9.1.2.三角形的内角和与外角和 教案（表格式）

课题
2.三角形的内角和与外角和
教
学
目
标
知识技能
　　了解三角形的内角和、外角和及其性质.
数学思考
　　经历探究三角形内角和是180°的过程以及外角性质的探索.
问题解决
　　学会运用简单的说理来计算三角形相关的角.
情感态度
　　培养学生的实践能力和观察总结能力，体验主动探究的成功和快乐.
教学重点
　　探索三角形的内角和定理及三角形的外角性质.
教学难点
　　三角形内角和、外角和的探索过程.
授课类型
新授课
课时
教具
量角器、三角板、直尺、多媒体
教学活动
教学
步骤
师生活动
设计意图
回顾
　　请回顾下列知识点：平角的定义，平行线的性质，并完成下面的问题：
图9－1－81
已知：如图9－1－81，点B，A，E在同一直线上，∠1＝∠B.
试说明：∠C＝∠2.
证明：∵∠1＝∠B(　　　　　)，
∴AD∥BC(　　　　　　)，
∴∠C＝∠2(　　　　　　).
　为讲解本节课知识做铺垫.
活动
一：
创设
情境
导入
新课
【课堂引入】
(多媒体展示)实践出真知，想一想、议一议：如图9－1－82，假如你正站在金字塔下，现有用于测量角的量角器，但为了保护文化遗产，在不允许人攀爬的情况下，你能否想办法测量塔尖处一个侧面角的度数吗？说一说你的做法．(课件)
图9－1－82
看图读题，并思考怎样做，在小组内交流．小组汇总意见，推荐代表发言——可以测出侧面三角形底边的两个角后，求出塔尖处的侧面角.
师：我们已经知道三角形按角来分，可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，那么三角形的三个内角有什么关系呢？引入新课.
创设情境，激发学生的求知欲，引导学生主动探索和解决问题，引入新课.
活动
二：
实践
探究
交流
新知
[探究1] 三角形的内角和
1.量一量：一副三角板的每个角各是多少度？一个三角板三个内角的和各是多少？
2.猜一猜：任意一个三角形的三个内角和都相同吗？它是多少度呢？
3.动动手，仔细观察：
(1)拼拼看，将任意一个三角形的三个内角拼合在一起会形成什么角？
(2)观察：小组内观察比较，会得出什么结论？
4.你能设计一种方案来说明你的结论吗？即三角形的三个内角的和为180°.
(课件出示两种基本的说理方法)
教师点拨：三角形的内角和定理的证明方法很多，但不管哪种方法其根本思路都是设法将问题转化为“平角”或“两直线平行，同旁内角互补”来解题.
1.体现启发式教学，每位学生都能参与课堂，循序渐进，充分调动学生的积极性和探索的精神.
2.学生通过观察、思考、讨论、分析的过程，体验探究三角形内角和的方法.
(续表)
活动
二：
实践
探究
交流
新知
　　5.几种常见的验证方法的辅助线作法．
经过师生的合作交流，归纳出如下的解题方法：
图9－1－83
6．于是可得定理：三角形的内角和等于180°.
学生活动：将事先准备好的三角形的三个角拼合在一起，并观察思考，可能得出什么结论．分组交流与研讨，并抽一名学生说一说本组的方法．
教师活动：指导拼合形成平角．深入参与活动、指导、倾听学生交流，引导多种方法说明．在测量、拼图等感性活动的基础上，引导学生添加辅助线．
[探究2] 直角三角形的性质与判定
(1)直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余．
图9－1－84
如图9－1－84所示，在Rt△ABC中，如果∠C＝90°，那么∠A＋∠B＝90°.
