2020版高中数学北师大版选修1-1第一章常用逻辑用语章末复习学案（含解析）

第一章 常用逻辑用语章末复习
学习目标　1.梳理本章知识，构建知识网络.2.掌握命题的等价性与充要条件的判定及其有关的应用.3.会解决有一些逻辑联结词与量词的简单的综合性问题．
1．四种命题及其关系
(1)四种命题
命题
表述形式
原命题
若p，则q
逆命题
若q，则p
否命题
若綈p，则綈q
逆否命题
若綈q，则綈p
(2)四种命题间的逆否关系
(3)四种命题的真假关系
两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
2．充分条件与必要条件
(1)如果p?q，那么称p是q的充分条件，q是p的必要条件．
(2)分类：
①充要条件：p?q且q?p，记作p?q；
②充分不必要条件：p?q且q?p.
③必要不充分条件：p?q且q?p.
④既不充分又不必要条件：p?q且q?p.
3．全称命题与特称命题
(1)全称命题与特称命题真假的判断方法
①判断全称命题为真命题，需严格的逻辑推理证明，判断全称命题为假命题，只需举出一个反例．
②判断特称命题为真命题，需要举出正例，而判断特称命题为假命题时，要有严格的逻辑证明．
(2)含有一个量词的命题否定的关注点
全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．否定时既要改写量词，又要否定结论．
4．简易逻辑联结词“且、或、非”的真假判断
可以概括为口诀：“p与綈p”一真一假，“p或q”一真即真，“p且q”一假就假.
p
q
綈p
p或q
p且q
真
真
假
真
真
真
假
假
真
假
假
真
真
真
假
假
假
真
假
假
1．“所有奇数都是质数”的否定“至少有一个奇数不是质数”是真命题．(　√　)
2．命题“若p，则q”与命题“若綈p，则綈q”的真假性一致．(　×　)
3．已知命题p：存在x∈R，x－2＞0，命题q：对于任意x∈R，x2＞x，则命题p或(綈q)是假命题．(　×　)
题型一　命题及其关系
例1　(1)有下列命题：
①“若x＋y>0，则x>0且y>0”的否命题；
②“矩形的对角线相等”的否命题；
③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆否命题；
④不等边三角形的三个内角相等．
其中是真命题的是(　　)
A．①②③ B．②③④
C．①③④ D．①③
考点　四种命题的真假判断
题点　利用四种命题的关系判断真假
答案　D
(2)设a，b，c是非零向量，已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中真命题是(　　)
A．p或q B．p且q
C．(綈p)且(綈q) D．p或(綈q)
考点　“p或q”形式的命题
题点　判断“p或q”形式命题的真假
答案　A
解析　由向量数量积的几何意义可知，命题p为假命题；命题q中，当b≠0时，a，c一定共线，故命题q是真命题．故p或q为真命题．
反思感悟　1.互为逆否命题的两命题真假性相同．
2．“p与綈p”一真一假，“p或q”一真即真，“p且q”一假就假．
跟踪训练1　命题“若x2>1，则x<－1或x>1”的逆否命题是(　　)
A．若x2>1，则－1≤x≤1
B．若－1≤x≤1，则x2≤1
C．若－11
D．若x<－1或x>1，则x2>1
考点　四种命题
题点　四种命题概念的理解
答案　B
解析　条件与结论交换位置，并且分别否定．
题型二　充分条件与必要条件
命题角度1　充分条件与必要条件的判断
例2　(1)设x∈R，则“x2－3x>0”是“x>4”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
(2)已知a，b是实数，则“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
考点　四种条件
题点　识别四种条件
答案　(1)B　(2)C
解析　(1)∵x2－3x>0?x>4，
x>4?x2－3x>0，
故x2－3x>0是x>4的必要不充分条件．
(2)∵a>0且b>0?a＋b>0且ab>0，
∴a>0且b>0是a＋b>0且ab>0的充要条件．
反思感悟　条件的充要关系的常用判断方法
(1)定义法：直接判断若p则q，若q则p的真假．
(2)等价法：利用A?B与綈B?綈A，B?A与綈A?綈B，A?B与綈B?綈A的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．
(3)利用集合间的包含关系判断：若A?B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．
跟踪训练2　使a>b>0成立的一个充分不必要条件是(　　)
A．a2>b2>0 B．>>0
C．lna>lnb>0 D．xa>xb且x>0.5
考点　四种条件
题点　识别四种条件
答案　C
解析　设条件p符合条件，则p是a>b>0的充分条件，但不是a>b>0的必然结果，即有“p?a>b>0，a>b>0?p”．
A选项中，a2>b2>0?a>b>0，有可能是aB选项中，>>0?0b>0，故B不符合条件；
C选项中，lna>lnb>0?a>b>1?a>b>0，而a>b>0?a>b>1，符合条件；
D选项中，xa>xb且01时a>b，无法得到a，b与0的大小关系，故D不符合条件．
命题角度2　充分条件与必要条件的应用
例3　设命题p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a>0，命题q：实数x满足
(1)若a＝1，且p且q为真，求实数x的取值范围；
(2)若綈p是綈q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
考点　充分、必要条件与充要条件的综合应用
题点　由四种条件求参数的范围
解　(1)由x2－4ax＋3a2<0得(x－3a)(x－a)<0.
又a>0，所以a即p为真命题时，实数x的取值范围是1由解得
即2所以q为真时，实数x的取值范围是2若p且q为真，则?2所以实数x的取值范围是(2,3)．
(2)方法一　綈p是綈q的充分不必要条件，
即綈p?綈q且綈q?綈p.
设綈p：A＝{x|x≤a或x≥3a}，綈q：B＝{x|x≤2或x>3}，
则A?B.
