2.4 等比数列(1)同步学案

高二数学 必修5 第二章 §2.4 等比数列(1)
班级 姓名
学习目标
1理解等比数列的概念；探索并掌握等比数列的通项公式、性质；
2. 能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，提高数学建模能力；
3. 体会等比数列与指数函数的关系.
学习过程
一、课前准备
（预习教材P48 ~ P51，找出疑惑之处）
复习1：等差数列的定义？
复习2：等差数列的通项公式 ，
等差数列的性质有：
二、新课导学
※ 学习探究
观察：①1，2，4，8，16，…
②1，，，，，…
③1，20，，，，…
思考以上四个数列有什么共同特征？
新知：
等比数列定义：如果一个数列从第 项起， 一项与它的 一项的 等于 常数，那么这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的 ，通常用字母 表示（q≠0），
即：= （q≠0）
2. 等比数列的通项公式：
； ； ； … …
∴ 等式成立的条件
3. 等比数列中任意两项与的关系是：
※ 典型例题
例1、（1）一个等比数列的第5项是，公比是－，求它的第1项；
（2）一个等比数列的第2项是10，第3项是20，求它的第1项与第4项.
变式1、在等比数列{an}中，满足2a4＝a6－a5，求数列的公比。
小结：关于等比数列的问题首先应想到它的通项公式.
例2、已知数列{}中，lg ，试用定义证明数列{}是等比数列.
变式2、数列{an}，{bn}满足下列条件，a1＝0，a2＝1，an＋2＝，bn＝an＋1－an.
(1)求证：{bn}是等比数列． (2)求{bn}的通项公式．
小结：要证明一个数列是等比数列，只需证明对于任意正整数n，是一个不为0的常数就行了.
三、总结提升
※ 学习小结
1. 等比数列定义；
2. 等比数列的通项公式和任意两项与的关系.
课后作业
一、基础训练题
1．下列数列是等比数列的是(　　)
A．1,1,1,1,1　　B．0,0,0，…　　C．0，，，，… D．－1，－1,1，－1，…
2．等比数列{an}中，a1＝2，q＝3，则an等于(　　)
A．6 B．3×2n－1 C．2×3n－1 D．6n
3．在等比数列{an}中，若a2＝3，a5＝24，则数列{an}的通项公式为(　　)
A.·2n B.·2n－2 C．3·2n－2 D．3·2n－1
4．等比数列{an}中，a1＋a2＝8，a3－a1＝16，则a3等于(　　)
A．20 B．18 C．10 D．8
5．已知等比数列{an}的公比为正数，且a3·a9＝2a，a2＝1，则a1等于(　　)
A. B. C. D．2
6．等比数列{an}中，|a1|＝1，a5＝－8a2，a5＞a2，则an＝(　　)
A．(－2)n－1 B．－(－2)n－1 C．(－2)n D．－(－2)n
7．下列四个命题中正确的是(　　)
A．公比q＞1的等比数列的各项都大于1 B．公比q＜0的等比数列是递减数列
C．常数列是公比为1的等比数列 D．{lg2n}是等差数列而不是等比数列
8．等比数列{an}的各项均为正，公比q满足q2＝4，则＝________.
9．等比数列{an}中，若an＋2＝an，则公比q＝__________；若an＝an＋3，则公比q＝__________.
10．在等比数列{an}中，
(1)已知a3＝9，a6＝243，求a5；(2)已知a1＝，an＝，q＝，求n.
(3)a6－a4＝24，a3a5＝64，求an；
二、提高训练题
11．在右列表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每纵列成等比数列，则x＋y＋z的值为________．
2
4
1
2
x
y
z
12．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1.
(1)求证：数列{an＋1}是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
必修5第二章 §2.4 等比数列（1）参考答案
1、答案：A
2、答案：C
3、解析：选C.∵q3＝＝＝8，∴q＝2，而a1＝＝，∴an＝×2n－1＝3·2n－2.
答案：C
4、解析：选B.设公比为q(q≠1)，则a1＋a2＝a1(1＋q)＝8， a3－a1＝a1(q2－1)＝16，
两式相除得：＝，解得q＝3.
又∵a1(1＋q)＝8，∴a1＝2，
∴a3＝a1q2＝2×32＝18.
答案：B
5、解析：设公比为q，由已知得a1q2a1q8＝2(a1q4)2，
则q2＝2，因为等比数列{an}的公比为正数，
所以q＝.所以a1＝＝＝.
答案：B
6、解析：选A.∵|a1|＝1，
∴a1＝1或a1＝－1.
∵a5＝－8a2＝a2·q3，
∴q3＝－8，∴q＝－2.
又a5＞a2，即a2q3＞a2，
∴a2＜0.
而a2＝a1q＝a1·(－2)＜0，
∴a1＝1.故an＝a1·(－2)n－1＝(－2)n－1.
答案：A
解析：A错，a1＝－1，q＝2，数列各项均负．B错，a1＝1，q＝－1，是摆动数列．C错，常数列中0,0,0，…，不是等比数列．lg2n＝nlg2，是首项为lg2，公差为lg2的等差数列，故选D.
答案：D
8、解析：∵{an}为各项为正的等比数列，∴q＝2.
∴＝＝＝＝.故应填 .
答案：
9、解析：∵an＋2＝an，∴anq2＝an，∴q＝±1；
∵an＝an＋3，∴an＝anq3，∴q＝1.
答案：±1　1
10、解：(1)∵a6＝a3q3，∴q3＝27，∴q＝3.
∴a5＝a6·＝81.
(2)∵an＝a1qn－1，∴＝·()n－1.
∴()n－1＝()3，∴n＝4.
(3)设数列{an}的公比为q，
由题意得
由②得a1q3＝±8，
将a1q3＝－8代入①中得q2＝－2(舍去)．
将a1q3＝8代入①中，得q2＝4，q＝±2.
当q＝2时，a1＝1，∴an＝a1qn－1＝2n－1.
当q＝－2时，a1＝－1，∴an＝a1qn－1＝－(－2)n－1.
∴an＝2n－1或an＝－(－2)n－1.
11、解析：∵＝，∴x＝1.
∵第一行中的数成等差数列，首项为2，公差为1，故后两格中数字分别为5,6.
同理，第二行后两格中数字分别为2.5,3.
∴y＝5·()3，z＝6·()4.
∴x＋y＋z＝1＋5·()3＋6·()4＝＝2.
答案：2
12、解：(1)证明：因为an＋1＝2an＋1，
所以an＋1＋1＝2(an＋1)．
由a1＝1，知a1＋1＝2≠0，
可得an＋1≠0.
所以＝2(n∈N*)．
所以数列{an＋1}是等比数列．
(2)由(1)知{an＋1}是以a1＋1＝2为首项，以2为公比的等比数列．
所以an＋1＝2·2n－1＝2n，即an＝2n－1.