2.4 等比数列(2)同步学案

高二数学 必修5 第二章 §2.4 等比数列(2)
班级 姓名
学习目标
1.灵活应用等比数列的定义及通项公式；深刻理解等比中项概念；
2. 熟悉等比数列的有关性质，并系统了解判断数列是否成等比数列的方法.
学习过程
一、课前准备
复习1：等比数列的通项公式 = .公比q满足的条件是
复习2：等差数列有何性质？
二、新课导学
新知1：等比中项定义
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么称这个数G称为a与b的等比中项。即G= （a，b同号）.
新知2：等比数列的性质：在等比数列中，若m+n=p+q，则.
特别地，若2n=p+q，则
试一试：在等比数列，已知，那么 .
※ 学习探究
已知是一个无穷等比数列，公比为。
（1）将数列中的前项去掉，剩余各项组成一个新的数列，这个新数列是等比数列吗？如果是，它的首项与公比分别是多少？
（2）取出数列中的所有奇数项，组成一个新的数列，这个新数列是等比数列吗？如果是，它的首项与公比分别是多少？
（3）在数列中，每隔10项取出一项，组成一个新的数列，这个新数列是等比数列吗？如果是，它的首项与公比分别是多少？你能根据得到的结论作出一个猜想吗？
※ 典型例题
例1、在等比数列{}中，已知，且，公比为整数，求.
变式1、在等比数列{}中，已知，则 .
变式2、在各项都为正数的等比数列中，，则log3+ log3+…+ log3 .
例2、已知是项数相同的等比数列，仿照下表中的例子填写表格，从中你能得出什么结论?证明你的结论.
数列
例
自选1
自选2
是否等比
是
变式3、项数相同等比数列{}与{}，数列{}也一定是等比数列吗？证明你的结论.
小结：两个等比数列的积和商仍然是等比数列.
三、总结提升
※ 学习小结
1. 等比中项定义；2. 等比数列的性质.
※ 知识拓展
公比为q的等比数列具有如下基本性质：
1、数列，，，，等，也为等比数列，公比分别为. 若数列为等比数列，则，也等比.
2、若，则. 当m=1时，便得到等比数列的通项公式.
3、若各项为正，c>0，则是一个以为首项，为公差的等差数列. 若是以d 为公差的等差数列，则是以为首项，为公比的等比数列. 当一个数列既是等差数列又是等比数列时，这个数列是非零的常数列.
课后作业
一、基础训练题
1．2＋和2－的等比中项是(　　)．
A．1 B．－1 C．±1 D．2
2．设等差数列{an}的公差d不为0，a1＝9d.若ak是a1与a2k的等比中项，则k＝(　　)．
A．2 B．4 C．6 D．8
3．设等比数列的前三项依次为，，，则它的第四项是(　　)．
A．1 B. C. D.
4．等比数列{an}中，a1＝，q＝2，则a4与a8的等比中项是(　　)
A．±4 B．4 C．± D.
5．若互不相等的实数a，b，c成等差数列，c，a，b成等比数列，且a＋3b＋c＝10，则a＝(　　)．
A．4 B．2 C．－2 D．－4
6．若x,2x＋2,3x＋3是一个等比数列的连续三项，则x的值为__________．
7．在等比数列{an}中，a1·a9＝256，a4＋a6＝40，则公比q＝________.
8．在等比数列{an}中，已知a9＝－2，则此数列的前17项之积为________．
9．一个等比数列的前三项依次是a,2a＋2,3a＋3，则－13是否是这个数列中的一项？如果是，是第几项？如果不是，请说明理由．
10．在等差数列{an}中，公差d≠0，且a1，a3，a9成等比数列，则等于多少？
11．在正项等比数列{an}中，a1a5－2a3a5＋a3a7＝36，a2a4＋2a2a6＋a4a6＝100，求数列{an}的通项公式．
二、提高训练题
{an}是公比为q的等比数列，|q|>1，令bn＝an＋1(n＝1,2，…)．若数列{bn}有连续四项在集合
{－53，－23,19,37,82}中，则6q＝________.
13．在△ABC中，tanA是以－4为第3项、4为第7项的等差数列的公差，tanB是以为第3项、9为第6项的等比数列的公比，则这个三角形是________．
14．(创新拓展) 已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝(an－1)(n∈N*)．
(1)求a1，a2； (2)求证：数列{an}是等比数列．
必修5第二章 §2.4 等比数列（2）参考答案
1、解析　等比中项G＝±＝±1.
答案　C
2、解析　由题意得，an＝(n＋8)d，ak2＝a1a2k.∴(k＋8)2d2＝9d(2k＋8)d.∴k＝4(k＝－2舍去)．
答案　B
3、解析　a4＝a3q＝a3·＝×＝＝1.
答案　A
解析：选A.由an＝·2n－1＝2n－4知，a4＝1，a8＝24，其等比中项为±4.
答案　A
5、解析　依题意有解得故选D.
答案　D
6、解析：由于x,2x＋2,3x＋3成等比数列，
∴＝＝且x≠－1,0.
∴2(2x＋2)＝3x，∴x＝－4.
答案：－4
7、解析　∵a1a9＝a12q8，a4a6＝a1q3·a1q5＝a12q8，
∴a1a9＝a4a6，列方程组
解得或
∴q2＝＝＝或q2＝＝4.∴q＝±或q＝±2.
答案　－2,2或－，
8、解析　∵a1a2a3…a17＝(a1·a17)(a2·a16)…a9＝a92·a92·…·a9＝a917＝(－2)17＝－217.
答案　－217
9、解：∵a,2a＋2,3a＋3是等比数列的前三项，
∴a(3a＋3)＝(2a＋2)2.
解得a＝－1，或a＝－4.
当a＝－1时，数列的前三项依次为－1,0,0，
与等比数列定义矛盾，故a＝－1舍去．
当a＝－4时，数列的前三项依次为－4，－6，－9，
则公比为q＝，∴ an＝－4()n－1，
令－4()n－1＝－13，
即()n－1＝＝()3，
∴n－1＝3，即n＝4，
∴－13是这个数列中的第4项．
10、解　由题意知a3是a1和a9的等比中项，∴a32＝a1a9，
∴(a1＋2d)2＝a1(a1＋8d)， ∴ a1＝d，
∴＝＝.
11、解　∵a1a5＝a32，a3a5＝a42，a3a7＝a52，
∴由条件，得a32－2a42＋a52＝36，
同理得a32＋2a42＋a52＝100，
∴即解得或
分别解得或
∴an＝a1qn－1＝2n－2或an＝a1qn－1＝26－n.
12、解析：∵bn＝an＋1，∴an＝bn－1，而{bn}有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，∴{an}有连续四项在集合{－54，－24,18,36,81}中．
∵{an}是公比为q的等比数列，|q|>1，
∴{an}中的连续四项依次为－24,36，－54,81，∴q＝－＝－，∴6q＝－9.
答案：－9
13、解析：tanA＝＝2，tanB＝3，
即在△ABC中，tanA＝2>0，tanB＝3>0，
tan(A＋B)＝＝－1，
∴A＋B＝π.
∴C＝　∴△ABC为锐角三角形．
答案：锐角三角形
14、解：(1)由S1＝(a1－1)，
得a1＝(a1－1)，∴a1＝－.
又S2＝(a2－1)，
即a1＋a2＝(a2－1)，得a2＝.
(2)证明：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(an－1)－(an－1－1)，
得＝－，又a1＝－，
所以{an}是首项为－，公比为－的等比数列．