必修5 第二章 数列的求和问题(1)同步学案

高二数学 必修5 第二章 数列的求和问题(1)
班级 姓名
学习目标
1．熟练掌握等差数列和等比数列的求和公式；
2．熟练掌握求数列的前项和的几种常用方法：公式法、分组转化求和与裂项相消法求和。
学习过程
一、课前准备
复习1：等差数列前n项和 = .
复习2：等比数列前n项和 = .
二、新课导学
题型一　分组转化求和
例1、已知数列{an}是3＋2－1,6＋22－1,9＋23－1,12＋24－1，…，写出数列{an}的通项公式并求其前n项和Sn.
变式1、1＋11＋111＋…＋＝________.
小结：分组转化求和是将数列分解转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和。
题型二　裂项相消法求和
例2、求。
变式2、求数列，，…，，…的前项和.
变式3、求数列，，，…，，…的前n项和.
小结：利用裂项相消法求和应注意
(1)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项；
(2)将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等．
(3)常见的拆项公式：
①；
②若为等差数列，公差为d，则＝，＝；
③，.
三、总结提升
※ 学习小结
数列的求和方法：分组转化求和与裂项相消法求和.
课后作业
一、基础训练题
1．设{an}是公差不为0的等差数列，a1＝2且a1，a3，a6成等比数列，则{an}的前n项和Sn＝(　　)．
A.＋ B.＋ C.＋ D．n2＋n
2．设数列{(－1)n}的前n项和为Sn，则对任意正整数n，Sn＝(　　)
A.　　　 B. C. D.
3．数列{an}的通项公式an＝，若前n项的和为10，则项数为(　　)．
A．11 B．99 C．120 D．121
4．已知数列{an}的通项公式是an＝，其前n项和Sn＝，则项数n等于(　　)
A．13 B．10 C．9 D．6
5．若Sn＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n－1·n，S50＝________.
6．设{an}是公比为正数的等比数列，a1＝2，a3＝a2＋4.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设{bn}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{an＋bn}的前n项和Sn.
7．求数列1，3，5，7，…，(2n－1)＋，…的前n项和Sn的值。
8．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝5，S5＝15，求数列的前100项。
二、提高训练题
9．{an}的前n项和为Sn＝n2，则＋＋…＋＝(　　)
A. B. C. D.
10．数列{an}、{bn}满足anbn＝1，an＝n2＋3n＋2，则{bn}的前n项之和为________．
11．等差数列{an}的各项均为正数，a1＝3，前n项和为Sn，{bn}为等比数列，b1＝1，且b2S2＝64，b3S3＝960.
(1)求an与bn； (2)求＋＋…＋.
必修5第二章 数列的求和问题(1)参考答案
例1、解　由已知得，数列{an}的通项公式为
an＝3n＋2n－1＝3n－1＋2n，
∴Sn＝a1＋a2＋…＋an
＝(2＋5＋…＋3n－1)＋(2＋22＋…＋2n)＝＋＝n(3n＋1)＋2n＋1－2.
变式1、解析：因为＝1＋10＋102＋…＋10n－1＝(10n－1)，
所以Sn＝(101－1＋102－1＋103－1＋…＋10n－1)
＝[(101＋102＋…＋10n)－n]＝[－n]＝.
答案：
例2、解：，
变式2、解：
变式3、解：∵
∴

1、解析　由题意设等差数列公差为d，则a1＝2，a3＝2＋2d，a6＝2＋5d.又∵a1，a3，a6成等比数列，∴a＝a1a6，即(2＋2d)2＝2(2＋5d)，整理得2d2－d＝0.∵d≠0，
∴d＝，∴Sn＝na1＋d＝＋n.
答案　A
2、解析：因为数列{(－1)n}是首项与公比均为－1的等比数列，所以Sn＝＝.
答案　D
3、解析　∵an＝＝－，∴Sn＝－1＝10，∴n＝120.
答案　C
4、解析：∵an＝1－
∴Sn＝(1－)＋(1－)＋(1－)＋…＋(1－)＝n－(＋＋＋…＋)＝n－＝n－1＋
由Sn＝＝n－1＋，观察可得出n＝6.
答案：D
5、解析　S50＝1－2＋3－4＋…＋49－50＝(－1)×25＝－25
答案　－25
解　(1)设q为等比数列{an}的公比，则由a1＝2，a3＝a2＋4得2q2＝2q＋4，
即q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(舍去)，因此q＝2.
所以{an}的通项为an＝2·2n－1＝2n(n∈N*)
(2)Sn＝＋n×1＋×2＝2n＋1＋n2－2.
7、解：该数列的通项公式为an＝(2n－1)＋，
则Sn＝[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]＋＝n2＋1－.
8、解：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.
∵a5＝5，S5＝15，∴
∴∴an＝a1＋(n－1)d＝n.
∴＝＝－，∴数列的前100项和为
1－＋－＋…＋－＝1－＝.
9、解析：由Sn＝n2得an＝2n－1，因此＋＋…＋
＝＋＋…＋＝(－1＋－＋…－)＝(－1)
答案：D
10、解析：∵bn＝＝＝＝－.
答案：
11、解　(1)设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则d为正数，an＝3＋(n－1)d，bn＝qn－1.
依题意有
解得或(舍去) 故an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，bn＝8n－1.
(2)Sn＝3＋5＋…＋(2n＋1)＝n(n＋2)，
所以＋＋…＋＝＋＋＋…＋
＝＝＝－.