特称命题的否定
题点　含存在量词的命题的否定
解　(1)命题的否定：“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，也即“所有实数的绝对值都不是正数”．
由于|－2|＝2，因此命题的否定为假命题．
(2)命题的否定：“没有一个平行四边形是菱形”，也即“每一个平行四边形都不是菱形”．
由于菱形是平行四边形，因此命题的否定是假命题．
(3)命题的否定：“任意x，y∈Z，x＋y≠3”．
∵当x＝0，y＝3时，x＋y＝3，
因此命题的否定是假命题．
题型三　全称命题、特称命题否定的应用
例3　已知命题p(x)：sinx＋cosx>m，q(x)：x2＋mx＋1>0.如果对于任意x∈R，p(x)为假命题且q(x)为真命题，求实数m的取值范围．
考点　全称命题与特称命题的否定
题点　由全称命题与特称命题的真假求参数的范围
解　∵sinx＋cosx＝sin>m，
若p(x)为真命题，则m<－.
∵p(x)为假命题，∴m≥－，①
由q(x)为真命题，得Δ＝m2－4<0，即－2由①②可得－≤m<2.
引申探究　若例3中“如果对于任意x∈R，p(x)为假命题且q(x)为真命题”改为“如果对于任意x∈R，p(x)与q(x)有且仅有一个是真命题”，其他条件不变，求实数m的取值范围．
解　由例3知p(x)为真命题时，m<－，
q(x)为真命题时，－2由题意知p(x)与q(x)两命题有一真一假，
当p(x)为真，q(x)为假时，
得m≤－2.
当p(x)为假，q(x)为真时，
得－≤m<2.
所以m的取值范围是(－∞，－2]∪[－，2)．
反思感悟　若全称命题为假命题，通常转化为其否定命题——特称命题为真命题解决，同理，若特称命题为假命题，通常转化为其否定命题——全称命题为真命题解决．
跟踪训练3　已知函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在区间[－1,1]上至少存在一个实数c，使得f(c)>0.求实数p的取值范围．
考点　存在量词与特称命题的真假判断
题点　存在性问题求参数的范围
解　在区间[－1,1]上至少存在一个实数c，使得f(c)>0的否定是在区间[－1,1]上的所有实数x，都有f(x)≤0恒成立．
又由二次函数的图像特征可知，
　即
即
∴p≥或p≤－3.
故p的取值范围是－31．命题“任意x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是(　　)
A．任意x∈(－∞，0)，x3＋x<0
B．任意x∈(－∞，0)，x3＋x≥0
C．存在x∈[0，＋∞)，x3＋x<0
D．存在x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0
考点　全称命题的否定
题点　全称命题的否定
答案　C
解析　全称命题的否定是特称命题．
2．下列命题的否定为假命题的是(　　)
A．存在x∈R，x2＋2x＋2≤0
B．任意x∈R，lgx＜1
C．所有能被3整除的整数都是奇数
D．任意x∈R，sin2x＋cos2x＝1
考点　特称命题的否定
题点　含有一个量词的命题真假判断
答案　D
解析　对于选项A，因为x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1＞0，所以存在x∈R，x2＋2x＋2≤0是假命题，故其否定为真命题；
对于选项B，因为当x＞10时，lgx＞1，所以任意x∈R，lgx＜1是假命题，故其否定为真命题；
对于选项C，因为6能被3整除，但6是偶数，所以这是假命题，其否定为真命题；
对于选项D，显然成立，因此其否定是假命题．
3．若“存在x∈，sinxcosx>m”为假命题，则实数m的取值范围是________．
考点　存在量词与特称命题的真假判断
题点　存在性问题求参数的范围
答案　
解析　由题意知，对任意的x∈，
sinxcosx≤m为真命题；
又∵sinxcosx＝sin2x∈，
∴m≥.
