9.1.3 三角形的三边关系
知识点 1 三角形的三边关系
1．2018·福建下列各组数中，能作为一个三角形三边长的是( )
A．1，1，2 B．1，2，4
C．2，3，4 D．2，3，5
2．若一个三角形两边的长分别为6和9，则第三边长可能是( )
A．16 B．10 C．3 D．2
3．如果三角形两边的长分别为3和5，第三边长是偶数，那么第三边的长可以是( )
A．2 B．3 C．4 D．8
4．若三角形的三边长分别为1，2，c，则c的取值范围是( )
A．1≤c≤3 B．1＜c＜3
C．c＜1 D．c＞3
5．如图9－1－44，A是线段BC所在直线外的任意一点，那么总有BC________AB＋AC.(填“<”“>”或“＝”)
图9－1－44
6．一木工师傅有两根长分别为8 cm、15 cm的木条，他要找第三根木条，将它们钉成一个三角形框架，现有7 cm、20 cm、30 cm长的三根木条，他可以选择长为________ cm的木条．
7．判断以下列长度的三条线段为边，能否构成三角形．
(1)5 cm，8 cm，2 cm；
(2)6 cm，7 cm，8 cm.
8．小颖的爸爸要制作一个三角形木架，现有两根长度分别为8米和5米的木棒，如果要求第三根木棒的长度是整数米，小颖的爸爸有几种选法？第三根木棒的长度可以是多少？
知识点 2 三角形的稳定性
9．如图9－1－45所示，一扇窗户打开后，用窗钩可以将其固定，这里所运用的几何原理是( )
A．三角形的稳定性
B．两点之间，线段最短
C．两点确定一条直线
D．垂线段最短
图9－1－45
图9－1－46
10．王师傅用4根木条钉成一个四边形木架，如图9－1－46.要使这个木架不变形，他至少还要再钉上__________根木条．
11．六边形钢架ABCDEF由6条钢管铰接而成，如图9－1－47所示，为使这一钢架稳固，试用三条钢管连接使之不能活动，方法很多，请至少画出三种．(只需画图，不必写出作法)
图9－1－47
12．如图9－1－48①，M是铁丝AD的中点，将该铁丝首尾相接折成△ABC，且∠B＝30°，∠C＝100°，如图②.则下列说法正确的是( )
图9－1－48
A．点M在AB上
B．点M在BC的中点处
C．点M在BC上，且距点B较近，距点C较远
D．点M在BC上，且距点C较近，距点B较远
13．如图9－1－49，△ABC中AB边的长为10，则△ABC的周长可能为( )
A．16 B．18 C．20 D．22
图9－1－49
图9－1－50
14．如图9－1－50，整数x的值可能为________．
15．已知a，b，c是某个三角形的三边长，则化简|a－b＋c|＋|a－b－c|的结果是 __________．
16．如图9－1－51所示，D是△ABC的边AC上任意一点，连结BD，请判断AB＋BC＋AC与2BD的大小关系，并说明理由．
图9－1－51
17．一个等腰三角形的周长为18 cm，一边长为4 cm，求其他两边的长．
图9－1－52
18．如图9－1－52，用四条线段首尾相接连成一个可活动的框架，其中AB＝12，BC＝14，CD＝18，DA＝24，则A，B，C，D任意两点之间的最长距离为( )
A．24 cm B．26 cm
C．32 cm D．36 cm
19.有长分别为20 cm，90 cm，100 cm的三根木条，不小心将100 cm的一根折断了，怎么也钉不成三角形木架，则：
(1)最长的木条至少折去了多少厘米？
(2)如果最长的木条折去了45 cm，你怎样通过截木条的方法钉成一个小三角形木架
教师详解详析
1．C [解析] 三数中，若较小的两数和大于最大的数，则符合三角形的三边关系，能作为一个三角形的三边长，否则不能作为三角形的三边长．
∵1＋1＝2，∴选项A不能．∵1＋2＜4，∴选项B不能．∵2＋3＞4，∴选项C能．∵2＋3＝5，∴选项D不能．故选C.
2．B [解析] 设第三边长为x，则9－6＜x＜6＋9，即3＜x＜15，所以符合条件的为10，故选B.
3．C [解析] 5－3＜第三边长＜5＋3，即2<第三边长<8.又∵第三边长是偶数，∴第三边长只能是4或6.
