2.5等比数列的前n项和(1)同步学案

高二数学 必修5 第二章 §2.5等比数列的前n项和(1)
班级 姓名
学习目标
1. 掌握等比数列的前n项和公式；
2. 能用等比数列的前n项和公式解决实际问题.
学习过程
一、课前准备
（预习教材P55 ~ P56，找出疑惑之处）
复习1：什么是数列前n项和？
复习2：前n项和与的关系是什么？
二、新课导学
※ 学习探究
探究任务： 等比数列的前n项和
故事：“国王对国际象棋的发明者的奖励”
新知：等比数列的前n项和公式
设等比数列它的前n项和是，公比为q≠0，
公式的推导方法一：
则

当时， ① 或 ②
当q=1时，
公式的推导方法二：
由等比数列的定义，，
有，即 .
∴ （结论同上）
公式的推导方法三：
＝＝＝.
∴ （结论同上）
试试：求等比数列，，，…的前8项的和.
※ 典型例题
例1、已知a1=27，a9=，q<0，求这个等比数列前5项的和.
变式1、求1＋＋3＋3＋…＋243的值是
变式2、1++++…+的值为（ ）.
A. B. C. D. 以上都不对
例2、某商场今年销售计算机5000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从今年起，大约几年可使总销售量达到30000台(结果保留到个位)?
变式3、一个球从100m高出处自由落下，每次着地后又弹回到原来高度的一半再落下，当它第10次着地时，共经过的路程是多少？（精确到1m）
三、总结提升
※ 学习小结
1. 等比数列的前n项和公式；
2. 等比数列的前n项和公式的推导方法；
3. “知三求二”问题，即：已知等比数列之五个量中任意的三个，列方程组可以求出其余的两个.
课后作业
一、基础训练题
1．在等比数列{an}中a1＝8，q＝，an＝，则Sn等于(　　)
A．31　 　B. C．8 D．15
2．已知Sn是等比数列{an}的前n项和，a5＝－2，a8＝16，则S6等于(　　)
A. B．－ C. D．－
3．1＋＋2＋2＋…＋128的值是(　　)
A．128＋64 B．128－64 C．255＋127 D．255－127
4．(2010年高考浙江卷)设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则＝(　　)
A．11 B．5 C．－8 D．－11
5．在等比数列{an}中，若a3＝2S2＋1，a4＝2S3＋1，则公比q等于(　　)
A．3 B．－3 C．－1 D．1
6．设等比数列{an}的公比为q(q≠1)，则数列a3，a6，a9，…，a3n，…的前n项和为(　　)
A.　　 B. C. D.
7．设等比数列{an}的前n项和为Sn.若a1＝1，S6＝4S3，则a4＝__________.
8．等比数列{an}的公比q>0.已知a2＝1，an＋2＋an＋1＝6an，则{an}的前4项和S4＝__________.
9．在等比数列{an}中，a3＝－12，前3项和S3＝－9，求公比q.
10．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列．
(1)求{an}的公比q； (2)若a1－a3＝3，求Sn.
二、提高训练题
11．(2010年高考天津卷)已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列{}的前5项和为(　　)
A.或5 B.或5 C. D.
12．已知等比数列{an}满足an>0，n＝1,2，…，且a5·a2n－5＝22n(n≥3)，则当n≥1时，
log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝(　　)
A．n(2n－1) B．(n＋1)2 C．n2 D．(n－1)2
13．已知数列{an}是等比数列，其中a7＝1，且a4，a5＋1，a6成等差数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)数列{an}的前n项和记为Sn，证明：Sn<128(n＝1,2,3，…)．
必修5第二章 §2.5等比数列的前n项和(1)参考答案
1、答案：B
2、解析：设公比为q，由题意，得
解得q＝－2，a1＝－.
所以S6＝＝.
答案：A
3、解析：数列的公差是，一共15项。
答案：C
4、解析：由8a2＋a5＝0，得8a1q＋a1q4＝0，所以q＝－2，则＝＝－11.
答案：D
5、解析：a4－a3＝2(S3－S2)，∴a4＝3a3，∴q＝3.
答案：A
6、解析：由于.故选D.
答案：D
7、解析：设等比数列的公比为q，则由S6＝4S3知q≠1.
∴S6＝＝.∴q3＝3.∴a1q3＝3.
答案：3
8、解析：∵{an}是等比数列，
∴an＋2＋an＋1＝6an可化为a1qn＋1＋a1qn＝6a1qn－1，
∴q2＋q－6＝0.又∵q>0，∴q＝2.
∴S4＝＝＝.
答案：
9、解：法一：由已知可得方程组

②÷①得＝，即q2＋4q＋4＝0.
所以q＝－2.
法二：a3，a2，a1成等比数列且公比为.
所以S3＝a3＋a2＋a1＝＝＝－9.
所以q2＋4q＋4＝0，即(q＋2)2＝0.
所以q＝－2.
10、解：(1)依题意有a1＋(a1＋a1q)＝2(a1＋a1q＋a1q2)．
由于a1≠0，故2q2＋q＝0.又q≠0，从而q＝－.
(2)由已知可得a1－a1(－)2＝3，故a1＝4.
从而Sn＝＝[1－(－)n]．
11、解析：选C.若q＝1，则由9S3＝S6得9×3a1＝6a1，则a1＝0，不满足题意，故q≠1.
由9S3＝S6得9×＝，解得q＝2.
故an＝a1qn－1＝2n－1，＝()n－1.
所以数列{}是以1为首项，为公比的等比数列，其前5项和为S5＝＝.
12、解析：由a5·a2n－5＝22n(n≥3)得an2＝22n，又an>0，则an＝2n，
log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝1＋3＋…＋(2n－1)＝n2，故选C.
答案：C
13、(1)解　设等比数列{an}的公比为q(q∈R)，
由a7＝a1q6＝1，得a1＝q－6，
从而a4＝a1q3＝q－3，a5＝a1q4＝q－2，
a6＝a1q5＝q－1.
因为a4，a5＋1，a6成等差数列，
所以a4＋a6＝2(a5＋1)，
即q－3＋q－1＝2(q－2＋1)，q－1(q－2＋1)＝2(q－2＋1)．
所以q＝.
故an＝a1qn－1＝q－6·qn－1＝64n－1.
(2)证明　Sn＝＝＝128<128.