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1.1.2 弧度制
考 点 考纲要求 要求 题型
1.有关角度与弧度概念的理解2.角度与弧度之间的互化3.扇形的弧长及面积的计算 1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换． 2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集一一对应关系．3.掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式. i 填空，选择
知识梳理
一、度量角的单位制
单位制 内容
角度制 周角的为1度角，记作1°；用度作为单位来度量角的单位制叫角度制
弧度制 规定长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫作1弧度的角，以弧度为单位来度量角的单位制叫作弧度制；在弧度制下，1弧度记作1 rad
二、弧度数
一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.如果半径为r的圆的圆心角α所对的弧长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝.这里，α的正负由角α的终边的旋转方向决定．
三、弧度制与角度制的换算公式
角度化弧度 弧度化角度
360°＝2π rad 2π rad＝360°
180°＝π rad π rad＝180°
1°＝ rad≈0.017 45 rad 1 rad＝()°≈57.30°
四、扇形的弧长及面积公式
设扇形的半径为R，弧长为l，α(0＜α＜2π)为其圆心角，其中α＝，则
度量单位类 别 弧度制 角度制
扇形的弧长 l＝αR l＝
扇形的面积 S＝lR＝αR2 S＝
考向一 有关角度与弧度概念的理解
[典例1] (1)下列命题中，正确的命题是________．
①1°的角是周角的，1 rad的角是周角的；
②1 rad的角等于1度的角；
③180°的角一定等于π rad的角；
④“度”和“弧度”是度量角的两种单位．
(2)在半径不等的两个圆内，1弧度的圆心角所对的弧长________．(填“相等”或“不相等”)
1．下列各说法中，错误的说法是( )
A．半圆所对的圆心角是π rad
B．周角的大小等于2π
C．1 弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径
D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1 弧度
考向二 角度与弧度之间的互化
[典例2] 设α1＝－570°，α2＝750°，β1＝，β2＝－.
(1)将α1，α2用弧度制表示出来，并指出它们各自的终边所在的象限；
(2)将β1，β2用角度制表示出来，并在－720°～0°范围内找出与它们终边相同的所有角．
2．(1)已知α＝15°，β＝，γ＝1，θ＝105°，φ＝π，试比较它们的大小．
(2)把－1 480°写成2kπ＋α(k∈Z)的形式，其中0≤α<2π，并判断它是第几象限角？
3．已知扇形的周长为10 cm，面积为4 cm2，求扇形圆心角的弧度数．
过关检测
1．将－300°化为弧度数为( )
A．－π B．－π
C．－π D．－π
2．下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是( )
A．2kπ＋45° B．k·360°＋
C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋(k∈Z)
3．已知α＝－3，则角α的终边所在的象限是( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
4．一扇形的面积是，半径为1，则该扇形的圆心角是( )
A. B.
C. D.
5．把－π表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的θ值是( )
A．－ B．－
C. D.
6．在扇形中，已知半径为8，弧长为12，则圆心角是________弧度，扇形面积是________．
7．若角α的终边与角π的终边相同，则在[0,2π]上，终边与角的终边相同的角是________．
8．若α，β满足－<α<β<，则α－β的取值范围是________．
9．用弧度制表示终边在图中阴影区域内角的集合
(含边界)，并判断2 014°是不是这个集合的元素．
10．(1)已知扇形的周长为20 cm，面积为9 cm2，求扇形圆心角的弧度数；
(2)已知某扇形的圆心角为75°，半径为15 cm，求扇形的面积；
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1.1.2 弧度制
考 点 考纲要求 要求 题型
1.有关角度与弧度概念的理解2.角度与弧度之间的互化3.扇形的弧长及面积的计算 1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换． 2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集一一对应关系．3.掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式. i 填空，选择
