2020版高中数学北师大版选修1-1第一章常用逻辑用语4逻辑联结词“且”“或”“非”学案（含解析）

§4　逻辑联结词“且”“或”“非”
学习目标　1.了解联结词“且”“或”“非”的含义.2.会用联结词“且”“或”“非”联结或改写某些数学命题，并判断新命题的真假.3.掌握根据命题真假求参数取值范围的方法．
知识点一　含有逻辑联结词“且”“或”的命题
1．用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p且q.
2．用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p或q.
知识点二　含有逻辑联结词“非”的命题
一般地，对命题p加以否定，就得到一个新命题，记作綈p，读作“非p”．一个命题p与这个命题的否定綈p，必然一个是真命题，一个是假命题．一个命题的否定的否定仍是原命题．
知识点三　含有逻辑联结词“且”“或”“非”的命题的真假
1．含有逻辑联结词的命题真假的判断方法：
(1)“p且q”形式命题：当命题p，q都是真命题时，p且q是真命题；当p，q两个命题中有一个命题是假命题时，p且q是假命题．
(2)“p或q”形式命题：当p，q两个命题中有一个命题是真命题时，p或q是真命题；当p，q两个命题都是假命题时，p或q是假命题．
(3)“綈p”形式命题：当p为真命题时，綈p为假命题；当p为假命题时，綈p为真命题．
2．命题真假判断的表格如下：
p
q
p或q
p且q
非p
真
真
真
真
假
真
假
真
假
假
假
真
真
假
真
假
假
假
假
真
即“p且q”一假即假，全真方真；“p或q”一真即真，全假方假；p与“非p”真假相对．
1．逻辑联结词“且”“或”只能出现在命题的结论中．(　×　)
2．“p或q为假命题”是“p为假命题”的充要条件．(　×　)
3．“梯形的对角线相等且平分”是“p或q”形式的命题．(　×　)
4．命题的否定与否命题是两个不同的概念．(　√　)
题型一　区分命题的构成形式
例1　指出下列命题的构成形式及构成它们的简单命题．
(1)方程2x2＋1＝0没有实数根；
(2)12能被3或4整除；
(3)有两个内角是45°的三角形是等腰直角三角形．
考点　“或”“且”“非”的综合问题
题点　识别命题的构成形式
解　(1)这个命题是“綈p”形式的命题，其中p：方程2x2＋1＝0有实根．
(2)这个命题是“p或q”形式的命题，其中p：12能被3整除，q：12能被4整除．
(3)这个命题是“p且q”形式的命题，其中p：有两个内角是45°的三角形是等腰三角形，q：有两个内角是45°的三角形是直角三角形．
反思感悟　1.辨别含逻辑联结词的命题的构成形式时，应根据组成含逻辑联结词的命题的语句中所出现的逻辑联结词，或语句的意义确定含逻辑联结词的命题的形式，准确理解语义，应注意抓住一些关键词．如“是……，也是……”，“兼”，“不但……，而且……”，“既……，又……”，“要么……，要么……”等．
2．要注意数学中和生活中一些特殊表达方式和特殊关系式．如a≥3是a>3或a＝3，xy＝0是x＝0或y＝0，x2＋y2＝0是x＝0且y＝0.
