9．1.1 第1课时 三角形的有关概念及其分类
知识点 1 三角形的有关概念
1．小明用三根火柴组成了如图9－1－1所示的图形，其中符合三角形概念的图形是( )
图9－1－1
2．图9－1－2中共有三角形( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
图9－1－2
图9－1－3
3．对图9－1－3理解错误的是( )
A．∠A，∠B，∠ACB是△ABC的内角
B．∠BCD是与∠ACB相邻的△ABC的外角
C．∠BCD＋∠A＝180°
D．△ABC的三条边分别是线段AB，BC，AC
4．如图9－1－4所示，点D，E在BC上，∠B是____________的内角；△ABD的外角是______；在△ABE中，AE所对的角是______，∠B所对的边是______；AD在△ADE中，是______的对边，在△ADC中，是________的对边．
图9－1－4
图9－1－5
5.如图9－1－5，过A，B，C，D，E五个点中任意三点画三角形．
(1)其中以AB为一边可以画出________个三角形；
(2)其中以C为顶点可以画出________个三角形．
6．如图9－1－6所示，点D，E在BC上．
(1)图中共有多少个三角形？并把它们写出来；
(2)线段AE是哪些三角形的边？
(3)∠B是哪些三角形的角？
(4)∠B所对的边有哪些？
图9－1－6
知识点 2 三角形的分类
7．三角形的三个角的度数分别是80°，60°，40°，这个三角形是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
8．下列说法正确的是( )
A．一个直角三角形一定不是等腰三角形
B．一个等腰三角形一定不是锐角三角形
C．一个钝角三角形一定不是等腰三角形
D．一个等边三角形一定不是钝角三角形
9．下列给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能判断三角形类型的是( )
图9－1－7
10．如果一个三角形有一个内角大于90°，那么这个三角形是________三角形．
11．观察下面的三角形，并把它们的标号填在相应的圈内．
图9－1－8
图9－1－9
【能力提升】
12．已知△ABC的周长是13 cm，AB与AC边长的和为8 cm，AC与AB边长的差为2 cm，那么这个三角形按边分类是( )
A．不等边三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
13．下列说法正确的有( )
①等边三角形是等腰三角形；②任何一个三角形都有三个顶点，三条边，三个内角；③三角形按边分类可分为等腰三角形、直角三角形；④一个三角形的最大角是什么角，这个三角形就是什么三角形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
14．若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图9－1－10中以BC为公共边的“共边三角形”有( )
A．2对 B．3对 C．4对 D．6对
图9－1－10
图9－1－11
15．如图9－1－11所示，AB＝AC，AD＝BD＝DE＝AE＝CE，则图中共有________个等腰三角形，有________个等边三角形．
16．若△ABC三条边的长度分别为m，n，p，且|m－n|＋(n－p)2＝0，则△ABC的形状是________．
17．如图9－1－12所示，图中共有多少个三角形？请写出这些三角形，并指出所有以E为顶点的角．
图9－1－12
18．如图9－1－13，BD是长方形ABCD的一条对角线，CE⊥BD于点E，连结AE.
(1)写出图中所有的直角三角形；
(2)写出图中的锐角三角形和钝角三角形．
图9－1－13
19.两条平行直线上各有n个点，用这n对点按如下的规则连结线段：
①在连线段时，可以有共同的端点，但不能有其他交点；
②符合①要求的线段必须全部画出；
图9－1－14①展示了当n＝1时的情况，此时图中三角形的个数为0；
图②展示了当n＝2时的一种情况，此时图中三角形的个数为2.
(1)当n＝3时，请在图③中画出使三角形个数最少的图形，此时图中三角形的个数为________个；
(2)试猜想当有n对点时，按上述规则画出的图形中，最少有多少个三角形？
(3)当n＝2019时，按上述规则画出的图形中，最少有多少个三角形？
图9－1－14
教师详解详析
1．D 2.C 3.C
4．△ABD，△ABE，△ABC ∠ADC ∠B AE ∠AED ∠C
5．(1)3 (2)6 [解析] (1)其中以AB为一边可以画出的3个三角形为△ABE，△ABD，△ABC；(2)其中以C为顶点可以画出的6个三角形为△ABC，△BCD，△BCE，△ADC，△DEC，△ACE.故答案为(1)3；(2)6.
6．解：(1)图中共有6个三角形，它们分别是△ABD，△ABE，△ABC，△ADE，△ADC，△AEC.
(2)线段AE是△ABE，△ADE，△AEC的边．
(3)∠B是△ABD，△ABE，△ABC的角．
(4)∠B所对的边有AD，AE，AC.
