课件24张PPT。1.3.1 推出与充分条件、必要条件第一章 常用逻辑用语引入课题观察下面四个电路图，开关A闭合作为命题的条件p，灯泡B亮作为命题的结论q.在上面四个电路中，你能说出p，q之间的推出关系吗？解：①开关A闭合，灯泡B一定亮，灯泡B亮，开关A不一定闭合，即p?q，q?p；②开关A闭合，灯泡B不一定亮，灯泡B亮，开关A必须闭合，即p?q，q?p；③开关A闭合，灯泡B亮，反之灯泡B亮，开关A一定闭合，即p?q；④开关A闭合与否，不影响灯泡B，反之，灯泡B亮与否，与开关A无关，即p?q，且q?p.
课前热身1．充分条件和必要条件
当命题“如果p，则q”经过推理证明断定是真命题时，就说由p可以推出q，记作 ，读作“ ”，称p是q的 ，q是p的 .
2．充要条件
如果 且 ，则称p是q的充分且必要条件，简称p是q的 ，
记作 ，显然q也是p的 ．
p是q的充要条件，又常说成“ ”或“ ”.p?q p推出q 充分条件 必要条件 p?q q?p 充要条件 p?q 充要条件 q当且仅当p p与q等价 解惑释疑1.对充分条件、必要条件的理解
①一般地，若p?q，则p是q的充分条件．
“充分”的意思是：要使q成立，条件p成立就足够了．
即是说有条件p成立，q就一定成立．
另一方面，q又是p的必要条件．
“必要”是说缺少q，p就不会成立．②可以用集合的关系来理解：
若A?B，则A是B的充分条件，同时B是A的必要条件．
例如A＝[0,1]，B＝[0,2]．
若x∈A，则x∈B，所以A是B的充分条件．
若x?B，则一定有x?A，也就是说，若B不成立，
A也就不成立了．因此，B是A的必要条件．解惑释疑AB解惑释疑2．充分不必要条件，必要不充分条件
如果“p?q，且q?p ”，那么称p是q的充分不必要条件．
例如，x＝2?x2＝4，反过来x2＝4?x＝2，
所以称x＝2是x2＝4的充分不必要条件．pq解惑释疑如果“p?q，且q?p”，那么称p是q的必要不充分条件．
例如，p：“四边形对角线相等”,q：“四边形为正方形”
显然p?q，且q?p，所以p是q的必要不充分条件.pq“p是q的充分不必要条件”
等价于“q是p必要不充分条件”典例剖析例1 下列命题中，p是q的充分条件的是( )
①p：a＋b＝0，q：a2＋b2＝0；
②p：x>5，q：x>3；
③p：四边形是矩形；q：四边形对角线相等；
④已知α，β是两个不同的平面，直线a?α，直线b?β，
命题p：a与b无公共点，命题q：α∥β.
A．①② B．②③ C．③④ D．②③④题型一 用定义判定充分条件与必要条件①∵a＋b＝0?a2＋b2＝0，即p?q，
∴p不是q的充分条件．
②∵x>5?x>3，即p?q，∴p是q的充分条件．
③∵四边形是矩形?对角线相等，即p?q，
∴p是q的充分条件．④∵a，b无公共点不能推出α，β无公共点，即p?q，
∴p不是q的充分条件．典例剖析【解析】【答案】 ②③提升习题?A题型二 充分不必要条件，必要不充分条件的判定
例2 指出下列各组命题中，p是q的什么条件？
(1)p：数a能被6整除，q：数a能被3整除；
(2)p：x>1，q：x2>1；
(3)p：△ABC有两个角相等，q：△ABC是正三角形；
(4)p：|a·b|＝a·b，q：a·b>0.典例剖析(1)∵p?q，且q?p，∴p是q的充分不必要条件．
(2)∵p?q，且q?p，∴p是q的充分不必要条件．
(3)∵p?q，且q?p，∴p是q的必要不充分条件．
(4)∵a·b＝0时，|a·b|＝a·b，|a·b|＝a·b?a·b>0，
而a·b>0时，有|a·b|＝a·b，
∴p是q的必要不充分条件．典例剖析解：?提升习题解： (1)在△ABC中，A>B?tanA>tanB.
反过来tanA>tanB?A>B.
∴p是q的既不充分也不必要条件．
(2)∵x＝3?(x＋2)(x－3)＝0，
而(x＋2)(x－3)＝0?x＝－2或x＝3.