所以03，即1所以实数a的取值范围是(1,2]．
方法二　因为綈p是綈q的充分不必要条件，
所以q是p的充分不必要条件，
则{x|2所以解得1所以实数a的取值范围是(1,2]．
反思感悟　利用条件的充要性求参数的范围
(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解．
(2)注意利用转化的方法理解充分必要条件：若綈p是綈q的充分不必要(必要不充分、充要)条件，则p是q的必要不充分(充分不必要、充要)条件．
跟踪训练3　已知命题：p：2x2－9x＋a<0，q：2考点　充分、必要条件与充要条件的综合应用
题点　由四种条件求参数的范围
解　∵綈q是綈p的必要条件，
∴q是p的充分条件，
令f(x)＝2x2－9x＋a，
则解得a≤9，
∴实数a的取值范围是(－∞，9]．
题型三　逻辑联结词与量词的综合应用
例4　已知p：任意x∈，2x答案　
解析　由2x，
又x∈时，max＝，
故当p为真时，m>；
函数f(x)＝4x＋2x＋1＋m－1＝(2x＋1)2＋m－2，
令f(x)＝0，得2x＝－1，
若f(x)存在零点，
则－1>0，解得m<1，
故当q为真时，m<1.
若“p且q”为真命题，则实数m的取值范围是.
反思感悟　解决逻辑联结词与量词的综合应用问题首先理解逻辑联结词的含义，掌握简单命题与含有逻辑联结词的命题的真假关系．其次要善于利用等价关系，如：p真与綈p假等价，p假与綈p真等价，将问题转化，从而谋得最佳解决途径．
跟踪训练4　已知命题p：“任意x∈[0,1]，a≥ex”，命题q：“存在x∈R，x2＋4x＋a＝0”，若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是________．
考点　逻辑联结词与量词的综合应用
题点　由复合命题的真假求参数范围
答案　[e,4]
解析　p：a≥e，q：a≤4，
∵p且q为真命题，∴p与q均为真，
则e≤a≤4.
转化与化归思想的应用
典例　已知函数f(x)＝x2，g(x)＝x－m.
(1)若对任意x1∈[－1,3]，x2∈[0,2]，使得f(x1)≥g(x2)成立，求实数m的取值范围；
(2)若对任意x2∈[0,2]，存在x1∈[－1,3]，使得f(x1)≥g(x2)成立，求实数m的取值范围．
解　(1)由题设知，f(x1)min≥g(x2)max，
∵f(x)在[－1,0]上是减少的，在(0,3]上是增加的，
∴f(x1)min＝f(0)＝0，
又∵g(x)在[0,2]上是减少的，
∴g(x2)max＝g(0)＝1－m，
∴有0≥1－m，得m≥1，
∴m的取值范围为[1，＋∞)．
(2)由题设知，f(x1)max≥g(x2)max，
∴有f(3)≥g(0)，即9≥1－m，
∴m的取值范围是[－8，＋∞)．
[素养评析]　从中我们可以看到面对形同质不同的问题，要善于从已有的问题或概念本身出发去加以辨析和研究，将抽象的问题具体化，如此才能更为准确地把握问题的内涵.
1．若p是真命题，q是假命题，则(　　)
A．p且q是真命题 B．p或q是假命题
C．綈p是真命题 D．綈q是真命题
答案　D
解析　根据“且”“或”“非”命题的真假判定法则知D正确．
2．已知命题p：0A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
考点　充分、必要条件与充要条件的综合应用
题点　识别四种条件
答案　A
解析　∵函数y＝ax2－ax＋1的值恒为正，
∴①当a＝0时y＝1恒成立，
②∴0综上可得q：0≤a<4，
故{a|03．已知命题p：对任意x∈R，总有2x＞0；q：“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是(　　)
A．p且q
B．(綈p)且(綈q)
C．(綈p)且q
D．p且(綈q)
考点　“p且q”形式的命题
题点　判断“p且q”形式命题的真假
答案　D
解析　根据指数函数的性质可知，对任意x∈R，总有2x＞0成立，即p为真命题，“x＞1”是“x＞2”的必要不充分条件，即q为假命题，则p且(綈q)为真命题．
4．对任意x∈[－1,2]，x2－a≥0恒成立，则实数a的取值范围是________．
考点　全称命题
题点　由全称命题的真假求参数的范围
答案　(－∞，0]
解析　由x2－a≥0，得a≤x2，故a≤(x2)min，得a≤0.
5．已知p：x2＋2x－3>0；q：>1.若“(綈q)且p”为真命题，求x的取值范围．
考点　“p且q”形式的命题
题点　已知p且q命题的真假求参数范围
解　因为“(綈q)且p”为真，所以q假p真．
而当q为真命题时，有<0，即2所以当q为假命题时有x≥3或x≤2；
当p为真命题时，由x2＋2x－3>0，
解得x>1或x<－3，
由
解得x<－3或1所以x的取值范围为(－∞，－3)∪(1,2]∪[3，＋∞)
1．否命题和命题的否定是两个不同的概念
(1)否命题是将原命题的条件否定作为条件，将原命题的结论否定作为结论构造一个新的命题．
(2)命题的否定只是否定命题的结论，常用于反证法．若命题为“若p，则q”，则该命题的否命题是“若綈p，则綈q”；命题的否定为“若p，则綈q”．
2．四种命题的三种关系，互否关系，互逆关系，互为逆否关系，只有互为逆否关系的命题是等价命题．
3．判断p与q之间的关系时，要注意p与q之间关系的方向性，充分条件与必要条件方向正好相反，不要混淆．
4．注意常见逻辑联结词的否定
一些常见逻辑联结词的否定要记住，如：“都是”的否定“不都是”，“全是”的否定“不全是”，“至少有一个”的否定“一个也没有”，“至多有一个”的否定“至少有两个”．