7．A [解析] 有三个角都是锐角的三角形是锐角三角形．
8．D
9．C
10．钝角
11．[解析] 利用这三类三角形的定义判定．
解：
12．B
13．C [解析] (1)等边三角形是特殊的等腰三角形，正确；(2)根据三角形的有关概念知，它是正确的；(3)三角形按边分类可以分为不等边三角形和等腰三角形，错误；(4)正确．综上所述，正确的结论有3个．故选C.
14．B [解析] △BDC与△BEC、△BDC与△BAC、△BEC与△BAC，共三对．
15．4 1 [解析] 等腰三角形共有4个，分别是△ABD，△ADE，△ACE，△ABC；等边三角形有1个，是△ADE.
16．等边三角形
[解析] ∵|m－n|＋(n－p)2＝0，
∴m－n＝0，n－p＝0，
∴m＝n，n＝p，∴m＝n＝p，
∴△ABC为等边三角形．
17．解：图中共有7个三角形，分别是△AEF，△ADE，△BDE，△ABE，△ABF，△BCF，△ABC.以E为顶点的角是∠AEF，∠AED，∠DEB，∠DEF，∠AEB，∠BEF.
18．[解析] (1)找出所有的直角三角形，关键是找到直角，并且直角是三角形中的一个内角；
(2)找钝角三角形与(1)同理，锐角三角形必须三个角都是锐角，结合题目已知条件，解答即可．
解：(1)∵四边形ABCD是长方形且CE⊥BD于点E，
∴∠BAD，∠BCD，∠BEC，∠CED都是直角，且是三角形的一个内角．
∴直角三角形有△ABD，△BCD，△BCE，△CDE.
(2)锐角三角形为△ABE，钝角三角形为△ADE.
19．解：(1)如图所示(答案不唯一)：
共有4个三角形．
故所填答案为4.
(2)当有n对点时，最少可以画2(n－1)个三角形．
(3)2×(2019－1)＝4036(个)．
故当n＝2019时，最少可以画4036个三角形．
9.1 1. 第1课时 三角形的有关概念及其分类
一、选择题
1．对图1理解错误的是( )
A．∠A，∠B，∠ACB是△ABC的内角
B．∠BCD是与∠ACB相邻的外角
C．∠BCD＋∠A＝180°
D．△ABC的三条边分别是线段AB，BC，AC
图1 图2
2．如图2所示，图中共有三角形( )
A．1个 B．2个 C．3 个 D．4个
3．若△ABC的一个外角为50°，则△ABC一定是( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．锐角三角形或钝角三角形
4．下列说法正确的是( )
A．一个直角三角形一定不是等腰三角形
B．一个等腰三角形一定不是锐角三角形
C．一个钝角三角形一定不是等腰三角形
D．一个等边三角形一定不是钝角三角形
图3
5．2018·柳州如图3，图中直角三角形共有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
6．已知三角形的三边长a，b，c满足(a－b)2＋＝0，则三角形的形状是________三角形．
7．如图4，图中共有________个三角形，以AB为一边的三角形是________，其中∠BDC既是________的内角，又是________的外角．
图4
8．如图5，在△ABC中，AE⊥BC，D为BC上一点，则图中________是锐角三角形，________是直角三角形，________是钝角三角形.
图5
三、解答题
9．在如图6所示的方格中，以AB为一边，以小正方形的格点为顶点，画出符合下列条件的三角形，并把相应的三角形用字母表示出来．
(1)钝角三角形；(2)等腰直角三角形；(3)等腰锐角三角形．
图6
10 [规律探究题] 已知△ABC.
(1)如图7①，若P为BC边上的任意一点(与点B，C不重合)，则图中共有________个三角形；
(2)如图②，若P1，P2分别为BC边上的任意两点(与点B，C不重合)，则图中共有________个三角形；
(3)若在BC边上任取4个点(与点B，C不重合)，则有________个三角形；
(4)若在BC边上任取n个点(与点B，C不重合)，则共有____________个三角形．
图7
1．[答案] C
2．[解析] C 图中的三角形有：△ABD，△ACD，△ABC.
3．[解析] B 因为一个外角为50°，所以与它相邻的内角的度数为130°，所以三角形为钝角三角形．
4．[答案] D
5．[解析] C 图形中的3个三角形都有一个内角是直角，故图中有3个直角三角形．
6．[答案] 等边
7．[答案] 3 △ABC, △ABD △BCD △ABD
8．[答案] △ABC，△ADC △ADE，△ACE，△ABE △ABD
9．解：答案不唯一，如图所示，(1)△ABC，(2)△ABD，(3)△ABE.
