2.3 等差数列的前n项和(2)同步学案

高二数学 必修5 第二章 §2.3 等差数列的前n项和(2)
班级 姓名
学习目标
1. 进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式；
2. 了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题；
3. 会利用等差数列通项公式与前 n项和的公式研究的最大（小）值.
学习过程
一、课前准备
（预习教材P45 ~ P46，找出疑惑之处）
复习：等差数列{}的前n项和= = .
二、新课导学
※ 学习探究
问题：如果一个数列的前n项和为，其中p、q、r为常数，且，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？
※ 典型例题
例1、已知数列的前n项为，求这个数列的通项公式. 这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？
变式1、已知数列的前n项为，求这个数列的通项公式.
小结：数列通项和前n项和关系为=，由此可由求.
例2、已知等差数列的前n项和为，求使得最大的序号n的值.
变式2、等差数列{}中， ＝－15， 公差d＝3， 求数列{}的前n项和的最小值.
变式3、等差数列{}，，，该数列前多少项的和最小？
例3、等差数列{an}中，S3＝21，S6＝24，求数列{|an|}的前n项和Tn.
小结：等差数列前项和的最大（小）值的求法.
（1）利用: 当>0，d<0，前n项和有最大值，可由≥0，且≤0，求得n的值；当<0，d>0，前n项和有最小值，可由≤0，且≥0，求得n的值
（2）利用：由，利用二次函数配方法求得最大（小）值时n的值.
三、总结提升
※ 学习小结
1. 数列通项和前n项和关系；
2. 等差数列前项和最大（小）值的两种求法.
课后作业
一、基础训练题
1．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－9n，第k项满足52．已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋n＋1，则an＝________.
3．若数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n＋5，则a5＋a6＋a7＝________.
4．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a4＝1，S5＝10，则当Sn取得最大值时，n的值为________．
5．已知等差数列{an}中，
(1)a1＝，S4＝20，求S6； (2)a1＝，d＝－，Sn＝－15，求n及an；
(3)a1＝1，an＝－512，Sn＝－1 022，求d.
6．设等差数列{an}满足a3＝5，a10＝－9.
(1)求{an}的通项公式； (2)求{an}的前n项和Sn及使得Sn最大的序号n的值．
7．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝12，且S12>0，S13<0.
(1)求公差d的范围； (2)问前几项的和最大，并说明理由．
二、提高训练题
8．等差数列{an}中，首项a1>0，公差d<0，Sn为其前n项和，则点(n，Sn)可能在下列哪条曲线上(　　)．
9．在等差数列{an}中，a1＝－60，a17＝－12，求数列{|an|}的前n项和．
10．(创新拓展)已知数列{an}的前n项和为Sn(Sn≠0)，且满足an＋2Sn·Sn－1＝0(n≥2)，a1＝.
(1)求证：是等差数列； (2)求数列{an}的通项公式．
必修5第二章 §2.3 等差数列的前n项和(2)参考答案
例3、解：?d＝－2，a1＝9.
∴a5＝q＋4d＝9－8＝1>0，
a6＝9－10＝－1<0，∴当n<6时有an>0，
若n≤5，则Tn＝Sn＝－n2＋10n.
若n≥6，则Tn＝2S5－Sn＝n2－10n＋50，
∴Tn＝
1、解析　由an＝∴an＝2n－10.
由5<2k－10<8，得7.5答案　8
2、解析　当n＝1时，a1＝S1＝3；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n＋1－[(n－1)2＋(n－1)＋1]＝2n.此时，
当n＝1时，2n＝2≠3.
所以an＝
答案　
3、解析　a5＋a6＋a7＝S7－S4＝39.
答案　39
解析　由a4＝1，S5＝10，得a1＋3d＝1,5a1＋d＝10，解得a1＝4，d＝－1，
因为Sn＝n2＋n＝－n2＋n，又n为正整数，所以当n的值为4或5时，Sn取得最大值．5.
答案　4或5
5、解　(1)S4＝4a1＋d＝4a1＋6d＝2＋6d＝20，∴d＝3.
故S6＝6a1＋d＝6a1＋15d＝3＋15d＝48.
(2)∵Sn＝n·＋＝－15，
整理得n2－7n－60＝0，解得n＝12或n＝－5(舍去)，
a12＝＋(12－1)×＝－4.
(3)由Sn＝＝＝－1 022，解得n＝4.
又由an＝a1＋(n－1)d，即－512＝1＋(4－1)d，
解得d＝－171.
6、解：(1)由an＝a1＋(n－1)d及a3＝5，a10＝－9得可解得
所以数列{an}的通项公式为an＝11－2n.
(2)由(1)知，Sn＝na1＋d＝10n－n2.因为Sn＝－(n－5)2＋25，
所以当n＝5时，Sn取得最大值．
7、解　(1)∵a3＝12，∴a1＝12－2d，∵S12>0，S13<0，
∴即∴－(2)∵S12>0，S13<0，
∴∴.∴a6>0，
又由(1)知d<0.
∴数列前6项为正，从第7项起为负．
∴数列前6项和最大．
8、解析　由Sn＝na1＋n(n－1)d＝n2＋n，及d<0，a1>0知，<0，a1－>0，排除A、B.对称轴n＝－＝>0，排除D.
答案　C
9、解　数列{an}的公差d＝＝＝3，
∴an＝a1＋(n－1)d＝－60＋(n－1)×3＝3n－63.
由an<0，得3n－63<0，即n<21.
∴数列{an}的前20项是负数，第20项以后的项都为非负数．
设Sn，Tn分别表示数列{an}和{|an|}的前n项之和，
当n≤20时，Tn＝－Sn＝－＝－n2＋n；
当n>20时，Tn＝－S20＋(Sn－S20)＝Sn－2S20＝－60n＋×3－2×＝n2－n＋1 260.∴数列{|an|}的前n项和
Tn＝
10、解　(1)∵－an＝2SnSn－1，∴－Sn＋Sn－1＝2SnSn－1(n≥2)，又Sn≠0(n＝1,2,3，…)．
∴－＝2.又＝＝2，∴是以2为首项，2为公差的等差数列．
(2)由(1)可知＝2＋(n－1)·2＝2n，∴Sn＝.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝－
(或n≥2时，an＝－2SnSn－1＝－)；
∴an＝