9.1.2 三角形的内角和与外角和
知识点 1 三角形的内角和
图9－1－28
1．如图9－1－28，在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝40°，则∠C等于( )
A．100° B．80°
C．60° D．40°
2．在△ABC中，∠A＝20°，∠B＝60°，则△ABC的形状是( )
A．等边三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．钝角三角形
3．2017·长春如图9－1－29，在△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，DE∥BC.若∠A＝62°，∠AED＝54°，则∠B的大小为( )
A．54° B．62° C．64° D．74°
图9－1－29
图9－1－30
4．2018·昆明在△AOC中，OB交AC于点D，量角器的摆放如图9－1－30所示，则∠CDO的度数为( )
A．90° B．95°
C．100° D．120°
图9－1－31
5．如图9－1－31，AB∥CD，AD和BC相交于点O，∠A＝35°，∠AOB＝75°，则∠C的度数为________．
知识点 2 直角三角形的两个锐角互余
6．如果直角三角形的一个锐角的度数是72°，那么另一个锐角的度数是( )
A．9° B．18°
图9－1－32
C．27° D．36°
7．如图9－1－32，AB，CD相交于点O，AC⊥CD于点C，若∠BOD＝38°，则∠A＝________°.
8．如图9－1－33，在△ABC中，∠C＝∠ABC＝2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数．
图9－1－33
知识点 3 三角形外角的性质
9．如图9－1－34，图中∠1的大小等于( )
A．40° B．50° C．60° D．70°
图9－1－34
图9－1－35
10．2018·广西如图9－1－35，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACD，若∠A＝60°，∠B＝40°，则∠ECD等于( )
A．40° B．45° C．50° D．55°
11．如图9－1－36所示，在锐角三角形ABC中，点D在AC上，点E在BC边的延长线上，请说明：∠ADB＞∠CDE.
图9－1－36
知识点 4 三角形的外角和
12．在△ABC中，如果与∠BAC，∠ABC，∠ACB相邻的外角之比为4∶2∶3，那么∠BAC的度数为( )
图9－1－37
A．20° B．40°
C．70° D．80°
13．如图9－1－37所示，已知∠1＝100°，∠2＝140°，那么∠3＝________°.
【能力提升】
14．将一副三角尺按图9－1－38所示的方式放置，则∠1的大小是( )
A．12° B．15° C．18° D．22.5°
图9－1－38
图9－1－39
15．如图9－1－39，在△ABC中，∠B＝46°，∠C＝54°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE∥AB，交AC于点E，则∠ADE的度数是( )
A．40° B．45° C．50° D．54°
图9－1－40
16．如图9－1－40，在△AEC中，D和F分别是AC和AE上的点，连结DF并延长，交CE的延长线于点B.若∠A＝25°，∠B＝45°，∠C＝36°，则∠DFE的度数为( )
A．103° B．104° C．105° D．106°
17．如图9－1－41，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是角平分线，∠B＝40°，∠DAE＝15°，求∠C的度数．
图9－1－41
18．如图9－1－42，CE平分∠ACD，F为CA延长线上一点，FG∥CE交AB于点G，∠ACD＝100°，∠AGF＝20°，求∠B的度数．
图9－1－42
19. 下面是有关△ABC内外角平分线的探究，阅读后按要求作答：
探究1：如图9－1－43①，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现：∠BOC＝90°＋∠A(不要求证明)．
探究2：如图9－1－43②，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的数量关系，请说明理由．
探究3：如图9－1－43③，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的数量关系？结论：______________．(只写结论，不需证明)
图9－1－43
教师详解详析
1．B [解析] 由三角形内角和定理得∠C＝180°－∠A－∠B＝80°，故选B.
2．D [解析] ∵∠A＝20°，∠B＝60°，∴∠C＝180°－∠A－∠B＝180°－20°－60°＝100°，
∴△ABC是钝角三角形．故选D.
3．C [解析] ∵DE∥BC，∴∠C＝∠AED＝54°.∵∠A＝62°，∴∠B＝180°－∠A－∠C＝64°，故选C.