4．写出下列命题的否定并判断其真假．
(1)不论m取何实数，方程x2＋mx－1＝0必有实数根；
(2)有些三角形的三条边相等；
(3)余弦值为负数的角是钝角．
考点　含有量词的命题的否定的应用
题点　全称命题与特称命题的否定及真假判断
解　(1)这一命题可表述为对任意的实数m，
方程x2＋mx－1＝0必有实数根．
其否定：存在一个实数m，
使方程x2＋mx－1＝0没有实数根，
因为该方程的判别式Δ＝m2＋4>0恒成立，
故为假命题．
(2)原命题的否定为“所有三角形的三条边不全相等”，假命题．
(3)原命题的否定为“存在余弦值为负数的角不是钝角”，真命题．
对含有一个量词的命题的否定要注意以下问题
(1)确定命题类型，是全称命题还是特称命题．
(2)改变量词：把全称量词改为恰当的存在量词；把存在量词改为恰当的全称量词．
(3)否定结论：原命题中的“是”“有”“存在”“成立”等改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等．
(4)无量词的全称命题要先补回量词再否定.
一、选择题
1．设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集，若命题为“对任意的x∈A,2x∈B”，则该命题的否定是(　　)
A．对任意x∈A,2x?B
B．对任意x?A,2x?B
C．存在x?A,2x∈B
D．存在x∈A,2x?B
考点　全称命题的否定
题点　全称命题的否定
答案　D
2．命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是(　　)
A．所有不能被2整除的整数都是偶数
B．所有能被2整除的整数都不是偶数
C．存在一个不能被2整除的整数是偶数
D．存在一个能被2整除的整数不是偶数
考点　全称命题的否定
题点　全称命题的否定
答案　D
解析　原命题为全称命题，其否定应为特称命题，且结论否定．
3．命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是(　　)
A．存在x∈R，x3－x2＋1≤0
B．存在x∈R，x3－x2＋1≥0
C．存在x∈R，x3－x2＋1>0
D．对任意的x∈R，x3－x2＋1>0
考点　全称命题的否定
题点　全称命题的否定
答案　C
解析　由题意知，原命题为全称命题，故其否定为特称命题，所以否定为“存在x∈R，x3－x2＋1>0”．故选C.
4．已知命题p：任意x>0，总有(x＋1)ex>1，则命题p的否定为(　　)
A．存在x≤0，使得(x＋1)ex≤1
B．存在x>0，使得(x＋1)ex≤1
C．任意x>0，总有(x＋1)ex≤1
D．任意x≤0，总有(x＋1)ex≤1
考点　全称命题的否定
题点　全称命题的否定
答案　B
解析　“任意x>0，总有(x＋1)ex>1”的否定是“存在x>0，使得(x＋1)ex≤1”．故选B.
5．命题p：“存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根”，则命题p的否定为(　　)
A．存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实数根
B．不存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实数根
C．对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实数根
D．至多有一个实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根
考点　特称命题的否定
题点　含存在量词命题的否定
答案　C
解析　命题p是特称命题，其否定形式为全称命题，即为对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实数根．
6．已知命题p：存在x∈R，x2＋ax＋a<0，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是(　　)
A．[0,4] B．(0,4)
C．(－∞，0)∪(4，＋∞) D．(－∞，0]∪[4，＋∞)
考点　全称命题与特称命题的否定的应用
题点　由全称命题与特称命题的真假求参数范围
答案　A
解析　∵p是假命题，
∴任意x∈R，x2＋ax＋a≥0恒成立，
∴Δ＝a2－4a≤0，∴0≤a≤4.
7．下列命题中是假命题的是(　　)
A．存在m∈R，使f(x)＝(m－1)·是幂函数，且在(0，＋∞)上是减少的
B．任意a>0，函数f(x)＝ln2x＋lnx－a有零点
C．存在α，β∈R，使cos(α＋β)＝cosα＋sinβ
D．任意φ∈R，函数f(x)＝sin(2x＋φ)都不是偶函数
考点　全称命题与特称命题的真假判断
题点　全称命题与特称命题的真假判断
答案　D
解析　∵f(x)为幂函数，∴m－1＝1，
∴m＝2，f(x)＝x－1，
∴f(x)在(0，＋∞)上是减少的，故A真；
∵y＝ln2x＋lnx的值域为，
∴对任意a>0，方程ln2x＋lnx－a＝0有解，
即f(x)有零点，故B真；
当α＝，β＝2π时，
cos(α＋β)＝cosα＋sinβ成立，故C真；
当φ＝时，f(x)＝sin(2x＋φ)＝cos2x为偶函数，
故D为假命题．
8．已知函数f(x)＝|2x－1|，若命题“存在x1，x2∈[a，b]且x1f(x2)”为真命题，则下列结论一定正确的是(　　)
A．a≥0B．a<0C．b≤0D．b>1
答案　B
解析　函数f(x)＝|2x－1|的图像如图所示．
由图可知f(x)在(－∞，0]上是减少的，在(0，＋∞)上是增加的，
所以要满足存在x1，x2∈[a，b]且x1使得f(x1)>f(x2)为真命题，则必有a<0，故选B.