10 [答案] (1)3 (2)6 (3)15 (4)
9.1 1. 第2课时 三角形的三条重要线段
一、选择题
1．2018·贵阳如图1，在△ABC中有四条线段DE，BE，EG，FG，其中有一条线段是△ABC的中线，则该线段是( )
A．线段DE
B．线段BE
C．线段EG
D．线段FG
2．下列说法不正确的是( )
A．三角形的中线在三角形的内部
B．三角形的角平分线在三角形的内部
C．三角形的高在三角形的内部
D．三角形必有一条高在三角形的内部
图1 图2
3．如图2，在长方形网格中，每个小长方形的长为2，宽为1，A，B两点均在网格格点上，若点C也在网格格点上，且以A，B，C为顶点的三角形的面积为2，则满足条件的点C有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题
4．如图3，AD⊥BC于点D，那么图中以AD为高的三角形有________个.
图3 图4
5．如图4，在△ABC中，AD为中线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，AB＝3，AC＝4，DF＝1.5，则DE＝________．
6．如图5，BM是△ABC的中线，若AB＝5 cm，BC＝3 cm，则△ABM和△BCM的周长之差是________．
图5
三、解答题
7．已知：如图6, 画出△ABC的BC边上的高，AB边的中线，∠ABC的平分线．
图6
8．如图7，AD是△ABC的中线，BE是△ABD的中线．
(1)作出△BDE中BD边上的高；
(2)若△ABC的面积为40，BD＝5，求△BDE中BD边上的高．
图7
9 发散思维 有一块三角形优良品种试验田，现引进四种不同的种子进行对比试验，需要将这块试验田分成面积相等的四块，请你根据三角形中线分得的两个三角形的面积相等，设计出四种划分方案供选择，并画图说明．
1．[解析] B 根据三角形中线的定义可知线段BE是△ABC的中线．
2．[答案] C
3．[答案] C
4．[答案] 6
[解析] ∵AD⊥BC于点D，而图中有一边在直线BC上，且以A为顶点的三角形有6个，∴以AD为高的三角形有6个．
5．[答案] 2
[解析] 因为AD是中线，所以S△ADB＝S△ADC，所以AB·DE＝AC·DF，所以DE＝＝2.
6．[答案] 2 cm
[解析] BM为公共边，CM＝MA，△ABM和△BCM的周长之差为5－3＝2(cm)．
7．解： 如图所示．(1)过点A画AD⊥CB交CB的延长线于点D，则AD即为△ABC的BC边上的高；
(2)画AB边的中点F，连结CF，则CF即为AB边的中线；
(3)画BE平分∠ABC交AC于点E，则线段BE即为∠ABC的平分线．
8．解：(1)如图，过点E作边BD的垂线EF，垂足是F.EF即为△BDE中BD边上的高．
(2)因为AD是△ABC的中线，
所以S△ABD＝S△ABC；
同理，S△BDE＝S△ABD，
所以S△BDE＝S△ABC.
因为S△BDE＝BD·EF，
所以BD·EF＝S△ABC.
又△ABC的面积为40，BD＝5，
所以EF＝4.
即△BDE中BD边上的高是4.
9 解： 如图所示．
第2课时 三角形的三条重要线段
知识点 1 三角形的中线
1. 若AD是△ABC的中线，则下列结论错误的是( )
A．AD平分∠BAC B．BD＝DC
C．AD平分BC D．BC＝2DC
2．如图9－1－15所示，BD＝DE＝EC，那么图中以AD为中线的三角形是____________，以AE为中线的三角形是____________．
图9－1－15 图9－1－16
知识点 2 三角形的角平分线
3．如图9－1－16所示，已知AE为△ABD的角平分线，AF为△ACD的角平分线，则下列结论中错误的是( )
A．∠EAF＝∠BAC B．∠DAF＝∠DAC
C．∠EAD＝∠EAF D．∠BAE＝∠BAD
图9－1－17
4．如图9－1－17，AD，BE，CF是△ABC的三条角平分线，则∠1＝________＝________，∠3＝______，________＝2∠4.
知识点 3 三角形的高
5．在△ABC中，AC边上的高画得正确的是( )
图9－1－18
6．如图9－1－19，AC⊥BC，CD⊥AB，DE⊥BC，下列说法中错误的是( )
A．△ABC中，AC是BC边上的高
B．△BCD中，DE是BC边上的高
C．△ABE中，DE是BE边上的高
D．△ACD中，AD是CD边上的高
图9－1－19
图9－1－20
7．如图9－1－20，AD⊥BC于点D，那么图中以AD为高的三角形有________个．
知识点 4 综合认识三角形的三条重要线段
8．三角形的下列线段中能将三角形的面积分成相等两部分的是( )
A．中线 B．角平分线
C．高 D．以上均正确
9．不一定在三角形内部的线段是( )
A．三角形的角平分线 B．三角形的中线
C．三角形的高 D．以上都不对
10．如图9－1－21所示，画出△ABC的角平分线BD，AB边上的高CE，BC边上的中线AF.