4．B 5.<
6．20 [解析] 设第三根木条的长度为x cm，由题意得15－8＜x＜15＋8，即7＜x＜23，则他可以选择长为20 cm的木条，故答案为20.
7．[解析] 根据“三角形的任何两边的和大于第三边”进行判断．
解：(1)因为5＋2<8，所以长度为5 cm，8 cm，2 cm的三条线段不能构成三角形．
(2)因为6＋7>8，所以长度为6 cm，7 cm，8 cm的三条线段能构成三角形．
8．解：设第三根木棒的长度为x米，
则8－5＜x＜8＋5，即3＜x＜13.
∵x取整数，∴小颖的爸爸有9种选法，第三根木棒的长度可以是4米，5米，6米，7米，8米，9米，10米，11米，12米．
9．A 10. 1
11．解：答案不唯一，如图所示．
12．C [解析] 在△ABC中，
∵∠C＝100°，∴AB>AC，
如图，取BC的中点E，则BE＝CE，
∴AB＋BE>AC＋CE.
由三角形三边关系，得AC＋BC>AB，
∴AB<(AB＋BC＋AC)，
∴AD的中点M在BE上，
即点M在BC上，且距点B较近，距点C较远．
故选C.
13．D [解析] ∵△ABC中AB边的长为10，
∴另外两条边的长的和大于10，
∴△ABC的周长大于20，
∴△ABC的周长可能为22.
故选D.
14. 8或9 [解析] 由三角形三边关系可得：在上面的三角形中4＜x＜10，在下面的三角形中7＜x＜15，故7＜x＜10.故填8或9.
15. 2c [解析] ∵a，b，c是三角形的三边长，
∴即a－b＋c＞0，a－b－c＜0，
∴|a－b＋c|＋|a－b－c|＝a－b＋c－(a－b－c)＝a－b＋c－a＋b＋c＝2c.
16．解：AB＋BC＋AC＞2BD.
理由如下：
∵在△ABD中，AB＋AD＞BD，
在△BCD中，BC＋CD＞BD，
∴AB＋BC＋AD＋CD＞2BD，
即AB＋BC＋AC＞2BD.
17．解：∵等腰三角形的周长为18 cm，三角形的一边长为4 cm，
∴若4 cm是底边长，则腰长为
×(18－4)＝7(cm)．
∵4 cm，7 cm，7 cm能组成三角形，
∴此时其他两边长分别为7 cm，7 cm；
若4 cm为腰长，则底边长为18－4－4＝10(cm)．
∵4＋4＝8＜10，
∴不能组成三角形，故舍去．
综上所述，其他两边长分别为7 cm，7 cm.
18．C
19．解：(1)第三边长x的取值范围为70＜x＜110，所以最长木条至少折去了30 cm.
(2)三根木条的长分别为20 cm，90 cm，55 cm，因为20＋55<90，所以把90 cm长的木条截去k cm变为y cm，而35＜y＜75，所以15＜k＜55时，就能钉成一个小三角形木架．
9.1 3.三角形的三边关系
一、选择题
1．2018·福建A卷下列各组数中，能作为一个三角形三边长的是 ( )
A．1，1，2 B．1，2，4
C．2，3，4 D．2，3，5
2．[2017·淮安] 若一个三角形两边的长分别为5和8，则第三边长可能是( )
A．14 B．10 C．3 D．2
3．有两根长度分别为4，9的木棒，若想钉一个三角形木架，现有五根长度分别为3，6，11，12，13的木棒供选择，则选择的方法有( )
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
4．一个等腰三角形的两边长分别为4，8，则它的周长为( )
A．12 B．16 C．20 D．16或20
5．若△ABC的三边长分别为整数，周长为11，且有一边长为4，则这个三角形的最大边长为( )
A．7 B．6 C．5 D．4
6．有长分别为2 cm，3 cm，4 cm，6 cm的4根木棒，选其中的3根作为三角形的边，可以围成的三角形的个数是 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
7．如图K－28－1，王师傅用4根木条钉成一个四边形木架ABCD.要使这个木架不变形，他至少还要再钉上________根木条．
8．等腰三角形两边的长分别为6和12，则它的周长为________．
9．2018·绥化已知三角形三边长分别为3，2a－1，4，则a的取值范围是________． 图K－28－1
10．已知A，B，C是平面上不在同一直线上的三点，且AB＝3，AC＝5，那么这三个点之间的距离和的范围是____________________．
11．在△ABC中，三边长分别为3，x，8，若x为偶数，则三角形的周长的最大值为________.
