9.2 第1课时 多边形的内角和
知识点 1 多边形的有关概念
1．下面四个图形中是多边形的是( )
图9－2－1
2．对于多边形的外角，最准确的表述是( )
A．内角的对顶角
B．内角的邻角
C．与内角有公共顶点的角
D．内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角
3．下列说法正确的是( )
A．由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形
B．多边形的两边所在直线组成的角是这个多边形的内角或外角
C．各个角都相等，各条边都相等的多边形是正多边形
D．连结多边形两个顶点的线段，叫做多边形的对角线
4．一个n边形有________个顶点，________条边，________个内角，________个外角．
5. 从一个七边形的某个顶点出发的对角线可以把这个七边形分割成 ______个三角形；正四边形每个外角的度数是______度.
知识点 2 多边形的内角和
6．六边形的内角和是( )
A．540° B．720° C．900° D．360°
7．2018·呼和浩特已知一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形是( )
A．九边形 B．八边形
C．七边形 D．六边形
8．如果四边形有一个角是直角，另外三个角的度数之比为2∶3∶4，那么这三个内角的度数分别为____________．
9．请根据图9－2－2中提供的信息，求出图中x的值．
图9－2－2
10．多边形的内角和随着边数的变化而变化．设多边形的边数为n，内角和为N，则变量N与n之间的关系可以表示为N＝(n－2)·180°.
例如：如图9－2－3，四边形ABCD的内角和为
N＝∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝(4－2)×180°＝360°.
(1)利用这个关系式计算五边形的内角和；
(2)当一个多边形的内角和N＝720°时，求其边数n.
图9－2－3
11．如图9－2－4，在四边形ABCD中，∠ADC与∠BCD的平分线相交于点P，且∠A＝70°，∠B＝80°，求∠CPD的度数．
图9－2－4
【能力提升】
12．一个多边形的内角和为1800°，则从它的一个顶点出发可引________条对角线．
13．一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1080°，那么原多边形的边数为( )
A．7 B．7或8
C．8或9 D．7或8或9
14．在一个五边形中，一个内角相邻的外角与其他各内角的和为600°，请求出这个外角的度数．
15．在已知两个多边形的所有内角的和为1800°，且两个多边形的边数之比为2∶5，求这两个多边形的边数．
16．如图9－2－5，五边形ABCDE中，∠A为135°，AE⊥DE，AB∥CD，∠B＝∠D，试求∠C的度数．
图9－2－5
17.如图9－2－6所示是某厂生产的一块模板，已知该模板的边AB∥CF，CD∥AE.按规定AB，CD的延长线相交成80°的角，因交点不在模板上，不便测量．这时师傅告诉徒弟只需测一个角，便知道AB，CD的延长线的夹角是否符合规定，你知道需测哪一个角吗？说明理由．
图9－2－6
18．动手操作，探究：
探究一：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？
已知：如图9－2－7①，在△ADC中，DP，CP分别平分∠ADC和∠ACD，试探究∠DPC与∠A的数量关系．
探究二：若将△ADC改为任意四边形ABCD呢？
已知：如图9－2－7②，在四边形ABCD中，DP，CP分别平分∠ADC和∠BCD，试探究∠DPC与∠A＋∠B的数量关系．
探究三：若将探究二中的四边形ABCD改为六边形ABCDEF(如图③)呢？请写出∠DPC与∠A＋∠B＋∠E＋∠F的数量关系，并说明理由．
图9－2－7
教师详解详析
1．D
2．D [解析] 根据多边形外角的概念知选D.
3．C [解析] 根据正多边形的概念知C正确．
4．n n n 2n
5. 5 90
6．B [解析] 根据题意，得(6－2)×180°＝720°，故选B.
7．B [解析] 设这个多边形为n边形，则(n－2)·180＝1080，解得n＝8，故选B.
8．60°，90°，120°
9．解：六边形的内角和为(6－2)×180°＝720°，
则x＋35＋x＋25＋x＋2x－50＋90＋x＝720，
解得x＝100.
10．解：(1)N＝(5－2)×180°＝540°.
(2)根据题意，得(n－2)×180°＝720°，解得n＝6.
11．解：在四边形ABCD中，∠ADC＋∠BCD＝360°－∠A－∠B＝360°－70°－80°＝210°，
而∠CPD＝180°－∠PDC－∠DCP＝180°－(∠ADC＋∠BCD)＝180°－×210°＝75°.
12．9 [解析] 求得边数为12，而从n边形一个顶点出发可引(n－3)条对角线．
13．D [解析] 设内角和为1080°的多边形的边数是n，则(n－2)·180°＝1080°，解得n＝8，则原多边形的边数为7或8或9.故选D.
14．解：设这个外角的度数是x°，则(5－2)×180－(180－x)＋x＝600，
解得x＝120.
故这个外角的度数是120°.
15．解：设两个多边形的边数分别是2x和5x，
则(2x－2)·180＋(5x－2)·180＝1800，
解得x＝2，
则这两个多边形的边数分别为4和10.
16．解：∵此多边形是五边形，
∴其内角和为(5－2)×180°＝540°.
∵∠A为135°，AE⊥DE，∠B＝∠D，
∴∠C＋∠B＋∠D＝540°－135°－90°＝315°.①
∵AB∥CD，
∴∠B＋∠C＝180°，
∴∠C＝180°－∠B.②
又∵∠B＝∠D，③
∴由①②③，得∠C＝45°.