(2)直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形．
如图9－1－84所示，在△ABC中，如果∠A＋∠B＝90°，那么∠C＝90°，即△ABC是直角三角形．
师生共同探究：由三角形的内角和定理可知，三角形的三个内角的和为180°，如果有两个角的和为90°，那么第三个角自然是直角．由直角三角形的定义可知，该三角形为直角三角形．
[探究3] 三角形的外角
三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
外角的特征有三个：
(1)顶点在三角形的一个顶点上．
(2)一条边是三角形的一边．
(3)另一条边是三角形某条边的延长线．
把三角形各边向两方延长，就可以画出一个三角形所有的外角，可以得到：一个三角形有六个外角，其中有三个与另外三个相等，所以研究时，只讨论不同顶点处的三个外角的性质．
图9－1－85
如图9－1－85，∠1是△ABC的一个外角，∠1与图中的其他角有什么关系呢？能说明你的结论是正确的吗？
解：∵∠1＋∠4＝180°，∠2＋∠3＋∠4＝180°，∴∠2＋∠3＝180°－∠4，∠1＝180°－∠4，∴∠1＝∠2＋∠3.
把结论归纳成语言为：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
探究得到结论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
3.通过动手操作、实验说明，逐步培养学生的合作意识，降低学习难度，培养多元化的思维方式，让学生体验到数学活动充满探索.
活动
二：
实践
探究
交流
新知
[探究4] 三角形的外角和
1．做一做
在一张白纸上画出如图9－1－86所示的图形，把∠1，∠2，∠3剪下来拼在一起，看看会出现什么结果，你能说说理由吗？
图9－1－86
2.说一说
在上图中，∠1＋________＝180°，∠2＋________＝180°，∠3＋________＝180°，三式相加可以得到∠1＋∠2＋∠3＋________＋________＋________＝________①，而∠ACB＋∠BAC＋∠ABC＝________②，把①和②作比较，你能得到什么结论？
3．你还有更好的说理方法吗？
【庐山】位于江西省九江市，庐山以雄、奇、险、秀闻名于世，富有独特的庐山文化，具有重要的科学价值和旅游观赏价值．素有“匡庐奇秀甲天下”之美誉，与鸡公山、北戴河、莫干山并称四大避暑胜地．于1996年12月6日被批准列入《世界遗产名录》，英文名称为Mount Lushan.
　4.了解三角形的外角和等于360°，为后面学习多边形做铺垫．渗透数形结合的数学思想方法，提高学生的说理能力.
活动
三：
开放
训练
体现
应用
【应用举例】
图9－1－87
例1　如图9－1－87是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50°的方向，B岛在A岛的北偏东80°的方向，C岛在B岛的北偏西40°方向．从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度？
分析：
(1)由C岛在A岛的北偏东50°方向，可知∠DAC＝__50__°.
又由B岛在A岛的北偏东80°方向，可知∠DAB＝__80__°.
从而可得∠CAB＝__30__°.
(2)由C岛在B岛的北偏西40°方向，可知∠CBE＝__40__°.
(3)从图形信息，知AD与BE的位置关系是__互相平行__，由此可推出∠DAB＋∠ABE＝__180__°，∠ABE＝__100__°，∠ABC＝∠ABE－∠CBE＝__60__°.
(4)由三角形内角和定理，在△ABC中，有__∠ACB＝180°－∠CAB－∠ABC＝90°__.
(5)如图9－1－87，如果过点C作CF∥AD交AB于点F，那么CF与BE的位置关系是__互相平行__．理由：__如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条线也互相平行__.
(6)由CF∥AD可以推出∠ACF＝__∠DAC__＝__50__°.
又由CF∥BE可以推出∠BCF＝__∠CBE__＝__40__°，
从而∠ACB＝∠ACF＋∠BCF＝__90__°.
图9－1－88
例2　如图9－1－88，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AE平分∠BAC，∠B＝80°，∠C＝46°.
(1)你会求∠DAE的度数吗？
(2)你能发现∠DAE与∠B，∠C有什么关系吗？
(3)若只知道∠B－∠C＝20度，你能求出∠DAE的度数吗？
通过例题教学使学生养成说理的思维习惯，培养学生的逻辑能力、论证能力.
