3.1 不等关系与不等式 同步学案

高二数学 必修5 第三章 §3.1 不等关系与不等式
班级 姓名
学习目标
1. 了解现实世界和日常生活中存在着的不等关系；
2. 会从实际问题中找出不等关系，并能列出不等式与不等式组.
3. 掌握不等式的基本性质；
4. 会用不等式的性质证明简单的不等式；
5. 会将一些基本性质结合起来应用.
学习过程
一、课前准备
两个实数的大小关系有：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ .
二、新课导学
※ 学习探究
探究1：
文字语言
数学符号
文字语言
数学符号
大于
至多
小于
至少
大于等于
不少于
小于等于
不多于

自学课本 问题1、问题2、问题3，做课本 练习：1、2
练1、用不等式表示下面的不等关系：
（1）a与b的和是非负数；_________________
（2）某公路立交桥对通过车辆的高度h“限高4m”；__________________
(3) 如图，在一个面积为350的矩形地基上建造一个仓库，
四周是绿地，仓库的长L大于宽W的4倍.
练2、有一个两位数大于50而小于60，其个位数字比十位数大2．试用不等式表示上述关系，并求出这个两位数(用a和b分别表示这个两位数的十位数字和个位数字)．
探究2 常用的不等式的基本性质
1、a>b?b＿＿＿a (对称性)；举例1：＿＿＿2
2、a>b，b>c?a＿＿＿c (传递性)；举例2：＿＿＿
3、a>b?a＋c＿＿＿b＋c (可加性)；举例3：＿＿＿
4、a>b，c>0?ac＿＿＿bc；举例4：＿＿＿
a>b，c<0?ac＿＿＿bc；举例5：＿＿＿
5、a>b，c>d?a＋c＿＿＿b＋d；举例6：＿＿＿
6、a>b>0，c>d>0?ac＿＿＿bd；举例7：＿＿＿
7、a>b>0，n∈N，n≥2?an＿＿＿bn；举例8：＿＿＿
8、a>b>0，n∈N，n≥2?＿＿＿．举例9：＿＿＿
※ 典型例题
例1、比较下列每组中两个数的大小．【掌握“作差比较法”】
（1）与4； （2）与； （3）与．
例2、已知求证：．
练3、用不等号“>”或“<”填空：
（1）； （2）；
（3）； （4）.
三、总结提升
※ 学习小结
1．比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了．
a－b>0?a>b； a－b＝0?a＝b； a－b<0?a2．作差法比较的一般步骤
第一步：作差；
第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“积”；
第三步：定号，就是确定是大于0，等于0，还是小于0.(不确定的要分情况讨论)
最后得结论．
概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键．
3．不等式的性质是不等式变形的依据，每一步变形都要严格依性质进行，千万不可想当然．
课后作业
一、基础训练题
1．设a＝3x2－x＋1，b＝2x2＋x，x∈R，则(　　)
A．a＞b B．a＜b C．a≥b D．a≤b
2．某高速公路对行驶的各种车辆的速度v的最大限速为120 km/h，行驶过程中，同一车道上的车间距d不得小于10 m，则可用不等式表示为(　　)
A. B．v≤120(km/h)或d≥10(m) C．v≤120(km/h) D．d≥10(m)
3．若A＝a2＋3ab，B＝4ab－b2，则A、B的大小关系是(　　)
A．A≤B B．A≥B C．AB D．A>B
4．完成一项装修工程，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2 000元，设木工x人，瓦工y人，则请工人满足的关系式是(　　)．
A．5x＋4y＜200 B．5x＋4y≥200 C．5x＋4y＝200 D．5x＋4y≤200
5．若a，b，c∈R，a＞b，则下列不等式成立的是(　　)．
A.＜ B．a2＞b2 C.＞ D．a|c|＞b|c|
6．一个棱长为2的正方体的上底面有一点A，下底面有一点B，则A、B两点间的距离d满足的不等式为________．
7．若a＞b＞0，则________.
8．若实数a＞b，则a2－ab________ba－b2.(填“＞”或“＜”)
9．若a＞0，b＞0，则＋与的大小关系是________．
10．下列不等式：①x2＋3＞2x(x∈R)；②a3＋b3≥a2b＋ab2(a，b∈R)；③a2＋b2≥2(a＋b－1)中正确不等式的序号为________．
11．有粮食和石油两种物资，可用轮船与飞机两种方式运输，每天每艘轮船和每架飞机运输效果如下表：
效果方式种类
轮船运输量/t
飞机运输量/t
粮食
300
150
石油
250
100
现在要在一天内至少运输2000 t 粮食和1500 t 石油．写出安排轮船艘数和飞机架数所满足的所有不等关系的不等式．
12．某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产甲种产品1 t需消耗A种矿石10 t，B种矿石5 t，煤4 t；生产乙种产品1 t需消耗A种矿石4 t，B种矿石4 t，煤9 t．工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A种矿石不超过300 t，B种矿石不超过200 t，煤不超过360 t．写出满足上述所有不等关系的不等式．
二、提高训练题
13．设{an}是公差为正数的等差数列，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，则a11＋a12＋a13＝(　　)
A．120 B．105 C．90 D．75
14．一个只有有限项的等差数列，它前5项的和为34，最后5项的和为146，所有项的和为234，则它的第7项等于(　　)
A．22 B．21 C．19 D．18
15．在一直线上共插有13面小旗，相邻两面小旗之间距离为10 m，在第一面小旗处有一个人，把小旗全部集中到一面小旗的位置上，每次只能拿一面小旗，要使他走的路程最短，应集中到哪一面小旗的位置上(　　)
A．7 B．6 C．5 D．4
16．假设某市年新建住房面积万平方米，其中有万平方米是中低价房．预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长．另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加万平方米．那么，
（1）到哪一年底，该市历年所建中低价房的累计面积（以年为累计的第一年）将首次不少于万平方米？
（2）到哪一年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于？
（参考数据：；；）（12分）
必修5第二章 §3.1 不等关系与不等式参考答案
解析：∵a－b＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，∴a≥b.
答案：C
2、答案：A
3、解析：∵A－B＝a2＋3ab－(4ab－b2)＝(a－)2＋b2≥0，∴A≥B.
答案：B
4、解析　依题意得50x＋40y≤2 000，即5x＋4y≤200.
答案　D
5、解析　(1)特值法　令a＝1，b＝－2，c＝0，代入A，B，C，D中，可知A，B，D均错．
(2)直接法　∵a＞b，c2＋1＞0，∴＞.
答案：C
6、解析：最短距离是棱长2，最长距离是正方体的体对角线长2.故2≤d≤2.
答案：2≤d≤2
7、解析：∵－＝，b－a＜0，ab＞0，∴＜0，∴＜.
答案：＜
8、解析：因为(a2－ab)－(ba－b2)＝(a－b)2，又a＞b，所以(a－b)2＞0，即a2－ab＞ba－b2.
答案：＞
9、解析　∵＋－＝＝＞0，∴＋＞.
答案　＋＞
10、解析　①中，∵x2＋3－2x＝(x－1)2＋2＞0，
∴x2＋3＞2x，故①正确．
②中，∵a3＋b3－(a2b＋ab2)＝a2(a－b)＋b2(b－a)＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)，虽然(a
－b)2≥0，但a＋b的正负无法确定，故②不正确．③中，∵a2＋b2－2(a＋b－1)＝a2＋b2
－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，故③正确．
答案　①③
11、解：设需要安排x艘轮船和y架飞机．则
即
12、解　设生产甲、乙两种产品分别为x t，y t，则

