必修5 第二章 数列的求和问题(2)同步学案

高二数学 必修5 第二章 数列的求和问题(2)
班级 姓名
学习目标
1．熟练掌握等差数列和等比数列的求和公式；
2．熟练掌握求数列的前项和的几种常用方法：公式法、分组转化求和与裂项相消法求和。
学习过程
一、课前准备
复习：裂项:(1) ＝ ；(2) ＝ ；
(3) ＝ ；(4) ＝ .
二、新课导学
题型三　倒序相加求和法
例1、求sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin288°＋sin289°的值.
题型四　错位相减法求和法
例2、求1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n－1的值。
变式1、在等差数列{an}中，已知a1＋a2＋a3＝9，a2＋a4＋a6＝21.
(1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝2n·an，求数列{bn}的前n项和Sn.
例3、已知数列{an}是首项为a1＝，公比为q＝的等比数列，设bn＋2＝3logan(n∈N*)，数列{cn}满足cn＝an·bn.
(1)求数列{bn}的通项公式； (2)求数列{cn}的前n项和Sn.
小结：如果一个数列的通项是由一个非常数列的等差数列与等比数列的对应项乘积组成的，求和的时候可以采用错位相减法.即错位相减法适用于通项为（其中是公差d≠0的等差数列，是公比q≠1的等比数列）（也称为“差比数列”）的数列求前项和.例如对通项公式为的数列求和.
一般步骤：，则

所以有
三、总结提升
※ 学习小结
数列的求和方法：倒序相加求和法和裂项相消求和法.
课后作业
一、基础训练题
1．求下列式子的和：＋＋＋…＋.
2．设，求数列：,,,…, ,…的前项和.
3．已知递增的等比数列{an}满足：a2＋a3＋a4＝28，且a3＋2是a2，a4的等差中项．
(1)求数列{an}的通项公式； (2)若bn＝anlogan，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，求Sn.
二、提高训练题
4．在等比数列{an}中，a2a3＝32，a5＝32.
(1)求数列{an}的通项公式； (2)设数列{an}的前n项和为Sn，求S1＋2S2＋…＋nSn.
必修5第二章 数列的求和问题(2)参考答案
例1、sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin288°＋sin289°=44.5
例2、解：设Sn＝1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n－1，则3Sn＝1×3＋2×32＋3×33＋4×34＋…＋(n－1)×3n－1＋n×3n.∴Sn－3Sn＝1＋3＋32＋…＋3n－1－n×3n.
∴Sn＝3n·(n－)＋.
变式1、解：(1)在等差数列{an}中，由a1＋a2＋a3＝3a2＝9，得，a2＝a1＋d＝3.
又由a2＋a4＋a6＝3a4＝21，得a4＝a1＋3d＝7，
联立解得a1＝1，d＝2，
则数列{an}的通项公式为an＝2n－1.
(2)∵bn＝2n·an＝(2n－1)·2n，
∴Sn＝1·2＋3·22＋5·23＋…＋(2n－1)·2n①
2Sn＝1·22＋3·23＋5·24＋…＋(2n－3)·2n＋(2n－1)·2n＋1②
①—②得
－Sn＝2＋2(22＋23＋…＋2n)－(2n－1)·2n＋1，
得Sn＝－2－＋(2n－1)·2n＋1
＝6＋(2n－3)·2n＋1.
例3、解: (1)由题意，知an＝()n(n∈N*)，
又bn＝3logan－2，故bn＝3n－2(n∈N*).
(2)由(1)，知an＝()n，bn＝3n－2(n∈N*)，
所以cn＝(3n－2)×()n(n∈N*).
所以Sn＝1×＋4×()2＋7×()3＋…＋(3n－5)×()n－1＋(3n－2)×()n，
于是Sn＝1×()2＋4×()3＋7×()4＋…＋(3n－5)×()n＋(3n－2)×()n＋1.
两式相减，得
Sn＝＋3[()2＋()3＋…＋()n]－(3n－2)×()n＋1＝－(3n＋2)×()n＋1.
所以Sn＝－×()n(n∈N*).
1、解：令Sn＝＋＋＋…＋①
则Sn＝＋＋…＋＋②
①－②得：
Sn＝＋2×(＋＋…＋)－＝＋2×－
＝－－，∴Sn＝3－.
2、当时，
当时， …… ①
则 …… ②
由①-②可得： ∴.
综上：
3、解：(1)设等比数列{an}的首项为a1，公比为q.
依题意，有2(a3＋2)＝a2＋a4，
代入a2＋a3＋a4＝28，得a3＝8.
∴a2＋a4＝20.
∴解得或
又{an}为递增数列，
∴∴an＝2n.
(2)∵bn＝2n·log2n＝－n·2n，
∴－Sn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n.①
∴－2Sn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n－1)×2n＋n×2n＋1.②
①－②得Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1＝－n·2n＋1＝2n＋1－n·2n＋1－2=(1－n)2n＋1－2.
∴Sn＝(1－n)2n＋1－2.
4、解：(1)设等比数列{an}的公比为q，依题意得
解得a1＝2，q＝2，
故an＝2·2n－1＝2n.
(2)∵Sn表示数列{an}的前n项和，
∴Sn＝＝2(2n－1)，
∴S1＋2S2＋…＋nSn＝2[(2＋2·22＋…＋n·2n)－(1＋2＋…＋n)]＝2(2＋2·22＋…＋n·2n)－n(n＋1)，
设Tn＝2＋2·22＋…＋n·2n，①
则2Tn＝22＋2·23＋…＋n·2n＋1，②
①－②，得
－Tn＝2＋22＋…＋2n－n·2n＋1＝－n·2n＋1＝(1－n)2n＋1－2，
∴Tn＝(n－1)2n＋1＋2，
∴S1＋2S2＋…＋nSn＝2[(n－1)2n＋1＋2]－n(n＋1)＝(n－1)2n＋2＋4－n(n＋1)．