活动
三：
开放
训练
体现
应用
　　
分析：(1)∠DAE是哪个三角形的内角或外角？
(2)△ADE中，已知什么？要求出∠DAE，只需求什么？
(3)∠AED是哪个三角形的外角？
(4)在△AEC中已知什么？要求∠AEB，只需求什么？
(5)怎么样求∠EAC的度数？
引申：(1)还有其他方法求∠DAE的度数吗？
(2)你能说明为什么∠DAE＝(∠B－∠C)吗？
【拓展提升】
图9－1－89
例3　如图9－1－89，BD，CD分别平分∠ABC、∠ACB，请你探索∠A和∠D的数量关系．
学生小组合作、分组讨论，探索其中的数量关系．观察图形可以发现，∠A和∠D分别在两个三角形内，分别利用三角形内角和等于180°可以得到：
∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°、∠D＋∠1＋∠2＝180°，
又根据角平分线的定义2∠1＝∠ABC，2∠2＝∠ACB，于是有2(∠1＋∠2)＝∠ABC＋∠ACB，所以∠ABC＋∠ACB＝2(180°－∠D)，将其代入∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°得到∠A＋2(180°－∠D)＝180°，
整理得∠D＝90°＋∠A.
教师重点关注学生对待已解问题与未解问题的对比分析能力；给予学生一定的时间去思考，充分讨论，争取让学生自己得到解答方法；鼓励学生大胆猜想，发表见解.
　1.应用提高、拓展创新，培养学生分析、解决问题的能力以及创新能力．
2．知识的综合与拓展提高应考能力.
【达标测评】
1.填空题：
(1)在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝50°，则∠C＝__100°__.
(2)在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝50°，则∠A＝__40°__.
(3)在△ABC中，∠A＝40°，∠A＝2∠B，则∠C＝__120°__.
(4)在△ABC中，∠A等于直角的一半，∠B等于直角的，则∠C＝__75°__.
2.在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，求∠A，∠B，∠C的度数.
3.在△ABC中，已知∠A＋∠C＝2∠B，∠C－∠A＝80°，则∠C的度数是(　　)
A.60°　　B．80°　　C．100°　　D．120°
4.△ABC中，若∠A＝30°，∠B＝∠C，则∠B＝__50°__，∠C＝__100°__.
5.在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝60°，AD是∠BAC的平分线，则∠DAC的度数为__40°__.
　通过设置达标测评，进一步巩固所学新知，同时检测学习效果，做到“堂堂清”.
(续表)
活动
三：
开放
训练
体现
应用
　　6.如图9－1－90，已知∠1＝20°，∠2＝25°，∠A＝35°，则∠BDC的度数等于__80°__．
图9－1－90
图9－1－91
7.如图9－1－91，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，EG平分∠BEF，若∠1＝72°，则∠2＝__54°__．
8．如图9－1－92，∠α＝125°，∠1＝75°，则∠β的度数是__130°__．
图9－1－92
学生完成达标测评后，教师进行批阅、点评、讲解.
活动
四：
课堂
总结
反思
【课堂总结】
1.课堂总结：
(1)本节课主要学习了哪些知识？学习了哪些数学思想和方法？
(2)本节课还有哪些疑惑？说一说！
2.布置作业：
教材P79练习第.
　　注重课堂小结，激发学生参与的主动性，为每一个学生的发展与表现创造机会.
【知识网络】

　　提纲挈领，重点突出.
【教学反思】
①[授课流程反思]
本设计先让学生动手操作以便使学生对三角形内角和形成感性认识，然后再根据拼图说出结论成立的理由，由浅入深，循序渐进，学生易接受．教师引导学生对三角形的三个角进行拼合，可以出现不同的方法，这样才能让学生充分发挥自己的主动性和创新能力.
②[讲授效果反思]
教学过程中注重学生的自主学习，提倡学生“动手做，动脑想，大胆猜，多训练，勤钻研”，通过自我实践，自我思考，自我总结，最终建构起自己的知识．在讲解三角形外角时，要强调“不相邻”．注意方程思想的应用.
　　反思教学过程和教师表现，进一步提升操作流程和自身素质.
(续表)
活动
四：
课堂
总结
反思
　　③[师生互动反思]
从课堂交流和课堂检测来看，学生应加强概念及性质定理的理解和应用．
④[习题反思]
好题题号____________________
错题题号__________________