三、解答题
12．(1)如果等腰三角形的一边长是4 cm，另一边长是9 cm，那么这个等腰三角形的周长为多少？
(2)如果等腰三角形的一边长是5 cm，另一边长是8 cm，那么这个等腰三角形的周长是多少？
13 小兵在用长度分别为10 cm，45 cm和50 cm的三根木条钉一个三角形时，不小心将50 cm的木条折断了，之后就怎么也钉不成一个三角形木架．
(1)最长的木条至少折断了多少厘米？
(2)如果最长的木条折断了25 cm，你怎样通过截木条的方法钉成一个小三角形？
1．[解析] C ∵1＋1＝2，∴选项A不符合题意；∵1＋2＜4，∴选项B不符合题意；∵2＋3＞4，∴选项C符合题意；∵2＋3＝5，∴选项D不符合题意．故选C.
2．[解析] B 设第三边长为a，根据“三角形三边之间的关系”得8－5＜a＜8＋5，即3＜a＜13，所以10可能是第三边长．
3．[解析] C 若能钉一个三角形木架，则第三根木棒的长应满足大于5且小于13，五根木棒中只有6，11，12满足这一要求，所以选择的方法有3种．
4．[解析] C 若4为腰，则此时三边长为4，4，8，因为4＋4＝8，所以三角形是不存在的；若8为腰，则此时三边长为8，8，4，且符合三角形三边关系，所以周长为20.
5．[解析] C 若三角形的周长为11，一边长为4，则另外两边长的和为7，组合可能是1，6；2，5；3，4.根据三边组成三角形的条件，能够组成三角形的只有2，4，5；3，4，4，所以这个三角形的最大边长为5.
6．[解析] B 可以围成三角形的是2 cm，3 cm，4 cm和3 cm，4 cm，6 cm.
7．[答案] 1
[解析] 加上AC或BD后，原不稳定的四边形ABCD中具有了稳定的三角形，这种做法根据的是三角形的稳定性．
8．[答案] 30
[解析] 三边的长有两种情况：(1)6，6，12；(2)6，12，12，其中6，6，12不能构成三角形，所以三角形三边长为6，12，12，其周长为30.
9．[答案] 1＜a＜4
[解析] ∵三角形三边长分别为3，2a－1，4，
∴4－3＜2a－1＜4＋3，解得1＜a＜4.
故答案为1＜a＜4.
10．[答案] 大于10且小于16
[解析] 由三角形的边AB＝3，AC＝5，那么5－3＜BC＜3＋5, 即2＜BC＜8.因为AC＋AB＝8，所以2＋8＜AB＋AC＋BC＜8＋8，即10＜AB＋AC＋BC＜16.
11．[答案] 21
[解析] 由三角形三边的关系，得8－3＜x＜8＋3，即5＜x＜11，取最大偶数为10，所以周长最大为3＋8＋10＝21.
12．解：(1)若4 cm为底边，9 cm为腰，有4＋9>9和9＋9>4，故能构成三角形，则周长为4＋9＋9＝22(cm)；若4 cm为腰，9 cm为底边，有4＋4<9，故不能构成三角形．综上，这个等腰三角形的周长为22 cm.
(2)若5 cm为底边，8 cm为腰，有5＋8>8和8＋8>5，故能构成三角形，则周长为5＋8＋8＝21(cm)；若5 cm为腰，8 cm为底边，有5＋5>8和8＋5>8，故也能构成三角形，则周长为5＋5＋8＝18(cm)．综上，这个等腰三角形的周长为21 cm或18 cm.
13 解：(1)设折断后的第三边长为x cm，如果与长为10 cm，45 cm的两根木条能构成三角形，
则45－10(2) 最长的木条折断了25 cm，那么三根木条的长度分别为10 cm，45 cm和25 cm，要能构成三角形，需要从长度为45 cm的木条截取一段，再与10 cm和25 cm的两根木条组成三角形，设第三条边的长度为k cm，则25－10
