课件16张PPT。3.2.3 直线与平面的夹角第三章 空间向量与立体几何引入课题空间向量的引入为代数方法处理立体几何问题
提供了一种重要的工具和方法，解题时，可用定量的计算代替定性的分析，从而避免了一些繁琐的推理论证.求空间角是立体几何的一类重要的问题，也是高考的热点之一.复习回顾直线的方向向量与平面的法向量l????α知识点一：直线与平面所成的角(1)如果一条直线与一个平面垂直，
这条直线与平面的夹角为90°.
(2)如果一条直线与一个平面平行或在平面内，
规定这条直线与平面的夹角为0°.
(3)平面的一条斜线与平面的夹角如何定义呢？如图，已知OA是平面α的斜线段，O是斜足，
线段AB垂直于α，B是垂足，
则直线OB是斜线OA在平面α内的正射影。
设OM是α内通过点O的任一直线，
OA与OB所成的角为θ1，OB与OM所成的角为θ2，
OA与OM所成的角为θ，
用向量的运算来研究θ，θ1，θ2之间的关系.?在上述公式中，因为0≤cosθ2≤1，所以cosθ≤cosθ1.
因为θ和θ1都是锐角，所以θ1≤θ.
则：斜线和它在平面内射影所成的角，
是斜线和这个平面内所有直线所成的角中最小的角.
斜线和它在平面内的射影的夹角叫做斜线与平面所成的角
(或斜线和平面的夹角).知识点二：向量法求直线与平面所成的角如何用向量表示直线与平面所成的角？
向量的夹角就是直线与平面所成的角吗？??θ?αl?典例分析?C1CABA1B1zyx?xyABCa??解：易求法向量求坐标非常关键?典例分析?跟踪训练?C1CAA1B1zyxBOM?跟踪训练??典例分析例2 已知∠BOC在平面α内，OA是平面α的一条斜线，
若∠AOB＝∠AOC＝60°，OA＝OB＝OC＝a，BC＝a，
求OA与平面α所成角的大小．解：∵OA＝OB＝OC＝a，∠AOB＝∠AOC＝60°，
∴AB＝AC＝a.
∵BC＝a，∴AB2＋AC2＝BC2，
∴△ABC为等腰直角三角形．
同理，△BOC也为等腰直角三角形．过A作AH⊥α于H，连OH，
则OH为AO在平面α内的射影，∠AOH为OA与平面α所成的角．?跟踪训练2.已知直角三角形ABC的斜边BC在平面α内，直角边AB，AC分别
和α成30°和45°角．求斜边BC上的高AD与平面α所成角的大小．?归纳小结用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”.(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中
涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置
关系以及它们之间距离和夹角等问题；(3)把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义.（化为向量问题）（进行向量运算）（回到图形问题）课件14张PPT。3.2.3 直线与平面的夹角第三章 空间向量与立体几何走进教材??θ?αl?向量法求直线与平面的夹角自主练习?B自主练习2.若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，
则直线l与平面α所成的角等于( )
A．120° B．60°
C．30° D．以上均错C典例导航例1 已知∠BOC在平面α内，OA是平面α的一条斜线，
若∠AOB＝∠AOC＝60°，OA＝OB＝OC＝a，BC＝a，
求OA与平面α所成角的大小．解：∵OA＝OB＝OC＝a，∠AOB＝∠AOC＝60°，
∴AB＝AC＝a.
∵BC＝a，∴AB2＋AC2＝BC2，
∴△ABC为等腰直角三角形．
同理，△BOC也为等腰直角三角形．题型一：定义法求直线与平面的夹角?变式训练1.已知直角三角形ABC的斜边BC在平面α内，直角边AB，AC分别
和α成30°和45°角．求斜边BC上的高AD与平面α所成角的大小．?典例导航题型二：向量法求直线与平面的夹角?EPABCDzyx?445°解：?典例导航EPABCDzyx?445°2F??变式训练2.如图，已知四棱锥P－ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，
垂足为H，PH是四棱锥的高，E为AD中点．若∠APB＝∠ADB＝60°，
求直线PA与平面PEH所成角的正弦值．DPABCEHxyz?变式训练??归纳小结1．用向量法求二面角，在正确建立直角坐标系的前题下，
求二面角二个面的法向量是关键，正确列出方程组求解；
并且要正确判断所求角是二面角的平面角还是其补角．
2．求异面直线所成的角主要是转化为两个向量的夹角，
这时要特别注意二向量的方向及最后求出的角一定要是锐角或直角．
3．线面角是求线与平面的法向量所成角的余角．
