3.2 一元二次不等式及其解法（1）同步学案

高二数学 必修5 第三章 §3.2 一元二次不等式及其解法（1）
班级 姓名
学习目标
1. 正确理解一元二次不等式的概念，掌握一元二次不等式的解法；
2. 理解一元二次不等式、一元二次函数及一元二次方程的关系，能借助二次函数的图象及一元二次方程解一元二次不等式.
学习过程
一、课前准备
复习：画出一元二次函数的简图．
二、新课导学
※ 学习探究
问题1：一元二次方程的解集为 ；
问题2：一元二次方程不等式的解集为 ；
问题3：一元二次方程不等式的解集为 ；
新知：只含有____个未知数，并且未知数的最高次数是_______的不等式，称为_______________.
探究一：如何解一元二次不等式？能否与一元二次方程与其图象结合起来解决问题呢？
二次函数（）
的图象
一元二次方程
归纳：解不等式时应先将二次项系数化为正，再根据图象写出其解集.
※ 典型例题
例1、求不等式的解集.
变式1：求下列不等式的解集.
； （2）；

（3）. （4）
小结：解一元二次不等式的步骤：
（1）将原不等式化为一般式.
（2）判断的符号.
（3）求方程的根.
（4）根据图象写解集.

三、总结提升
※ 学习小结
解一元二次不等式的步骤：
（1）将原不等式化为一般式（）.（2）判断的符号.（3）求方程的根.（4）根据图象写解集.
※ 思考
（1）一元二次不等式对一切都成立的条件为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；
（2）一元二次不等式对一切都成立的条件为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；
课后作业
基础训练题
1．下面所给关于x的几个不等式：①3x＋4＜0；②x2＋mx－1＞0；③ax2＋4x－7＞0；④x2＜0.其中一定为一元二次不等式的有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．不等式(x－2)(2x＋1)＞0的解集是(　　)
A．(－，2) B．(－2，) C．(－∞，－2)∪(，＋∞) D．(－∞，－)∪(2，＋∞)
3．若集合A＝{x|(2x＋1)(x－3)＜0}，B＝{x|x∈N*，x≤5}，则A∩B是(　　)
A．{1,2,3} B．{1,2} C．{4,5} D．{1,2,3,4,5}
4．不等式组的解集是(　　)
A．{x|－15．二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为－2,3，a＜0，那么ax2＋bx＋c＞0的解集为(　　)
A．{x|x＞3或x＜－2} B．{x|x＞2或x＜－3} C．{x|－2＜x＜3} D．{x|－3＜ x＜2}
6．已知全集U＝R集合A＝{x|x2－2x＞0}，则?UA等于 (　　)．
A．{x|0≤x≤2} B．{x|0＜x＜2} C．{x|x＜0或x＞2} D．{x|x≤0或x≤2}
7．函数y＝的定义域为__________．
8．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0，x∈R)的部分对应值如下表：
x
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
y
6
0
－4
－6
－6
－4
0
6
则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是________．
9．下列不等式中：
①－x2＋x－1<0；②4x2＋4x＋1≥0；③x2－5x＋6>0；④(a2＋1)x2＋ax－1>0.
其中解集是R的是________(把正确的序号全填上)．
10．已知方程ax2＋bx＋2＝0的两根为－和2.
(1)求a、b的值； (2)解不等式ax2＋bx－1＞0.
11．解下列不等式：
(1)2＋3x－2x2>0； (2)x(3－x)≤x(x＋2)－1； (3)x2－2x＋3>0.
二、提高训练题
12．已知数列{an}满足a1＝1，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an(n∈N*)．
(1)证明：数列{an＋1－an}是等比数列； (2)求数列{an}的通项公式．
13．已知点(1,2)是函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)的图象上一点，数列{an}的前n项和Sn＝f(n)－1.
(1)求数列{an}的通项公式； (2)若bn＝logaan＋1，求数列{anbn}的前n项和Tn.
必修5第三章 §3.2 一元二次不等式及其解法（1）参考答案
1、解析：②④一定为一元二次不等式，①是一次不等式，③中当a=0时是一次不等式，a≠0时是二次不等式。
答案：B
2、答案：D
3、解析：A＝{x|－＜x＜3}，B＝{1,2,3,4,5}，
∴A∩B＝{1,2}，故选B.
答案：B
4、解析：原不等式组等价于：
??0答案：C
解析：二次函数的图象开口向下，故不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|－2＜x＜3}．
答案：C
6、解析　∵A＝{x|x＜0或x＞2}，∴?UA＝{x|0≤x≤2}．故选A.
答案　A
7、解析：由题意知x2－2x－8≥0，
∴x≥4或x≤－2，
∴定义域为{x|x≥4或x≤－2}．
答案：{x|x≥4或x≤－2}
8、解析　由表中数据看出a＞0，ax2＋bc＋c＝0的二根为－2,3，∴ax2＋bx＋c＞0的解集为
{x|x＜－2，或x＞3}．
答案　{x|x＜－2，或x＞3}
9、解析　①?x2－x＋1>0，Δ＝1－4<0，
∴①的解集为R；
②?(2x＋1)2≥0?x∈R；
③Δ＝25－4×6＝1>0.
∴③的解集不是R.
④Δ＝a2－4(a2＋1)×(－1)＝5a2＋4>0，
∴④的解集不是R，故填①②.
答案　①②
10、解：(1)∵方程ax2＋bx＋2＝0的两根为－和2，
由根与系数的关系，得，
解得a＝－2，b＝3.
(2)由(1)知，
ax2＋bx－1＞0变为－2x2＋3x－1＞0，
即2x2－3x＋1＜0，
解得＜x＜1.
∴不等式ax2＋bx－1＞0的解集为{x|＜x＜1}．
11、解　(1)原不等式可化为2x2－3x－2<0，
∴(2x＋1)(x－2)<0.
故原不等式的解集是.
(2)原不等式可化为2x2－x－1≥0，
∴(2x＋1)(x－1)≥0，
故原不等式的解集为.
(3)因为Δ＝(－2)2－4×3＝－8<0，
故原不等式的解集是R.
12、(1)证明　∵an＋2＝3an＋1－2an，
∴an＋2－an＋1＝2(an＋1－an)，
∴＝2.
∵a1＝1，a2＝3，
∴{an＋1－an}是以a2－a1＝2为首项，2为公比的等比数列．
(2)解　由(1)得an＋1－an＝2n，
∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋1＝2n－1.
故数列{an}的通项公式为an＝2n－1.
13、解　(1)把点(1,2)代入函数f(x)＝ax得a＝2，
所以数列{an}的前n项和为Sn＝f(n)－1＝2n－1.
当n＝1时，a1＝S1＝1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－2n－1＝2n－1，
对n＝1时也适合，∴an＝2n－1.
(2)由a＝2，bn＝logaan＋1得bn＝n，
所以anbn＝n·2n－1.
Tn＝1·20＋2·21＋3·22＋…＋n·2n－1，①
2Tn＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋(n－1)·2n－1＋n·2n.②
由①－②得：
－Tn＝20＋21＋22＋…＋2n－1－n·2n，
所以Tn＝(n－1)2n＋1.