9．已知二次函数f(x)＝2x2－(a＋6)x－2a2－a，若在区间[0,1]内至少存在一个实数b，使f(x)>0，则实数a的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
考点　存在量词与特称命题的真假判断
题点　存在性问题求参数的范围
答案　A
解析　考虑原命题的否定，即在区间[0,1]内的所有的实数b，使f(b)≤0，所以有即
解得a≤－或a≥0，故若在区间[0,1]内至少存在一个实数b，使f(b)>0，则实数a的取值范围为.
二、填空题
10．命题“存在x∈{x|x是正实数}，使考点　存在量词的否定
题点　含一个量词的命题真假判断
答案　假
解析　命题“存在x∈{x|x是正实数}，使11．命题“任意x>0，x＋≥1”的否定为________________________．
考点　全称量词的否定
题点　含全称量词的命题的否定
答案　存在x>0，x＋<1
12．已知p(x)：x2＋2x－m>0，如果p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数m的取值范围是________．
考点　全称命题与特称命题的否定的应用
题点　由全称命题与特称命题的真假求参数的范围
答案　[3,8)
解析　因为p(1)是假命题，
所以1＋2－m≤0，解得m≥3.
又因为p(2)是真命题，所以4＋4－m>0，解得m<8，
故实数m的取值范围是[3,8)．
三、解答题
13．判断下列命题的真假，并写出它们的否定：
(1)任意α，β∈R，sin(α＋β)≠sinα＋sinβ；
(2)存在x，y∈Z,3x－4y＝20；
(3)在实数范围内，有些一元二次方程无解．
考点　含有一个量词的命题
题点　含一个量词的命题真假判断
解　(1)当α＝β＝0时，sin(α＋β)＝sinα＋sinβ，故命题为假命题．
命题的否定为：存在α，β∈R，sin(α＋β)＝sinα＋sinβ.
(2)真命题．命题的否定为：任意x，y∈Z,3x－4y≠20.
(3)真命题．命题的否定为：在实数范围内，所有的一元二次方程都有解．
14．已知命题“对于任意x∈R，x2＋ax＋1≥0”是假命题，求实数a的取值范围．
考点　全称命题
题点　由命题的真假求参数的范围
解　因为全称命题“对于任意x∈R，x2＋ax＋1≥0”的否定形式为：“存在x0∈R，x＋ax0＋1<0”．
由“命题真，其否定假；命题假，其否定真”可知，这个否定形式的命题是真命题．
由于函数f(x)＝x2＋ax＋1是开口向上的抛物线，借助二次函数的图象(图略)易知，
Δ＝a2－4>0，解得a<－2或a>2.
所以实数a的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞)．
15．已知f(x)＝ax2＋bx＋c的图像过点(－1,0)，是否存在常数a，b，c，使不等式x≤f(x)≤对一切实数x均成立？
解　假设存在常数a，b，c，使题设命题成立．
因为f(x)的图像过点(－1,0)，
所以a－b＋c＝0.
因为x≤f(x)≤对一切x∈R均成立，
所以当x＝1时，也成立，即1≤a＋b＋c≤1，
故有a＋b＋c＝1.
所以b＝，c＝－a.
所以f(x)＝ax2＋x＋－a.故应x≤ax2＋x＋－a≤对一切x∈R成立，
即恒成立?
即所以a＝，
所以c＝－a＝.
所以存在一组常数：a＝，b＝，c＝，
使不等式x≤f(x)≤对一切实数x均成立．