∴p?q，但q?p.
∴p是q的充分不必要条件．提升习题?提升习题典例分析题型三 充要条件的判断
例3 指出下列各组命题中，p是q的什么条件.
(1)p：△ABC中，b2＞a2＋c2，q：△ABC为钝角三角形；
(2)p：△ABC有两个角相等，q：△ABC是正三角形；
(3)若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0.(1)p是q的充分不必要条件．
(2)p是q的必要不充分条件．
(3)p是q的充要条件．解：提升习题在下列各题中，哪些p是q的充要条件？
(1)p：a＞b，q：a2＞b2；
(2)p：两直线平行，q：内错角相等；
(3)p：直线l与平面α所成角大小为90°，q：l⊥α；
(4)函数f(x)＝logax(a＞1)，p：f(x1)＞f(x2)，q：x1＞x2＞0.
解：在(1)中，p?q，q?p，∴(1)中的p不是q的充要条件．
在(2)(3)(4)中，p?q，所以(2)(3)(4)中的p是q的充要条件．典例分析题型四 充要条件的证明
例4 试证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0.?证明：提升习题求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为2的
充要条件是4a＋2b＋c＝0.证明：先证必要性：
∵方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为2，
∴x＝2满足方程ax2＋bx＋c＝0，
∴a·22＋b·2＋c＝0，即4a＋2b＋c＝0，
∴必要性成立．题型五 充分条件、必要条件、充要条件的应用
例5 是否存在实数m，使“4x＋m<0”是“x2－x－2>0”
的充分条件？如果存在，求出m的取值范围．典例剖析“4x＋m<0”是条件，“x2－x－2>0”是结论，
先解出这两个不等式，再利用集合间的包含关系
探求符合条件的m的范围．【分析】?典例剖析解：-12?使不等式x2－2x－3>0成立的充分不必要条件是( )
A．x>3，或x<－1 B．x>5
C．x>0 D．x<1提升习题【解析】∵x2－2x－3>0?x>3或x<－1，
∴x>3是x2－2x－3>0成立的充分不必要条件，
而x>5?x>3.
∴x>5是使不等式成立的充分不必要条件．B归纳小结1.充分条件的特征是：
当p成立时，必有q成立，
但当p不成立时，未必有q不成立.
因此要使q成立，只需要条件p即可，
故称p是q成立的充分条件.
2.必要条件的特征是：
当q不成立时，必有p不成立，
但当q成立时，未必有p 成立.
因此要使p成立，必须具备条件q，
故称q是p成立的必要条件.课件22张PPT。1.3.1 推出与充分条件、必要条件第一章 常用逻辑用语复习引入1.充分条件与必要条件的概念??充分条件必要条件必要条件2.充要条件
一般地,如果既有p?q,又有q___p,就记作p___q,
此时, p是q的充分必要条件,简称_________.
显然,如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件.??充要条件自主练习判断:(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若p是q的必要条件,则q是p的充分条件.( )
(2)若p是q的充分条件,则?p是?q的充分条件.( )
(3)“两角不相等”是“两角不是对顶角”的必要条件.( )【解析】(1)正确.
若p是q的必要条件,即p?q,所以q是p的充分条件.
(2)错误.
若p是q的充分条件,即p?q,其逆否命题为?q??p,
所以?p是?q的必要条件.
(3)错误.
“两角不是对顶角” ?“两角不相等”.
【答案】(1)√ (2)× (3)×
自主练习核心归纳类型一 充分条件与必要条件的判断
1.命题“已知n∈Z,若a=4n,则a是偶数”中,
“a是偶数”是“a=4n”的 条件,
“a=4n”是“a是偶数”的 条件.?核心归纳【解题探究】
1.判断充分条件与必要条件的依据是什么?
2.判断充分条件与必要条件的实质是什么?
探究提示:
1.判断充分条件与必要条件的依据是定义.
2.判断充分条件与必要条件的实质是判断命题的真假.核心归纳1. 【解析】
命题“已知n∈Z,若a=4n,则a是偶数”是真命题,
所以“a是偶数”是“a=4n”的必要条件,
“a=4n”是“a是偶数”的充分条件.
【答案】必要 充分核心归纳?核心归纳1.下列所给的p,q中,q是p的必要条件的个数是( )
①p:x>1,q:lgx>0;
②p:x>1,q:x-1<1;
③p:x=3,q:sinx>cosx;
④a，b为平面内的两条直线.p:直线a,b不相交,q:a∥b.