图9－1－21
11．如图9－1－22所示，用式子把下列条件表示出来：
(1)BE是△ABC的角平分线；
(2)CF是△ABC的中线；
(3)AD是△ABC的高．
图9－1－22
【能力提升】
12．2018·杭州若线段AM，AN分别是△ABC中BC边上的高和中线，则( )
A．AM>AN B．AM≥AN
C．AM
13．如图9－1－23所示，在△ABC中，∠BAD＝∠CAD，G 为AD的中点，延长BG交AC于点E，F为AB上一点，且CF⊥AD于点H，则下列说法正确的有( )
图9－1－23
(1)AD是△ABE的角平分线；
(2)BE是△ABD中边AD上的中线；
(3)CH是△ACD中边AD上的高．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
14．如图9－1－24所示，CM是△ABC的中线，△ACM的周长比△BCM的周长大3 cm，BC＝8 cm，求AC的长．
图9－1－24
15．如图9－1－25所示，在△ABC中，AD，CE是△ABC的两条高，BC＝5 cm，AD＝3 cm，CE＝4 cm，求AB的长．
图9－1－25
16．如图9－1－26，某市有三个车站A，B，C成三角形，一辆公共汽车从B站前往C站．
(1)当汽车运动到点D时，刚好BD＝CD，连结线段AD，AD这条线段是△ABC的什么线段？此时有面积相等的三角形吗？这样的线段在△ABC中有几条呢？
(2)汽车继续向前运动，当运动到点E时，发现∠BAE＝∠CAE，那么AE这条线段是△ABC的什么线段呢？在△ABC中，这样的线段又有几条呢？
(3)汽车继续向前运动，当运动到点F时，发现∠AFB＝∠AFC＝90°，则AF是△ABC的什么线段？这样的线段在△ABC中有几条？
图9－1－26
17.有一个三角形花坛如图9－1－27所示，现引进四种花卉进行栽种，需将这个花坛分成面积相等的四块，请你制定两种划分方案供选择(画图说明)．
① ②
图9－1－27
教师详解详析
1．A
2．△ABE △ACD
3．C [解析] 根据三角形的角平分线的定义可得．
4．∠2 ∠BAC ∠ABC ∠ACB
5．C
6．C [解析] 根据三角形高的定义可得．
7．6 [解析] ∵AD⊥BC于点D，而图中有一边在直线CB上，且以A为顶点的三角形有6个，∴以AD为高的三角形有6个：△ABC、△ABD、△ADC、△ADE、△ABE、△AEC.故答案为6.
8．A [解析] ∵三角形的中线把三角形分成两个等底同高的三角形，
∴三角形的中线将三角形的面积分成相等的两部分．故选A.
9．C
10．解：如图所示．
11．解：(1)BE是△ABC的角平分线，可表示为∠ABE＝∠EBC或∠ABE＝∠ABC或∠EBC＝∠ABC.
(2)CF是△ABC的中线，可表示为AF＝BF或AF＝AB或BF＝AB.
(3)AD是△ABC的高，可表示为AD⊥BC或∠ADC＝90°或∠ADB＝90°或∠ADB＝∠ADC.
12．D [解析] AM和AN可以看成是直线上一定点到直线上两定点的距离，由垂线段最短，得AM13．B [解析] 由∠BAD＝∠CAD知AD平分∠BAE，但点D不在BE边上，所以AD不是△ABE的角平分线，(1)不正确；同理BE不是△ABD中边AD上的中线，(2)不正确；由CF⊥AD于点H，根据三角形高的概念知CH是△ACD中边AD上的高，(3)正确．故选B.
14．解：∵CM是△ABC的中线，
∴AM＝BM.
∵(AC＋AM＋CM)－(BC＋BM＋CM)＝AC＋AM＋CM－BC－BM－CM＝AC－BC＝3 cm，
∴AC＝BC＋3＝8＋3＝11(cm)．
15．[解析] 此题考查对三角形的高的定义的理解．在解答时，首先要弄清三角形的边与边上高的对应关系，然后利用三角形面积公式建立等式求解即可．
解：在△ABC中，∵AD，CE分别是BC，AB边上的高，∴S△ABC＝AB·CE＝BC·AD，
即AB×4＝×5×3，
∴AB＝(cm)．
16．解：(1)AD是△ABC中BC边上的中线，此时△ABD与△ADC的面积相等．这样的线段在△ABC中有三条．
(2)AE是△ABC的角平分线，在△ABC中，这样的线段有三条．
(3)AF是△ABC中BC边上的高，这样的线段在△ABC中有三条．
17．[解析] 三角形的一条中线把它分成面积相等的两部分．
解：答案不唯一，如图所示．