13、解析：{an}是公差为正数的等差数列，若a1＋a2＋a3＝15，即3a2＝15，则a2＝5.
又a1a2a3＝80，∴a1a3＝(5－d)(5＋d)＝16，∴d＝3.
答案：B
14、解析：设该数列有n项，且首项为a1，末项为an, 公差为d.
则依题意有
①＋②可得a1＋an＝36.代入③得n＝13.从而有a1＋a13＝36.
又所求项a7恰为该数列的中间项，∴a7＝＝＝18.故选D.
答案：D
15、解析：
图1
如图1所示，设将旗集中到第x面小旗处，则从第一面旗到第x面旗共走路程为10(x－1)m，然后回到第二面旗处再到第x面处的路程是20(x－2)m，…，从第x－1面到第x面来回共20 m，从第x面处到第x＋1面处路程为20 m，从第x面到第x＋2面处的路程为20×2 m，….
总共的路程为s＝10(x－1)＋20(x－2)＋20(x－3)＋…＋20×1＋20×1＋20×2＋…＋20×(13－x)＝10(x－1)＋20·＋20·＝10[(x－1)＋(x－2)(x－1)＋(13－x)(14－x)]＝10(2x2－29x＋183)＝20(x－)2＋.
∵x∈N*，∴当x＝7时，s有最小值为780 m，
即将旗集中到第7面小旗处，所走的路程最短．
答案：A
解：解：（1）设中低价房面积形成数列，由题意可知是等差数列
其中，，
则
令 即
∴到年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于万平方米.
（2）设新建住房面积形成数列，由题意可知是等比数列，
其中，， 则
由题意可知 有.
由参考数据得满足上述不等式的最小正整数为
答：到年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.