A.1 B.2 C.3 D.4变式训练【解析】①由于p:x>1?q:lgx>0,
所以q是p的必要条件;
②由于p:x>1?q:x-1<1,所以q是p的必要条件;
③由于p:x=3?q:sinx>cosx,所以q是p的必要条件;
④由于p:直线a,b不相交?q:a∥b,所以q不是p的必要条件.
【答案】C变式训练2.“x2=2x”是“x=0”的 条件,“x=0”是“x2=2x”的 条件(用充分、必要填空).
【解题指南】解答本题关键是弄清充分条件与必要条件与集合间的关系.
【解析】由于x=0?x2=2x,所以“x2=2x”是“x=0”的必要条件,“x=0”是“x2=2x”的充分条件.
【答案】必要 充分变式训练必要性:设两个方程有公共根α,则
∴α2+(a+c)α=0.
若α=0, 代入任一方程得b=0,
这与已知a,b,c为△ABC的三边相矛盾.
∴α=-a-c. 代入上面方程组中任何一个式子,
均可得a2=b2+c2, ∴∠A=90°.设a,b,c为△ABC中∠A,∠B,∠C所对边,
求证:方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共根的
充要条件是∠A=90°.类型二 充要条件的证明 证明：α2+2aα+b2=0，α2+2cα-b2=0，核心归纳充分性:
∵∠A=90°,∴a2=b2+c2,∴x2+2ax+b2=0可化为
x2+2ax+a2-c2=0,
即(x+a)2-c2=0?(x+a+c)(x+a-c)=0,
∴x1=-a-c, x2=-a+c.
同理x2+2cx-b2=0可化为x2+2cx+c2-a2=0,
即(x+c)2-a2=0?(x+a+c)(x+c-a)=0,
∴x3=-a-c, x4=a-c.
所以两个方程有公共根-a-c.
综上所述,方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共根的
充要条件是∠A=90°.核心归纳变式训练求证:关于x的方程x2+mx+1=0有两个负数根的充要条件是m≥2.证明：
必要性:
设关于x的方程x2+mx+1=0有两个负数根为x1, x2,解得m≥2.即则Δ≥0，
x1+x2＜0，
x1x2＞0，m2-4≥0，
-m＜0，
1＞0，变式训练充分性:
∵m≥2,∴Δ=m2-4≥0,且x1+x2=-m≤-2<0,
又x1·x2=1>0,
∴关于x的方程x2+mx+1=0有两个负数根.类型三 充分条件与必要条件的应用
1.若“x>1”是“x>a”的充分条件,则实数a的取值范围
是( )
A.a>1 B.a≥1 C.a<1 D.a≤1
2.若“x=2”是“x2-2x+c=0”的充分条件,则c= .核心归纳【解题探究】1.p是q的充分条件对应的真命题是什么?
2.题2中对应的真命题的条件和结论分别是什么?
探究提示:
1.p是q的充分条件对应若p,则q为真命题.
2.对应的真命题是“若x=2,则x2-2x+c=0”,其中“x=2”是条件,“x2-2x+c=0”是结论.核心归纳1. 【解析】若“x>1”是“x>a”的充分条件,
则x>1?x>a,于是{x|x>1}?{x|x>a},得a≤1.
【答案】D
2. 【解析】若“x=2”是“x2-2x+c=0”的充分条件,
则“x=2”是方程“x2-2x+c=0”的根,代入,解得c=0.
【答案】0核心归纳若题1中的“充分条件”改为“必要条件”,则实数a的取值范围如何?
解：若“x>1”是“x>a”的必要条件,即x>a?x>1,
∴a≥1.所以a的取值范围是[1,+∞).变式训练1.从集合的包含关系看充分条件、必要条件
若不等式p,q对应的集合分别为P,Q,利用集合间的
包含关系来判断充分条件、必要条件为:
①若P?Q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件.
②若p是q的充分条件,即p?q,相当于P?Q,
即:要使x∈Q成立,只要x∈P就足够了——有它就行;
为使x∈P成立,必须要使x∈Q——缺它不可.归纳小结2.充分条件与必要条件的应用技巧
(1)应用:可利用充分性与必要性进行相关问题的求解,
特别是求参数的值或取值范围问题.
(2)求解步骤:首先根据条件的充分性和必要性找到条件
构成的集合之间的关系,然后构建满足条件的不等式(组),
再进行求解.归纳小结
