9.2 第1课时 多边形的内角和
一、选择题
1．六边形的内角和为 ( )
A．180° B．360°
C．720° D．1440°
2．已知一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形是( )
A．九边形 B．八边形
C．七边形 D．六边形
3．正十边形的每一个内角的度数为( )
A．120° B．135° C．140° D．144°
4．一个多边形的边数减少1，则它的内角和( )
A．不变 B．减少180°
C．减少360° D．增加180°
图1
5．如果一个多边形纸片按如图1所示的剪法剪去一个内角后，得到一个内角和为2340°的新多边形，则原多边形的边数为( )
A．13 B．14 C．15 D．16
二、填空题
6．正六边形的每个内角等于________°.
7．一个多边形的内角和等于900°，则这个多边形是________边形.
8．将正六边形ABCDEF和正方形ABGH如图2所示摆放，则∠CBG的度数为________．
图2
9．通过画出多边形的对角线，可以把多边形内角和问题转化为三角形内角和问题．如果从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有2条，那么该多边形的内角和是________度．
三、解答题
10．已知在四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝1∶2∶3∶4，求四个内角的度数．
11． 如图3，在五边形ABCDE中，AP平分∠EAB，BP平分∠ABC.
(1)五边形ABCDE的内角和为________度；
(2)若∠C＝100°，∠D＝75°，∠E＝135°，求∠P的度数．
图3
12将正三角形、正四边形、正五边形按如图4所示的位置摆放．如果∠3＝32°，求∠1＋∠2的度数．
图4
1．[答案] C
2．[解析] B 设这个多边形为n边形，则(n－2)×180＝1080，解得n＝8.故选B.
3．[解析] D 要计算正十边形的内角，首先利用内角和公式计算出正十边形的内角和，然后计算每一个内角的度数．∵(10－2)×180°＝1440°，
∴1440°÷10＝144°.
4．[答案] B
5．[解析] B 设剪去一个内角后的新多边形的边数为n，根据题意，得(n－2)×180＝2340, 解得n＝15，所以原多边形的边数为14.
6．[答案] 120
7．[答案] 七
[解析] 设这个多边形的边数为n，则(n－2)×180°＝900°，解得n＝7.故填七．
8．[答案] 30°
[解析] 正六边形的每个内角为＝120°，而正方形的每个内角为90°，所以∠CBG＝120°－90°＝30°.
9．[答案] 540
[解析] 由从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有2条，可知此多边形是五边形，所以其内角和为(5－2)×180°＝540°.
10．解：因为∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝1∶2∶3∶4，
所以∠B＝2∠A，∠C＝3∠A，∠D＝4∠A，
所以∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝(1＋2＋3＋4)×∠A＝10∠A.
又∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝(4－2)×180°＝360°，
∴10×∠A＝360°，
∴∠A＝36°，
∴∠B＝36°×2＝72°，
∠C＝36°×3＝108°，
∠D＝36°×4＝144°.
11．解：(1)540
(2)如图，在五边形ABCDE中，
∠EAB＋∠ABC＋∠C＋∠D＋∠E＝540°.
∵∠C＝100°，∠D＝75°，∠E＝135°，
∴∠EAB＋∠ABC＝230°.
∵AP平分∠EAB，BP平分∠ABC，
∴∠1＝∠EAB，∠2＝∠ABC，
∴∠1＋∠2＝∠EAB＋∠ABC＝(∠EAB＋∠ABC)＝115°.
∴∠P＝180°－(∠1＋∠2)＝65°.
12 解：正三角形的每个内角为180°÷3＝60°，正方形的每个内角为90°，正五边形的每个内角为(5－2)×180°÷5＝108°.由三角形外角和为360°，得(∠1＋90°)＋(∠2＋108°)＋(∠3＋60°)＝360°，把∠3＝32°代入，得∠1＋∠2＝70°.
9.2 第2课时 多边形的外角和
一、选择题
1．多边形的外角和等于( )
A．180° B．360°
C．720° D．(n－2)·180°
2．已知n边形的每个外角都等于60°，则它的内角和是( )
A．180° B．270° C．360° D．720°
3．如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是( )
A．8 B．9 C．10 D．11
4．2018·山西图1①是我国古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消溶，形状无一定规则，代表一种自然和谐美．图②是从图①冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝________度．
图1
二、填空题
5． 若正多边形的一个外角是40°，则这个正多边形的边数是________．
6．若一个多边形的内角和小于它的外角和，则这个多边形的边数为________．
7．一个多边形的内角和与外角和的度数之比是9∶2，则这个多边形的边数为__________．
图2
8．如图2，小兵在操场上从A点出发，沿直线前进10米后向左转40°，再沿直线前进10米后，又向左转40°……照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了________米．
9．若一个多边形的每个内角都是钝角，则这个多边形至少是________边形．
三、解答题
10．已知一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，求这个多边形的边数．
11．在正多边形中，一个外角等于一个内角的，求该正多边形每一个内角的度数和它的边数．
1．[解析] B 所有多边形的外角和都是360°.
2．[解析] D n边形的外角和为360°，因为每个外角都等于60°，所以这个多边形是正六边形，所以它的内角和是(6－2)×180°＝720°.故选D.
3．[解析] A 设这个多边形的边数是n，根据题意，得(n－2)·180°＝3×360°，解得n＝8.
4．[答案] 360
[解析] 由多边形的外角和为360°，知∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝360°.
5．[答案] 9
[解析] 设这个正多边形的边数为n.任意正多边形的外角和为360°，则边数n＝360÷40＝9.
6．[答案] 3
[解析] 设多边形的边数为n，根据题意，得(n－2)×180°＜360°，解得n＜4，则n＝3.
7．[答案] 11
[解析] 设这个多边形的边数为n，根据题意，得(n－2)×180°∶360°＝9∶2，解得n＝11.
8．[答案] 90
[解析] 小明所走的路线是一个正多边形，边长为10米，多边形的每一个外角是40°，根据多边形外角和为360°，所以多边形的边数为＝9，所以小兵所走的路线是一个正九边形，他所走的路程为9×10＝90(米)．
9．[答案] 五
[解析] 设这个多边形的边数为n，则180－＜90，180n－180n＋360＜90n，解得n>4.
因为n为整数，所以多边形的边数至少是五边形．
10．解：设这个多边形的边数为n，根据题意，得(n－2)×180°＝3×360°－180°，解得n＝7.
答：这个多边形的边数为7.
11．解：设该正多边形为正n边形．
∵正多边形一个外角等于一个内角的，
∴正多边形的内角和为360°×4＝1440°，
∴(n－2)×180°＝1440°，
∴n－2＝8，∴n＝10，
∴该正多边形每一个内角的度数为(360°÷10)×4＝144°.
答：该正多边形每一个内角的度数为144°，该正多边形的边数为10.