4．B
5．70° [解析] ∵∠A＝35°，∠AOB＝75°，∠A＋∠B＋∠AOB＝180°，
∴∠B＝180°－35°－75°＝70°.
又∵AB∥CD，
∴∠C＝∠B＝70°.
6．B
7．52 [解析] 观察图形知∠BOD与∠AOC是对顶角，∴∠AOC＝∠BOD＝38°.又在Rt△ACO中，两锐角互余，∴∠A＝90°－38°＝52°.
8．解：∵∠C＝∠ABC＝2∠A，∴∠C＋∠ABC＋∠A＝5∠A＝180°，∴∠A＝36°，∴∠C＝2∠A＝72°.又∵BD是AC边上的高，∴∠DBC＝90°－∠C＝18°.
9．D
10．C
11．解：∵∠ADB是△BCD的一个外角，
∴∠ADB＞∠BCD.
∵∠BCD是△CDE的一个外角，
∴∠BCD＞∠CDE，∴∠ADB＞∠CDE.
12．A [解析] ∵与∠BAC，∠ABC，∠ACB相邻的外角之比为4∶2∶3，∴可设与∠BAC，∠ABC，∠ACB相邻的外角分别为4x，2x，3x，则有4x＋2x＋3x＝360°，解得x＝40°，则4x＝160°，
∴∠BAC＝180°－160°＝20°.
故选A.
13．60 [解析] 根据三角形的外角和为360°，求出∠3的补角，进而求出∠3.
14．B
15．A [解析] ∵∠B＝46°，∠C＝54°，
∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝180°－46°－54°＝80°.
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠BAC＝×80°＝40°.
∵DE∥AB，
∴∠ADE＝∠BAD＝40°.
16．D [解析] ∵∠FEB是△AEC的一个外角，
∴∠FEB＝∠A＋∠C＝61°.
∵∠DFE是△BFE的一个外角，
∴∠DFE＝∠B＋∠FEB＝106°.
故选D.
17．解：∵AD是BC边上的高，∴∠ADE＝90°.
∵∠ADE＋∠AED＋∠DAE＝180°，
∴∠AED＝180°－∠ADE－∠DAE＝180°－90°－15°＝75°.
∵∠B＋∠BAE＝∠AED，
∴∠BAE＝∠AED－∠B＝75°－40°＝35°.
∵AE是△ABC的角平分线，
∴∠BAC＝2∠BAE＝2×35°＝70°.
∵∠B＋∠BAC＋∠C＝180°，
∴∠C＝180°－∠B－∠BAC＝180°－40°－70°＝70°.
18．解：∵CE平分∠ACD，∠ACD＝100°，
∴∠ACE＝∠ACD＝×100°＝50°.
∵FG∥CE，
∴∠AFG＝∠ACE＝50°.
在△AFG中，∠BAC＝∠AFG＋∠AGF＝50°＋20°＝70°.
又∵∠ACB＝180°－∠ACD＝180°－100°＝80°，
∴∠B＝180°－∠BAC－∠ACB＝180°－70°－80°＝30°.
19. [解析] 探究2：根据提供的信息，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，用∠A与∠1表示出∠2，再利用∠2与∠1表示出∠BOC，然后整理即可得到∠BOC与∠A的关系；
探究3：根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义表示出∠OBC与∠OCB，然后根据三角形的内角和定理列式整理即可得解．
解：探究2：∠BOC＝∠A.
理由如下：如图．
∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACD的平分线，
∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ACD.
又∵∠ACD是△ABC的一个外角，
∴∠ACD＝∠A＋∠ABC，
∴∠2＝(∠A＋∠ABC)＝∠A＋∠1.
∵∠2是△BOC的一个外角，
∴∠BOC＝∠2－∠1＝∠A＋∠1－∠1＝∠A.
探究3：∠BOC＝90°－∠A.
理由如下：∵∠OBC＝(∠A＋∠ACB)，∠OCB＝(∠A＋∠ABC)，
∴∠BOC＝180°－∠OBC－∠OCB＝180°－(∠A＋∠ACB)－(∠A＋∠ABC)＝180°－∠A－(∠A＋∠ABC＋∠ACB)＝180°－∠A－×180°＝90°－∠A，
故结论是∠BOC＝90°－∠A.