跟踪训练1　命题“三角形的一边大于另两边之差，而小于另两边之和”是________形式的复合命题．
考点　“且”的概念
题点　判断命题是否为“且”命题
答案　p且q
题型二　利用逻辑联结词构造新命题
例2　分别写出由下列命题构成的“p或q”“p且q”“非p”形式的命题．
(1)p：6是自然数；q：6是偶数；
(2)p：菱形的对角线相等；q：菱形的对角线互相垂直；
(3)p：3是9的约数；q：3是18的约数．
解　(1)p或q：6是自然数或是偶数．
p且q：6是自然数且是偶数．
綈p：6不是自然数．
(2)p或q：菱形的对角线相等或互相垂直．
p且q：菱形的对角线相等且互相垂直．
綈p：菱形的对角线不相等．
(3)p或q：3是9的约数或是18的约数．
p且q：3是9的约数且是18的约数．
綈p：3不是9的约数．
反思感悟　用逻辑联结词“且”“或”“非”构造新命题时，关键是正确理解这些词语的意义及在日常生活中的同义词，有时为了语法的要求及语句的通顺也可以进行适当的省略和变形．
跟踪训练2　分别写出下列命题构成的“p且q”“p或q”“非p”形式的命题．
(1)p：函数y＝3x2是偶函数，q：函数y＝3x2是增函数；
(2)p：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，q：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角；
(3)p：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根，q：方程x2＋2x＋1＝0两根的绝对值相等．
解　(1)p且q：函数y＝3x2是偶函数且函数y＝3x2是增函数．
p或q：函数y＝3x2是偶函数或函数y＝3x2是增函数．
非p：函数y＝3x2不是偶函数．
(2)p且q：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和且三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角．
p或q：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和或三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角．
非p：三角形的外角不等于与它不相邻的两个内角的和．
(3)p且q：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根且方程x2＋2x＋1＝0两根的绝对值相等．
p或q：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根或方程x2＋2x＋1＝0两根的绝对值相等．
非p：方程x2＋2x＋1＝0没有实数根或有两个不相等的实数根．
题型三　含逻辑联结词的命题的真假判断
例3　指出下列命题中的“p或q”“p且q”“非p”形式命题的真假．
(1)p：3是13的约数，q：3是方程x2－4x＋3＝0的解；
(2)p：x2＋1≥1，q：3>4；
(3)p：四边形的一组对边平行，q：四边形的一组对边相等．
解　(1)因为p假q真，所以“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为真；
(2)因为p真q假，所以“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为假；
(3)因为p假q假，所以“p或q”为假，“p且q”为假，“非p”为真．
反思感悟　判断含逻辑联结词的命题真假的步骤
(1)确定命题的形式．
(2)判断构成该命题的两个命题的真假．
(3)根据“p或q”“p且q”“綈p”的真假性与命题p，q的真假性的关系作出判断．
跟踪训练3　若(綈p)或q是假命题，则(　　)
A．p且q是假命题
B．p或q是假命题
C．p是假命题
D．綈q是假命题
答案　A
解析　由于(綈p)或q是假命题，则綈p与q均是假命题，所以p是真命题，綈q是真命题，所以p且q是假命题，p或q是真命题，故选A.
由复合命题的真假求参数的范围
典例　已知p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负实数根；q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实数根，若“p或q”是真命题，“p且q”是假命题，求实数m的取值范围．
考点　“或”“且”“非”的综合问题
题点　由复合命题的真假求参数的范围
解　p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负实数根??m>2.
q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实数根?Δ＝16(m－2)2－16<0?1所以綈p：m≤2，綈q：m≤1或m≥3.
因为“p或q”是真命题，“p且q”是假命题，
所以p为真且q为假，或p为假且q为真．
(1)当p为真且q为假时，即p为真且綈q为真，
所以解得m≥3；
(2)当p为假且q为真时，即綈p为真且q为真，
所以解得1综上所述，实数m的取值范围是(1,2]∪[3，＋∞)．
[素养评析]　(1)解决逻辑联结词的应用问题，一般是先假设p，q分别为真，化简其中的参数的取值范围，然后当它们为假时取其补集，最后确定参数的取值范围．当p，q中参数的范围不易求出时，也可以利用綈p与p，綈q与q不是同真同假的特点，先求綈p，綈q中参数的范围．
(2)理解运算对象，选择运算方法，设计运算程序，有利于形成程序化思维，能促进数学思维的发展，培养程序化思考问题的品质．
1．命题p：“x>0”是“x2>0”的必要不充分条件，命题q：△ABC中，“A>B”是“sinA>
sinB”的充要条件，则(　　)
A．p真q假 B．p且q为真
C．p或q为假 D．p假q真
考点　“且”“或”形式的命题
题点　判断“p或q”“p且q”形式命题的真假
答案　D
解析　命题p假，命题q真．
2．给出下列命题：
①2>1或1>3；
②方程x2－2x－4＝0的判别式大于或等于0；
③25是6或5的倍数；
④集合A∩B是A的子集，且是A∪B的子集．
其中真命题的个数为(　　)
A．1B．2C．3D．4
考点　“且”“或”形式的命题
题点　判断“p或q”“p且q”形式命题的真假
答案　D
解析　①由于2>1是真命题，所以“2>1或1>3”是真命题；
②由于方程x2－2x－4＝0的Δ＝4＋16>0，所以“方程x2－2x－4＝0的判别式大于或等于0”是真命题；
③由于25是5的倍数，所以命题“25是6或5的倍数”是真命题；
④由于A∩B?A，A∩B?A∪B，所以命题“集合A∩B是A的子集，且是A∪B的子集”是真命题．
3．已知命题p：1∈{x|(x＋2)(x－3)<0}，命题q：?＝{0}，则下列判断正确的是(　　)
A．p假q真 B．“p或q”为真
C．“p且q”为真 D．“綈p”为真
答案　B
解析　由(x＋2)(x－3)<0得－2∵1∈(－2,3)，∴p真．
∵?≠{0}，∴q假，∴“p或q”为真．
4．已知命题p：若x>y，则－x<－y；命题q：若xA．①③ B．①④
C．②③ D．②④
答案　C
解析　根据不等式的性质可知，若x>y，则－x<－y成立，即p为真命题；
当x＝－1，y＝1时，满足x则①p且q为假命题；②p或q为真命题；③p且(綈q)为真命题；④(綈p)或q为假命题．故选C.
