2.3 等差数列的前n项和(3)同步学案

高二数学 必修5 第二章 §2.3 等差数列的前n项和(3)
班级 姓名
学习目标
1. 进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式；
2. 了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题；
学习过程
一、课前准备
复习1：等差数列{}的前n项和= = .
复习2：数列通项和前n项和关系为=
二、新课导学
※ 学习探究
探究一：等差数列的前n项和公式的性质
问题：一个公差为d等差数列的前n项和为，那么：是否为等差数列，若果是公差是什么？
探究二：等差数列的奇数项和与偶数项和的性质
等差数列奇数项与偶数项的性质如下：
1°若项数为偶数2n，则 ； ；
2°若项数为奇数2n＋1，则 ； ； ；
.
※ 典型例题
例1、等差数列{}的前m项和为30，前2m项和为100，求它的前3m项和.
变式1、设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则＝
例2、在项数为2n+1的等差数列中，所有奇数项和为165，所有偶数项和为150，求n的值.
变式2、在等差数列中，公差d＝，，则 .
变式3．有两个等差数列{an}，{bn}，其前n项和分别为Sn，Tn，若＝，则＝________.
变式4、在等差数列{an}中，am≠0，若m>1且am－1＋am＋1－am2＝0，S2m－1＝38，则m等于(　　)．
A．38 B．20 C．10 D．9
三、总结提升
※ 学习小结
1. 等差数列前项和的性质；
2. 等差数列奇数项和与偶数项和的关系.
课后作业
一、基础训练题
1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S101＝0，则有(　　)
A．a1＋a101>0 B．a1＋a101<0 C．a1＋a101＝0 D．a1＋a101的符号不确定
2．设Sn是等差数列{an}的前n项和且a3＝－6，a7＝6，则(　　)
A．S4＝S5 B．S5＝S6 C．S4>S6 D．S5>S6
3．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则等于 (　　)．
A．1 B．－1 C．2 D.
4．已知某等差数列共20项，其所有项和为75，偶数项和为25，则公差为 (　　)．
A．5 B．－5 C．－2.5 D．2.5
5．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36.则a7＋a8＋a9等于(　　)
A．63 B．45 C．36 D．27
6．等差数列{an}的公差d不为0，Sn是其前n项和，则下列命题错误的是(　　)
A．若d<0，且S3＝S8，则{Sn}中，S5和S6都是{Sn}中的最大项
B．给定n，对于一切k∈N*(kC．若d>0，则{Sn}有最小值的项
D．存在k∈N*，使ak－ak＋1和ak－ak－1同号
7．等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若＝，则＝________，＝________.
8．一个等差数列共有2003项，那么它的偶数项之和与奇数项之和的比为________．
9．已知等差数列{an}的公差为－2，且a1＋a4＋a7＋…＋a97＝50，则a3＋a6＋a9＋…＋a99＝________.
10．等差数列{an}奇数项的和为51，偶数项的和为42，首项为1，项数为奇数，求此数列的末项及通项公式．
二、提高训练题
11．已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝(an＋1)2，且an>0.
(1)求a1，a2； (2)求{an}的通项公式；
(3)令bn＝20－an，求数列{bn}的前n项和Tn的最大值．
12．若有穷数列a1，a2，…，an(n是正整数)，满足a1＝an，a2＝an－1，…，an＝a1，即ai＝an－i＋1(i是正整数，且1≤i≤n)，就称该数列为“对称数列”．
(1)已知数列{bn}是项数为7的对称数列，且b1，b2，b3，b4成等差数列，b1＝2，b4＝11，试写出{bn}的每一项；
(2)已知{cn}是项数为2k－1(k≥1)的对称数列，且ck，ck＋1，…，c2k－1构成首项为50，公差为－4差为－4的等差数列，数列{cn}的前2k－1项和为S2k－1，则当k为何值时，S2k－1取到最大值？最大值为多少？
必修5第二章 §2.3 等差数列的前n项和(3)参考答案
1、答案　C
2、解析　∵a3＋a7＝2a5＝0，∴a5＝0，∴S4＝S5.
答案　A
3、解析　＝＝＝＝·＝1.
答案　A
4、解析　由题意知S奇＋S偶＝75，又S偶＝25，
∴S奇＝50，由等差数列奇数项与偶数项的性质得S偶－S奇＝10d，即25－50＝10d，∴d＝－2.5.
答案　C
5、解析：∵数列{an}为等差数列，∴S3，S6－S3，S9－S6成等差数列．
即2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6) ∵S3＝9，S6－S3＝27，则S9－S6＝45.
∴a7＋a8＋a9＝S9－S6＝45.
答案：B
6、解析：A中，d<0，S3＝S8，则S8－S3＝0，∴a4＋a5＋a6＋a7＋a8＝5a6＝0，∴a6＝0，∴S5和S6最大，A正确；B中，an－k＋an＋k＝a1＋(n－k－1)d＋a1＋(n＋k－1)d＝2[a1＋(n－1)d]＝2an，∴B正确；C中，d>0，S1＝a1最小，∴C正确；D中，(ak－ak＋1)(ak－ak－1)＝(－d)×d＝－d2<0，∴D错误，故选D.
答案：D
7、解析：∵＝＝＝＝＝，∴＝＝.
答案：　
8、解析：设项数为2n－1，公差为d，
则＝＝＝.
∴当2n－1＝2003时，＝.
答案：
9、解析：∵a3＋a6＋a9＋…＋a99＝(a1＋a4＋a7＋…＋a97)＋33×(－4)＝50＋(－132)＝－82.
答案：－82
10、解：运用等差数列的性质，求出项数n，公差d，再求an.设项数为n＝2k＋1，
中间项为ak＋1，偶数项有k项，奇数项有k＋1项．
则S奇＝(k＋1)(a1＋a2k＋1)＝(k＋1)ak＋1＝51，
S偶＝(a2＋a2k)＝kak＋1＝42，两式相除，得k＝5，
∴n＝11，∴ak＋1＝a6＝＝，又a1＝1，a1＋a11＝2a6，
∴a11＝16＝1＋10d，∴d＝，∴an＝1＋(n－1)d＝，a11＝16.
11、解　(1)a1＝S1＝(a1＋1)2?a1＝1.
a1＋a2＝(a2＋1)2?a2＝3.
(2)当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝[(an＋1)2－(an－1＋1)2]＝(a－a)＋(an－an－1)，
由此得(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0.
∵an＋an－1≠0，∴an－an－1＝2.
∴{an}是首项为1，公差为2的等差数列．
∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1.
(3)∵bn＝20－an＝21－2n，
∴bn－bn－1＝－2，b1＝19.
∴{bn}是以19为首项，－2为公差的等差数列．
∴ Tn＝19n＋×(－2)＝－n2＋20n.
故当n＝10时，Tn的最大值为100.
12、解　(1)设{bn}的公差为d，则b4＝b1＋3d＝2＋3d＝11，
解得d＝3，
∴数列{bn}为2,5,8,11,8,5,2.
(2)S2k－1＝c1＋c2＋…＋ck－1＋ck＋ck＋1＋…＋c2k－1＝2(ck＋ck＋1＋…＋c2k－1)－ck
＝2(－2k2＋52k)－50＝－4(k2－26k)－50＝－4(k－13)2＋4×132－50，
∴当k＝13时，S2k－1取得最大值．S2k－1的最大值为626.