9.1 2.三角形的内角和与外角和
一、选择题
1．在△ABC中，∠A＝20°，∠B＝60°，则△ABC的形状是( )
A．等边三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．钝角三角形
图1
2．2018·南宁如图1，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACD，若∠A＝60°，∠B＝40°，则∠ECD等于( )
A．40° B．45° C．50° D．55°
3．如果三角形的一个外角与它不相邻的两个内角的和为180°，那么与这个外角相邻的内角等于( )
A．30° B．60° C．90° D．120°
4．[2017·长沙] 一个三角形三个内角的度数之比为1∶2∶3，则这个三角形一定是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
5．如图2，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD∥AB，∠ACD＝40°，则∠B的度数为( )
A．40° B．50° C．60° D．70°
图2 图3
6．如图3，在△ABC中，∠A＝50°，∠ABC＝70°，BD平分∠ABC，则∠BDC的度数是( )
A．85° B．80° C．75° D．70°
图4
7．如图4，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线BE，CD相交于点F，∠ABC＝42°，∠A＝60°，则∠BFC的度数是( )
A．118° B．119° C．120° D．121°
8．如图5，等腰直角三角尺放置在两平行直线m，n上，与直线m相交成∠1＝120°，那么与直线n相交成的∠2等于( )
A．30° B．45° C．60° D．75°
图5 图6
9．如图6，在△ABC中，∠ABC＝50°，∠ACB＝80°，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，则∠BPC的度数是( )
A．100° B．110° C．115° D．120°
10．[2017·株洲] 如图7，在△ABC中，∠BAC＝x，∠B＝2x，∠C＝3x，则∠BAD的度数是( )
A．145° B．150° C．155° D．160°
图7 图8
11．2018·青海小桐把一副三角尺按如图8所示的方式摆放在一起，其中∠E＝90°，∠C＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，则∠1＋∠2等于( )
A．150° B．180° C．210° D．270°
二、填空题
12．2018·滨州在△ABC中，若∠A＝30°，∠B＝50°，则∠C＝________°.
13．如图9，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，若∠A＝50°，则∠DCB＝________°.
图9
14．如图10，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，若∠B＋∠C＝120°，则∠1＋∠2＝________°.
图10
15．如图11，某煤气公司安装煤气管道，他们从点A处铺设到点B处时，由于有一个人工湖挡住了去路，需要改变方向经过点C，再拐到点D，然后沿与AB平行的DE方向继续铺设．如果∠ABC＝135°，∠BCD＝65°，那么∠CDE的度数是________． 图11
三、解答题
16．如图12，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE平分∠ABC交AD于点E，∠C＝60°，∠BED＝70°，求∠ABC和∠BAC的度数．
图12
17．如图13所示，在△ABC中，D是BC边上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝72°，求∠DAC的度数．
图13
18．已知：如图14，P是△ABC的两外角平分线的交点，∠A＝m，求∠BPC的度数(用含m的代数式表示)．
图14
19 探究思想如图15，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B＝70°，∠C＝30°.求：
(1)∠BAE的度数．
(2)∠DAE的度数．
(3)探究：小明认为如果把条件∠B＝70°，∠C＝30°改成∠B－∠C＝40°，也能得出∠DAE的度数．若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由．
图15
1．[解析] D 因为∠A＝20°，∠B＝60°，所以由三角形内角和定理得∠C＝180°－(20°＋60°)＝100°，则△ABC为钝角三角形．
2．[解析] C ∠ACD＝∠A＋∠B＝60°＋40°＝100°.又∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠ECD＝∠ACD＝×100°＝50°.
3．[解析] C 利用外角性质可计算出这个外角为180°÷2＝90°，故与该外角相邻的内角也为90°.