1．正确理解逻辑联结词是解题的关键，日常用语中的“或”是两个中任选一个，不能都选，而逻辑联结词中的“或”是两个中至少选一个．
2．判断含逻辑联结词的命题真假的步骤
(1)逐一判断命题p，q的真假．
(2)根据“且”“或”的含义判断“p且q”“p或q”的真假．
p且q为真?p和q同时为真，
p或q为真?p和q中至少有一个为真．
3．若命题p为真，则“綈p”为假；若p为假，则“綈p”为真，类比集合知识，“綈p”就相当于集合P在全集U中的补集?UP.因此(綈p)且p为假，(綈p)或p为真．
4．注意区别命题的否定与否命题，命题的否定只否定结论，否命题既否定结论又否定条件.
一、选择题
1．如果命题“p或q”与命题“非p”都是真命题，那么(　　)
A．命题p不一定是假命题
B．命题q一定是真命题
C．命题q不一定是真命题
D．命题p与命题q的真值相同
考点　“非”命题的概念
题点　“非”命题的真假
答案　B
解析　“非p”为真命题，则命题p为假，又p或q为真，则q为真，故选B.
2．设命题p：函数y＝sin2x的最小正周期为；命题q：函数y＝cosx的图像关于直线x＝对称．则下列判断正确的是(　　)
A．p为真 B．q为真
C．p且q为假 D．p或q为真
考点　“且”“或”形式的命题
题点　判断“p或q”“p且q”形式命题的真假
答案　C
解析　p是假命题，q是假命题，因此只有C正确．
3．设命题p：方程x2＋3x－1＝0的两根符号不同；命题q：方程x2＋3x－1＝0的两根之和为3，判断命题“非p”“非q”“p且q”“p或q”为假命题的个数为(　　)
A．0B．1C．2D．3
答案　C
解析　由于Δ>0，且两根p为真命题，q为假命题，所以非p为假命题，非q为真命题；p且q为假命题，p或q为真命题，故选C.
4．由下列各组命题构成的新命题“p或q”“p且q”都为真命题的是(　　)
A．p：4＋4＝9，q：7>4
B．p：a∈{a，b，c}，q：{a}?{a，b，c}
C．p：15是质数，q：8是12的约数
D．p：2是偶数，q：2不是质数
考点　“且”“或”形式的命题
题点　判断“p或q”“p且q”形式命题的真假
答案　B
解析　“p或q”“p且q”都为真，则p真q真，故选B.
5．命题p：点P在直线y＝2x－3上；命题q：点P在曲线y＝－x2上，则使“p且q”为真命题的一个点P(x，y)是(　　)
A．(0，－3) B．(1,2)
C．(1，－1) D．(－1,1)
考点　“p且q”形式的命题
题点　已知“p且q”命题的真假求参数
答案　C
解析　点(x，y)满足
解得P(1，－1)或P(－3，－9)，故选C.