知识梳理
一、度量角的单位制
单位制 内容
角度制 周角的为1度角，记作1°；用度作为单位来度量角的单位制叫角度制
弧度制 规定长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫作1弧度的角，以弧度为单位来度量角的单位制叫作弧度制；在弧度制下，1弧度记作1 rad
二、弧度数
一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.如果半径为r的圆的圆心角α所对的弧长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝.这里，α的正负由角α的终边的旋转方向决定．
三、弧度制与角度制的换算公式
角度化弧度 弧度化角度
360°＝2π rad 2π rad＝360°
180°＝π rad π rad＝180°
1°＝ rad≈0.017 45 rad 1 rad＝()°≈57.30°
四、扇形的弧长及面积公式
设扇形的半径为R，弧长为l，α(0＜α＜2π)为其圆心角，其中α＝，则
度量单位类 别 弧度制 角度制
扇形的弧长 l＝αR l＝
扇形的面积 S＝lR＝αR2 S＝
考向一 有关角度与弧度概念的理解
[典例1] (1)下列命题中，正确的命题是________．
①1°的角是周角的，1 rad的角是周角的；
②1 rad的角等于1度的角；
③180°的角一定等于π rad的角；
④“度”和“弧度”是度量角的两种单位．
(2)在半径不等的两个圆内，1弧度的圆心角所对的弧长________．(填“相等”或“不相等”)
[解析] (1)由弧度制的概念及换算关系，知①③④正确．
(2)由于1弧度的圆心角所对的弧长等于圆的半径，而两个圆的半径不等，故在两个圆中，1弧度的圆心角所对的弧长不相等．
[答案] (1)①③④ (2)不相等
角度与弧度的理解
(1)引入弧度制后，角的集合与实数集建立了一一对应关系．
(2)用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同(都是0)；用角度制和弧度制度量任意非零角，单位不同，数量也不同．
(3)牢记180°＝π rad，充分利用其进行角度制与弧度制互化．
(4)角度的单位“°”不可省略，而弧度的单位“rad”可以省略．
(5)在同一个式子中，角度、弧度不能混合使用．
1．下列各说法中，错误的说法是( )
A．半圆所对的圆心角是π rad
B．周角的大小等于2π
C．1 弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径
D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1 弧度
解析：根据弧度的定义及角度与弧度的换算知A、B、C均正确，D错误．
答案：D
考向二 角度与弧度之间的互化
[典例2] 设α1＝－570°，α2＝750°，β1＝，β2＝－.
(1)将α1，α2用弧度制表示出来，并指出它们各自的终边所在的象限；
(2)将β1，β2用角度制表示出来，并在－720°～0°范围内找出与它们终边相同的所有角．
[解析] (1)∵180°＝π rad
∴α1＝－570°＝－＝－＝－2×2π＋，
α2＝750°＝＝＝2×2π＋.
∴α1的终边在第二象限，α2的终边在第一象限．
(2)β1＝＝×180°＝108°，
设θ＝108°＋k·360°(k∈Z)，
则由－720°≤θ＜0°，即－720°≤108°＋k·360°＜0°，
得k＝－2，或k＝－1.
故在－720°～0°范围内，与β1终边相同的角是－612°和－252°.
β2＝－＝－60°，
设γ＝－60°＋k·360°(k∈Z)，
则由－720°≤－60°＋k·360°＜0°，
得k＝－1，或k＝0.
故在－720°～0°范围内，与β2终边相同的角是－420°.
1．进行角度与弧度的互化时，抓住关系式π rad＝180°是关键，由它可以得到：度数×＝弧度数，弧度数×()°＝度数．
2．特殊角的弧度数与度数对应值要熟记：
角度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180°
弧度 0 π π π π
角度 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360°
弧度 π π π π π π π 2π
2．(1)已知α＝15°，β＝，γ＝1，θ＝105°，φ＝π，试比较它们的大小．
(2)把－1 480°写成2kπ＋α(k∈Z)的形式，其中0≤α<2π，并判断它是第几象限角？
解析：(1)解法一 (化为弧度)：
α＝15°＝15×＝，
θ＝105°＝105×＝，
显然＜＜1＜.故α＜β＜γ＜θ＝φ.
解法二 (化为角度)：
β＝＝×()°＝18°，γ＝1≈57.30°，
φ＝×()°＝105°.
显然，15°＜18°＜57.30°＜105°.故α＜β＜γ＜θ＝φ.
(2)－1 480°＝－1 480×＝－＝－10π＋，其中0≤<2π，因为是第四象限角，所以－1 480°是第四象限角．
考向三 扇形的弧长及面积的计算
[典例3] (1)求半径为2，圆心角为的圆弧的长度；
(2)在半径为6的圆中，求长度为6的弦和它所对的劣弧所围成的弓形面积；
(3)如图所示，在半径为10，圆心角为的扇形铁皮DAE上截去一个半径为4的小扇形BAC，求剩下部分的面积．
[解析] (1)∵半径R＝2，圆心角α＝，
∴弧长l＝|α|·R＝.
