课件20张PPT。3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程第三章 空间向量与立体几何引入课题上一节,我们把向量从平面推广到空间,
并利用空间向量解决了一些立体几何问题.
本节我们进一步学习立体几何中的向量方法.
立体几何研究的基本对象是点、直线、平面
以及由它们组成的空间图形.
为了用空间向量解决立体几何问题,
首先必须把点、直线、平面的位置用向量表示出来.知识点一：点的位置向量如何确定一个点在空间的位置??OP知识点二：直线的方向向量在空间中给一个定点A和一个定方向(向量),
能确定一条直线在空间的位置吗?空间中任意一条直线l的位置可以由
l上一个定点A以及一个定方向确定.ABP?????知识点三：向量与平行1．设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则由向量共线的条件，
得l1∥l2(或l1与l2重合)?v1∥v2 .
2．①已知两个不共线向量v1、v2与平面α共面，一条直线l的
一个方向向量为v，则由共面向量定理，可得l∥α或l在α内
?存在两个实数x、y，使v＝xv1＋yv2.?知识点三：向量与平行3．已知不共线的向量v1和v2与平面α共面，则由两平面平行的判定与性质，
得α∥β或α与β重合?v1∥β且v2∥β .知识点四：用向量运算证明两条直线垂直或求两条直线所成的角 设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，
则有l1⊥l2?v1⊥v2 ，
cos θ＝|cos〈v1，v2〉| .典例分析例1 如图，在长方体OAEB－O1A1E1B1中，|OA|＝3，|OB|＝4，|OO1|＝2，
点P在棱AA1上且|AP|＝2|PA1|，点S在棱BB1上且|SB1|＝2|BS|，
点Q、R分别是O1B1、AE的中点，
求证：PQ∥RS.?典例分析?跟踪训练1.已知O为坐标原点，四面体OABC中，A(0,3,5)、B(1,2,0)、C(0,5,0)，
直线AD∥BC，并且AD交坐标平面xOz于点D，求点D的坐标．解:∵O为坐标原点，∴O(0,0,0)．
∵AD交xOz于D，∴D(x,0，z)．
∵AD∥BC，∴＝λ，
即：(x，－3，z－5)＝λ(－1,3,0)．
∴x=-λ,-3=3 λ ,z-5=0，即x=1,z=5.
∴D点坐标为(1,0,5)．典例分析例2 如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，O是B1D1的中点．
求证：B1C∥平面ODC1.?典例分析?跟踪训练2.在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，
PD＝DC，E是PC的中点．
证明：PA∥平面EDB.??典例分析例3 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是B1C1，C1D1的中点，
且AA1＝2，AB＝AD＝1.
(1)求证：EF⊥A1C；(2)求直线A1C1与DF所成角的余弦值．??跟踪训练3.本例中条件不变，设M为棱AA1的中点，求异面直线BM与AC所成角的大小．?归纳小结向量法解决几何问题的步骤
(1)建立空间图形与空间向量的关系，把几何问题转化为向量问题．
(2)进行向量的加减、数乘、数量积运算，得出向量运算的结果．
(3)把向量运算的结果转化为相应的几何问题的结果．当堂达标课件23张PPT。3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程第三章 空间向量与立体几何启动思维在正方体ABCD－A1B1C1D1中．
(1)棱AB，DC，D1C1，A1B1之间的位置关系是什么？
它们的方向向量之间又有什么关系？
(2)棱A1B1，B1C1，C1D1，D1A1与平面ABCD有什么样的位置关系？
如何利用空间向量证明这种关系？
(3)平面ABCD和平面A1B1C1D1的位置关系是什么？
如何利用空间向量证明这种关系？走进教材?OP1.点的位置向量走进教材空间中任意一条直线l的位置可以由
l上一个定点A以及一个定方向确定.ABP?????2.直线的方向向量走进教材(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则由向量共线的条件，
得l1∥l2(或l1与l2重合)?v1∥v2 .
(2)①已知两个不共线向量v1、v2与平面α共面，一条直线l的
一个方向向量为v，则由共面向量定理，可得l∥α或l在α内
?存在两个实数x、y，使v＝xv1＋yv2.?3.向量与平行(3)已知不共线的向量v1和v2与平面α共面，则由两平面平行的判定与性质，
得α∥β或α与β重合?v1∥β且v2∥β .走进教材走进教材设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，
则有l1⊥l2?v1⊥v2 ，
cos θ＝|cos〈v1，v2〉| .4.用向量运算证明两条直线垂直或求两条直线所成的角 自主练习自主练习自主练习3．已知直线l1的一个方向向量为(－7,3,4)，
直线l2的一个方向向量为(x，y,8)，且l1∥l2，
则x＝________，y＝________.-146典例导航题型一：由方向向量判断线线关系?典例导航?解：变式训练??典例导航题型二：利用向量证明线线平行例2 在正方体ABCD—A1B1C1D1中，点E是AB的中点，点F是AA1上靠近点A的
三等分点，在线段DD1上是否存在一点G，使CG∥EF？
若存在，求出点G的位置，若不存在，说明理由． ??变式训练2.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为DD1和BB1的
中点．试判断四边形AEC1F是否是平行四边形，并证明．?典例导航题型三：利用向量证明线面平行例3 如图所示，四棱锥P—ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，
PA⊥底面ABCD，PA＝AD＝CD＝2AB＝2，M为PC中点．
求证：BM∥平面PAD.?变式训练3.如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，EF∥AB，EF⊥FB，AB＝2EF，∠BFC＝90°，BF＝FC，H为BC的中点．
求证：FH∥平面EDB.证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB⊥BC，
又EF∥AB，∴EF⊥BC.
又EF⊥FB，∴EF⊥平面BFC.
∴EF⊥FH，∴AB⊥FH.
又BF＝FC，H为BC的中点，∴FH⊥BC.
∴FH⊥平面ABCD.
以H为坐标原点，为x轴正方向，为z轴正方向.
建立如图所示的空间直角坐标系．?典例导航例4 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是B1C1，C1D1的中点，
且AA1＝2，AB＝AD＝1.
(1)求证：EF⊥A1C；(2)求直线A1C1与DF所成角的余弦值．?题型四：利用向量求异面直线所成的角?跟踪训练4.本例中条件不变，设M为棱AA1的中点，求异面直线BM与AC所成角的大小．?归纳小结利用直线的方向向量与平面的法向量判断直线与直线、
直线与平面、平面与平面的位置关系是直线的方向向量
与平面的法向量的基本应用，解决此类问题时需注意以下几点：
(1)能熟练的判断两向量的共线与垂直；
(2)搞清直线的方向向量，平面的法向量和直线、平面位置关系
之间的内在联系；
(3)将向量问题转化为几何问题时的等价性．