6．给定两个命题p，q，若綈p是q的必要不充分条件，则p是綈q的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
答案　A
解析　因为綈p是q的必要不充分条件，所以q?綈p但綈p?q，所以p?綈q但綈q?p，故p是綈q的充分不必要条件．
7．已知p，q是两个命题，若“綈(p或q)”是真命题，则(　　)
A．p，q都是假命题
B．p，q都是真命题
C．p是假命题且q是真命题
D．p是真命题且q是假命题
考点　“綈p”形式的命题的真假判断
题点　判断“綈p”命题的真假
答案　A
解析　由复合命题真值表得：若“綈(p或q)”是真命题，则p或q为假命题，则命题p，q都是假命题．
8．已知命题p：“任意的x∈[1,2]，都有x2≥a”，命题q：“存在x∈R，使得x2－2ax＋2－a＝0成立”．若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是(　　)
A．a≤－2 B．－2C．a≤－2或a＝1 D．a≥1
考点　“p且q”形式的命题
题点　已知“p且q”命题的真假求参数范围
答案　C
解析　由“p且q”是真命题，可知p，q均为真命题．故由“任意的x∈[1,2]都有x2≥a”，得a≤1.由“存在x∈R，使得x2－2ax＋2－a＝0成立”，得Δ＝4a2－4(2－a)≥0，解得a≥1或a≤－2.故实数a的取值范围是a≤－2或a＝1.
9．命题p：若a>0，b>0，则ab＝1是a＋b≥2的必要不充分条件，命题q：函数y＝log2的定义域是(－∞，－2)∪(3，＋∞)，则(　　)
A．p或q为假 B．p且q为真
C．p真q假 D．p假q真
考点　“且”“或”形式的命题
题点　判断“p或q”“p且q”形式命题的真假
答案　D
解析　由命题p：a>0，b>0，
ab＝1得a＋b≥2＝2，所以p为假命题；
命题q：由>0得x<－2或x>3，
所以q为真命题．
二、填空题
10．设p：2x＋y＝3，q：x－y＝6，若p且q为真命题，则x＝________，y＝________.
考点　“p且q”形式命题真假性的判断
题点　由“p且q”形式命题的真假求参数的值
答案　3　－3
解析　若p且q为真命题，则p，q均为真命题，
所以有解得
11．已知命题p：x2－x≥6，q：x∈Z.若“p且q”“綈q”都是假命题，则x的值组成的集合为________．
答案　{－1,0,1,2}
解析　因为“p且q”为假，
命题“綈q”为假，所以q为真，p为假．
故即
因此，x的值可以是－1,0,1,2
12．设命题p：a20，命题p且q为假，p或q为真，则实数a的取值范围是________________________．
考点　“p或q”与“p且q”形式的命题
题点　由命题“p或q”“p且q”的真假求参数的范围
答案　∪
解析　由a2由x2＋4ax＋1>0恒成立知Δ＝16a2－4<0，
∴－∵p且q为假，p或q为真，
∴p与q一真一假，p假q真时，－p真q假时，≤a<1，
∴实数a的取值范围是∪.
三、解答题
13．判断下列复合命题的真假．
(1)等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边；
(2)不等式x2－2x＋1>0的解集为R且不等式x2－2x＋2≤1的解集为?.
考点　“p且q”形式命题真假性的判断
题点　判断“p且q”形式命题的真假
解　(1)这个命题是“p且q”形式的复合命题，其中p：等腰三角形顶角的平分线平分底边，q：等腰三角形顶角的平分线垂直于底边，因为p真q真，则“p且q”为真，所以该命题是真命题．
(2)这个命题是“p且q”形式的复合命题，其中p：不等式x2－2x＋1>0的解集为R，q：不等式x2－2x＋2≤1的解集为?.因为p假q假，所以“p且q”为假，故该命题为假命题．
14．已知命题p：|4－x|≤6，q：x2－2x＋1－a2≥0(a>0)，若非p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
解　綈p即|4－x|>6，解得x>10或x<－2，
记A＝{x|x>10或x<－2}，
q：x2－2x＋1－a2≥0，解得x≥1＋a或x≤1－a，记B＝{x|x≥1＋a或x≤1－a}，綈p?q，即A是B的真子集，
所以解得015．已知命题p：对于任意x∈R，ax2＋2x＋1≠0，q：存在x∈R，ax2＋ax＋1≤0.若(綈p)且(綈q)为真命题，求实数a的取值范围．
考点　存在量词的否定
题点　由含量词的命题的真假求参数的范围
解　因为(綈p)且(綈q)为真命题，
所以綈p与綈q都是真命题，从而p与q都是假命题．
所以“关于x的方程ax2＋2x＋1＝0有解”与“ax2＋ax＋1>0对一切x∈R恒成立”都是真命题．
由关于x的方程ax2＋2x＋1＝0有解，
得a＝0或即a＝0或a≤1且a≠0，
所以a≤1.
由ax2＋ax＋1>0对一切x∈R恒成立，
得a＝0或即a＝0或0所以0≤a<4.
由得0≤a≤1，故实数a的取值范围是[0,1]．