4．[解析] B 设三个内角度数分别为x，2x，3x，由内角和180°＝x＋2x＋3x，得x＝30°，则3x＝90°，所以是直角三角形．
5．[答案] B
6．[解析] A 因为BD平分∠ABC，所以∠ABD＝∠ABC＝×70°＝35°，由三角形外角的性质得∠BDC＝∠A＋∠ABD＝50°＋35°＝85°.
7．[答案] C
8．[解析] D 根据平行线的性质和三角形外角的性质，∠2＝∠1－45°＝120°－45°＝75°.
9．[解析] C 因为BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，所以∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，由∠ABC＝50°，∠ACB＝80°，得∠PBC＝25°，∠PCB＝40°.在△BCP中，由三角形内角和定理得∠BPC＝180°－(25°＋40°)＝115°.
10．[解析] B 由∠BAC＝x，∠B＝2x，∠C＝3x以及三角形内角和定理可得x＝30°.因此∠BAD＝180°－∠BAC＝180°－30°＝150°，故选B.
11．[答案] C
12．[答案] 100
[解析] 因为∠A＋∠B＋∠C＝180°，所以∠C＝100°.
13．[答案] 50
[解析] 因为∠ACB＝90°，CD⊥AB，所以∠ACD＝90°－∠A＝90°－50°＝40°，∠DCB＝90°－∠ACD＝90°－40°＝50°.
14．[答案] 120
[解析] 因为∠B＋∠C＝120°，所以由三角形内角和为180°，知∠A＝180°－(∠B＋∠C)＝180°－120°＝60°.
在△ADE中，根据三角形内角和为180°，得∠1＋∠2＝180°－∠A＝180°－60°＝120°.
15．[答案] 110°
[解析] 如图，延长ED至点G，交BC于点F.
∵AB∥EF，∴∠ABC＝∠GFC＝135°，
∴∠DFC＝180°－∠GFC＝45°.
∵∠BCD＝65°，
∴∠CDE＝∠BCD＋∠DFC＝65°＋45°＝110°.
16．解：∵AD是BC边上的高，∴∠ADB＝90°，∴∠DBE＋∠BED＝90°.
∵∠BED＝70°，∴∠DBE＝20°.
∵BE平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠DBE＝40°.
∵∠BAC＋∠ABC＋∠C＝180°，∴∠BAC＝180°－∠ABC－∠C＝180°－40°－60°＝80°.
17．解：设∠1＝∠2＝x，则∠3＝∠4＝2x.
因为∠BAC＝72°，
所以∠2＋∠4＝108°，即x＋2x＝108°，
所以x＝36°，所以∠3＝∠4＝72°，
故∠DAC＝180°－∠3－∠4＝36°.
18．解：因为∠BPC＝180°－(∠PBC＋∠PCB)，
又因为∠PBC＝(∠A＋∠ACB)，∠PCB＝(∠A＋∠ABC)，所以∠PBC＋∠PCB＝(∠A＋∠ABC＋∠ACB＋∠A)＝(180°＋∠A)＝90°＋∠A.
因为∠A＝m，
所以∠BPC＝180°－(∠PBC＋∠PCB)＝180°－＝90°－∠A＝
90°－.
19 解：(1)∵∠B＋∠C＋∠BAC＝180°，
∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝180°－70°－30°＝80°.
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠BAC＝40°.
(2)∵AD⊥BC，∴∠ADE＝90°，而∠ADE＝∠B＋∠BAD，
∴∠BAD＝90°－∠B＝90°－70°＝20°，
∴∠DAE＝∠BAE－∠BAD＝40°－20°＝20°.
(3)能．∵∠B＋∠C＋∠BAC＝180°，
∴∠BAC＝180°－∠B－∠C.
∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠BAC＝(180°－∠B－∠C)＝90°－(∠B＋∠C)．
∵AD⊥BC，
∴∠ADE＝90°，而∠ADE＝∠B＋∠BAD，∴∠BAD＝90°－∠B.
∴∠DAE＝∠BAE－∠BAD＝90°－(∠B＋∠C)－(90°－∠B)＝(∠B－∠C)．
∵∠B－∠C＝40°，∴∠DAE＝×40°＝20°.