(2)如图所示，∵AB＝6，OA＝OB＝6，
∴∠AOB＝.
∴扇形AOB的面积S扇形AOB＝α·R2＝××62＝6π.
又∵△AOB是等边三角形，∴S△AOB＝×62＝9.
∴所求的弓形面积S＝6π－9.
(3)∵圆心角α＝，∴S扇形DAE＝α·AD2＝，
S扇形BAC＝α·AB2＝.
∴剩下部分的面积＝－＝＝14π.
求扇形的弧长和面积的解题技巧
(1)记公式：弧长公式为：l＝|α|R.面积公式为S＝lR＝|α|R2(其中l是扇形的弧长，α是扇形圆心角的弧度数)．
(2)找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解．
3．已知扇形的周长为10 cm，面积为4 cm2，求扇形圆心角的弧度数．
解析：设扇形的半径为r，弧长为l，所对圆心角为α(0<α<2π)．
则解得或
当r＝1时，l＝8，此时α＝＝8(rad)>2π，不符合，舍去；
当r＝4时，l＝2，此时α＝＝＝(rad)．
∴所求圆心角的弧度数为rad.
过关检测
1．将－300°化为弧度数为( )
A．－π B．－π
C．－π D．－π
解析：－300°＝－300×＝－π.
答案：B
2．下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是( )
A．2kπ＋45° B．k·360°＋
C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋(k∈Z)
解析：与的终边相同的角可以写成2kπ＋(k∈Z)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C正确．
答案：C
3．已知α＝－3，则角α的终边所在的象限是( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：因为1≈57.3°，故α＝－3≈－171.9°，所以α在第三象限．
答案：C
4．一扇形的面积是，半径为1，则该扇形的圆心角是( )
A. B.
C. D.
解析：∵l＝θR，S＝lR，
∴S＝×R2＝π，
∴θ＝.
答案：C
5．把－π表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的θ值是( )
A．－ B．－
C. D.
解析：∵－＝－2π－.∴－与－是终边相同的角，且此时|－|＝是最小值．
答案：A
6．在扇形中，已知半径为8，弧长为12，则圆心角是________弧度，扇形面积是________．
解析：|α|＝＝＝，
S＝l·r＝×12×8＝48.
答案： 48
7．若角α的终边与角π的终边相同，则在[0,2π]上，终边与角的终边相同的角是________．
解析：由题意，得α＝π＋2kπ(k∈Z)，
所以＝π＋(k∈Z)．
令k＝0,1,2,3，
得＝π，π，π，π.
答案：π，π，π，π
8．若α，β满足－<α<β<，则α－β的取值范围是________．
解析：由题意，得－<α<，－<－β<，
∴－π<α－β<π.又α<β，∴α－β<0.∴－π<α－β<0.
答案：(－π，0)
9．用弧度制表示终边在图中阴影区域内角的集合
(含边界)，并判断2 014°是不是这个集合的元素．
解析：因为150°＝π，所以终边落在阴影区域内角的集合为
S＝.
因为2 014°＝214°＋5×360＝＋10π.
又π<<，
所以2 014°＝∈S.
10．(1)已知扇形的周长为20 cm，面积为9 cm2，求扇形圆心角的弧度数；
(2)已知某扇形的圆心角为75°，半径为15 cm，求扇形的面积；
解析：(1)如图所示，设扇形的半径为r cm，弧长为l cm，圆心角为θ(0<θ<2π)，
由l＋2r＝20，得l＝20－2r，
由lr＝9，得(20－2r)r＝9，
∴r2－10r＋9＝0，解得r1＝1，r2＝9.
当r1＝1 cm时，l＝18 cm，θ＝＝＝18>2π(舍去)．
当r2＝9 cm时，l＝2 cm，θ＝＝.
∴扇形的圆心角的弧度数为.
(2)扇形的圆心角为75×＝，扇形半径为15 cm.扇形面积S＝|α|r2＝××152＝π(cm2)．
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