17．解：测∠A或∠C的度数，只需∠A＝100°或∠C＝100°，则模板中AB，CD的延长线的夹角符合规定．理由如下：
连结AF.因为AB∥CF，所以∠BAF＋∠AFC＝180°.又因为∠EAF＋∠E＋∠AFE＝180°，所以∠BAE＋∠E＋∠EFC＝360°.若∠C＝100°，则AB，CD的延长线的夹角＝540°－360°－100°＝80°，即符合规定．同理：若连结CE，可得∠AEF＋∠F＋∠DCF＝360°.若∠A＝100°，则AB，CD的延长线的夹角＝540°－360°－100°＝80°，即符合规定．
18．解：探究一：∵DP，CP分别平分∠ADC和∠ACD，
∴∠PDC＝∠ADC，∠PCD＝∠ACD，
∴∠DPC＝180°－∠PDC－∠PCD＝180°－∠ADC－∠ACD＝180°－(∠ADC＋∠ACD)＝180°－(180°－∠A)＝90°＋∠A.
探究二：∵DP，CP分别平分∠ADC和∠BCD，
∴∠PDC＝∠ADC，∠PCD＝∠BCD，
∴∠DPC＝180°－∠PDC－∠PCD＝180°－∠ADC－∠BCD＝180°－(∠ADC＋∠BCD)＝180°－(360°－∠A－∠B)＝(∠A＋∠B)．
探究三：六边形ABCDEF的内角和为(6－2)·180°＝720°.
∵DP，CP分别平分∠EDC和∠BCD，
∴∠PDC＝∠EDC，∠PCD＝∠BCD，
∴∠P＝180°－∠PDC－∠PCD＝180°－∠EDC－∠BCD＝180°－(∠EDC＋∠BCD)＝180°－(720°－∠A－∠B－∠E－∠F)＝(∠A＋∠B＋∠E＋∠F)－180°，
即∠P＝(∠A＋∠B＋∠E＋∠F)－180°.
第2课时 多边形的外角和
知识点 1 多边形的外角和
1．2017·百色多边形的外角和等于( )
A．180° B．360°
C．720° D．(n－2)·180°
2．如果一个多边形的每一个外角都是60°，那么这个多边形的边数是( )
A．3 B．4 C．5 D．6
3．正四边形的一个外角等于________度，正八边形的一个外角等于________度．
知识点 2 多边形的内角和与外角和的综合应用
4．2018·雅安已知n边形的每个外角都等于60°，则它的内角和是( )
A．180° B．270° C．360° D．720°
图9－2－8
5．如图9－2－8，∠1，∠2，∠3，∠4是五边形ABCDE的4个外角．若∠A＝120°，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝________．
6．在△ABC中，如果与∠A，∠B，∠C相邻的外角的度数之比是4∶3∶2，求∠A的度数．
7．一个多边形内角和的度数比外角和的度数的4倍多180°，求多边形的边数．
【能力提升】
8．如图9－2－9，七边形ABCDEFG中，AB，ED的延长线相交于点O.若图中与∠1，∠2，∠3，∠4相邻的外角的度数和为220°，则∠BOD的度数为( )
A．40° B．45° C．50° D．60°
9．已知一个五边形的五个外角的度数比是1∶2∶3∶4∶5，那么五个内角的度数比是( )
A．1∶2∶3∶4∶5 B．5∶4∶3∶2∶1
C．13∶11∶9∶7∶5 D．11∶7∶5∶9∶13
图9－2－9
图9－2－10
10．如图9－2－10，王明在操场上从点A出发，沿直线前进10米后向左转40°，再沿直线前进10米后，又向左转40°，照这样走下去，他第一次回到出发地点A时，一共走了________米．
11.如图9－2－11所示，求图中∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠M＋∠N的度数．
图9－2－11
教师详解详析
1．B [解析] 多边形的外角和是360°，故选B.
2．D
3．90 45 [解析] ∵多边形的外角和都是360°，正多边形的每个外角都相等，∴正四边形的一个外角等于360°÷4＝90°，正八边形的一个外角等于360°÷8＝45°.
4．D [解析] n边形的外角和为360°，因为每个外角都等于60°，所以这个多边形是六边形，所以内角和＝(6－2)×180°＝720°，故选D.
5．300° [解析] 由题意得，∠5＝180°－∠A＝60°.
又∵多边形的外角和为360°，
∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝360°－∠5＝300°.
故答案为300°.
6．[解析] 因为三角形的外角和为360°，可首先求出与∠A，∠B，∠C相邻的三个外角的度数，然后求出∠A的度数．
解：设与∠A，∠B，∠C相邻的外角分别为∠1＝4x°，∠2＝3x°，∠3＝2x°.
因为∠1，∠2，∠3是△ABC的三个外角，
所以4x＋3x＋2x＝360，
解得x＝40.
所以∠1＝160°，∠2＝120°，∠3＝80°.
因为∠A＋∠1＝180°，
所以∠A＝20°.
7．解：设多边形的边数为n.
∵多边形的外角和是360°，内角和的度数比外角和的度数的4倍多180°，
∴(n－2)×180°＝4×360°＋180°，
解得n＝11.
即多边形的边数为11.
8．A [解析] 在DO延长线上找一点M，如图所示．
∵多边形的外角和为360°，∴∠BOM＝360°－220°＝140°.
∵∠BOD＋∠BOM＝180°，
∴∠BOD＝180°－∠BOM＝180°－140°＝40°.
故选A.
9．C [解析] 设五个外角的度数依次为x，2x，3x，4x，5x，则x＋2x＋3x＋4x＋5x＝360°，解得x＝24°，
所以五个外角的度数分别为24°，48°，72°，96°，120°.
对应的内角为156°，132°，108°，84°，60°.
所以156°∶132°∶108°∶84°∶60°＝13∶11∶9∶7∶5.
10．90 [解析] 由题意可知，小岭第一次回到出发地点A时，他一共转了360°，且每次都是向左转40°，所以共转了9次，一次沿直线前进10米，9次就前进90米．
11．360°
